《高等数学（二）（专升本）》精华考点整理_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数二-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

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高等数学（二）
专科起点升本科
1第一章 极限与连续
考点1 函数极限四则运算法则
如果有lim f  x  A，lim g  x B ，则
xx xx
0 0
（1）lim［f  x g  x ］ lim f  x lim g  x  AB .
xx xx xx
0 0 0
（2） lim［ f  x  g  x ］ lim f  x  lim g  x   AB .
x x x x x x
0 0 0
 
  lim f x
f x A
（3）lim  xx 0  （B0).
   
xx g x limg x B
0
xx
0
a
m，mn，

b