《高等数学（二）（专升本）》精华考点整理_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数二-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

精华考点 6 页纸 高等数学（二） 专科起点升本科 1第一章 极限与连续 考点1 函数极限四则运算法则 如果有lim f  x  A，lim g  x B ，则 xx xx 0 0 （1）lim［f  x g  x ］ lim f  x lim g  x  AB . xx xx xx 0 0 0 （2） lim［ f  x  g  x ］ lim f  x  lim g  x   AB . x x x x x x 0 0 0     lim f x f x A （3）lim  xx 0  （B0).     xx g x limg x B 0 xx 0 a m，mn，  b P  x  a xm a xm1a   n （4）lim lim m m1 0  ，m＞n， xQ  x  x b n xn b n1 xn1b 0  0，m＜n.   考点2 无穷小的等价代换定理 设 x ， x ， x ， x  是自变量 x 在同一变化过程中的无穷小量，且满足  x  f  x   x ～ x ， x ～ x ，f  x  ,g  x 在这一条件下有意义，若lim 存在，  x  g（x）  x  f  x   x  f  x  则lim lim .  x  g（x）  x  g（x） 常用的等价无穷小： 当x0时，x～sinx～ln  1x ～arcsinx～arctanx～ex1～tanx ， 1 1cosx～ x 2 ,  1x  1～x （为实常数，0）. 2 考点3 两个重要极限 x sinx  1 lim 1；lim1  e. x0 x x x 第二章 一元函数微分学 考点1 导数的定义 f  x  f  x  函数 y  f  x 在点x 处的导数可表示为： f x  lim 0 . 0 0 xx xx 0 0 考点2 函数在一点可导的充要条件 函数 y  f  x 在点x 处可导的充要条件是 f  x 在点x 处的左、右导数都存在且相等，即 0 0 2f x  A f  x  f  x  A . 0  0  0 考点3 可导和连续的关系 若函数 y  f  x 在点x 处可导，则函数y  f  x 在点x 处必连续；反之不一定成立，即 0 0 函数 y  f  x 在点x 处连续，它在该点不一定可导. 0 考点4 导数的几何意义 若函数 y  f  x 在点x 处的导数 f x 存在，则表明曲线 y  f  x 在点  x，f  x  处 0 0 0 0 存在切线，且切线的斜率为 f x ，切线方程为 y f  x  f x  xx ，法线方程 0 0 0 0 1 为 y f  x   xx  f x  0  . 0 f x  0 0 0 考点5 导数的四则运算 设函数u u  x  ,vv  x 可导，则 （1） uv uv. （2） uv uvuv,  ku ku（k为常数）. u uvuv （3）   （v0）. v v2 考点6 基本初等函数的导数公式  c 0 （ c 为 常 数 ） ；  x x1 ；  ax  axlna,  ex  ex ； 1 1  log x  ,  lnx  ；  sinx cosx ；  cosx sinx ； a xlna x 1 1 1  tanx  sec2x ；  cotx  csc2x ；  arcsinx  ； cos2 x sin2 x 1x2 1 1 1  arccosx  ； arctanx  ； arccotx  . 1x2 1x2 1x2 考点7 复合函数的求导法则 设 y  f  u ，u  g  x 复合成y  ［f g  x ］，若u  g  x 在点x处可导，y  f  u 在相 应点u  g  x 可导，则复合函数 y  ［f g  x ］在点x处可导，且有链式法则 dy dy du    f u  g x . dx du dx 考点8 隐函数求导法则 3设 y  f  x 是由方程F  x,y 0确定.求y只需直接由方程F  x,y 0关于x求导，将 y认作中间变量，以复合函数链式法求之（也可以用于多元函数的隐函数求导法）. 考点9 可微与可导的关系 f  x 在点x可微 f  x 在点x可导，且dy  f x  dx. 0  考点10 洛必达法则（“ ”型或“ ”型未定式） 0  如果函数 f  x  ,g  x 满足条件： （1）在点x 的某一去心邻域（或｜x｜＞N ）内可导，且g x  0. 0 （2） lim f  x 0，lim g  x 0或 lim f  x ，lim g  x  . xx xx xx xx x 0 x 0 x 0 x 0 f x  f  x  f x  （3） lim 存在（或为无穷大），则 lim  lim . xx g x  xx g  x  xx g x  x 0 x 0 x 0 考点11 函数单调性的判定 设 y  f  x 在［a,b］上连续，在 a,b 内可导. （1）若对于任意的x a,b ，有 f x ＞0，则y  f  x 在［a,b］上为单调增加的函数. （2）若对于任意的x a,b ，有 f x 0，则y  f  x 在［a,b］上为单调减少的函数. 考点12 函数取得极值的充分条件 1.第一种充分条件 设函数y  f  x 在点x 的某一邻域内可导，且 f x 0（或在点x 处 f(x)不存在）. 0 0 0 若在此邻域内： （1）当x＜x 时， f x ＞0，而当x x 时， f(x)0，则 f  x 在点x 处取得极大值 0 0 0 f  x . 0 （2）当x＜x 时， f x 0，而当x x 时， f x 0，则 f  x 在点x 处取得极小值 0 0 0 f  x . 0 若当x＜x 与x x 时， f(x)不改变符号，则 f  x 在点x 处不取得极值. 0 0 0 2.第二种充分条件 设函数 y  f  x 在点x 处二阶可导，且 f x 0, f x  0.若 0 0 0 4（1） f x ＜0，则 f  x 在点x 处取得极大值 f  x . 0 0 0 （2） f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值 f  x . 0 0 0 （3） f x 0，则函数 f  x 在点x 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用 0 0 第一种充分条件判定. 考点13 最大值与最小值的求法 （1）求出 f  x 在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点. （2）求出上述各点及区间两个端点xa,xb处的函数值. （3）进行比较，其中最大的数值即为 f  x 在［a,b］上的最大值，而其中最小的数值即为 f  x 在［a,b］上的最小值. 考点14 曲线凹凸性及拐点的判定 设函数 y  f  x 在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导. （1）若在(a,b)内有 f x ＞0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凹的. （2）若在(a,b)内有 f x ＜0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凸的. 求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点，如果 f x 在x 的两侧异号，则 0  x，f  x  为曲线弧 y  f  x 的拐点. 0 0 第三章 一元函数积分学 考点1 第一换元积分法（凑微分法） 设 f  u 具有原函数F  u ，u  x 可导，则有换元公式  ［f  x ］ x  dx  f［ x ］d x  f  u  du F  u C F［ x ］C . 第一换元积分法六字口诀“换元—积分—还原”. 考点2 第二换元积分法 设x t 是单调可导函数，又已知 ［f  t ］ t 具有原函数 t ，则［1 x ］是 f  x  的原函数.即  f  x  dx  f［ t ］ t  dt  t C ［1 x ］C .其中 1 x 是x t 的反函数. 考点3 分部积分法 设函数u u  x ，vv  x 具有连续的导函数，则有udv u vvdu. 5利用分部积分法的关键在于选择适当的u和dv.一般来说，需要考虑：先要考虑dv，要便 于求出原函数v；再考虑利用分部积分公式后，vdu比udv便于计算. 考点4 变上限积分的求导 若函数 f  x 在区间［a,b］上连续，则变上限积分R  x   x f  t  dt 是被积函数 f  x 的一 a 个原函数，即R x  f  x 或 d  x f  t  dt  f  x . dx a 考点5 牛顿-莱布尼茨公式 设函数 f  x 在区间［a,b］上连续，F  x 是 f  x 的一个原函数，则 b  b f  x  dx F  x  F  b F  a . a a 考点6 求平面图形的面积 由曲线 y  f  x ，直线xa,xb  a＜b 及x轴所围图形面积为S  ｜ b f  x ｜dx. a 由两曲线 y  f  x ，y  f  x  f  x ＞f  x  及两直线xa,xb  a＜b 所围图形的 1 2 2 1 面积为S  ［ b f  x  f  x ］dx . 2 1 a 考点7 旋转体的体积 由曲线段 y  f  x ，x［a,b］绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V  b f 2 x  dx. a 上述体积公式也可以看做由曲线 y  f  x ，直线xa，xb  a＜b 及x轴所围成的平面 图形绕x轴旋转一周所成的体积. 第四章 多元函数微分学 考点1 全微分 z z 若z  f  x,y 在点 x ,y 处可微，A ，B  ，则有 0 0 x xx０ y xx０ yy０ yy０ z z dz  dx dy . xx０ x xx０ y xx０ yy０ yy０ yy０ 考点2 复合函数的偏导数 设函数u  x,y  ,v x,y 在点 x,y 处有连续偏导数.函数 z  f  u,v  在对应点  u,v 处有连续偏导数.则复合函数z  ［f  x,y  , x,y ］在点 x,y 处对x,y有连续偏 z z u z v z z u z v 导数，且   ，   . x u x v x y u y v y 考点3 一元隐函数的偏导数 6设方程F  x,y 0确定 y是x的函数，且F  x,y 在点 x,y 的某个邻域内具有连续偏导   数，则 dy  F x x,y  F  x,y  0  . dx F  x,y  y y 考点4 极值存在的充分条件 设函数 z  f  x,y  在其驻点  x ,y  的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令 0 0 A f  x ,y  ,B  f  x ,y ，C  f  x ,y ， B2AC ，于是有 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 （1）如果0，则点 x ,y 是函数的极值点，且当A0时， f  x ,y 是极大值；当 0 0 0 0 A0时， f  x ,y 是极小值. 0 0 （2）如果 0，则点 x ,y 不是函数的极值点. 0 0 （3）如果 0，则函数z  f  x,y 在点 x ,y 有无极值不能确定，需用其他方法判别. 0 0 第五章 概率论初步 考点1 事件的独立性 如果P  AB P  A  P  B ，则称事件A,B是相互独立的. 考点2 期望的性质 （1）E  C C （C为常数）. （2）E  kX kE  X . （3）E  k X k Y k E  X k E  Y . 1 2 1 2 （4）若X，Y 相互独立，则E  XY E  X  E  Y . 考点3 方差的性质 （1）D  C 0. （2）D  X C D  X . （3）D  kX k2D  X . （4）若X，Y 相互独立，则D  X Y D  X D  Y . （5）D  X E  X2  ［E  X ］2. 7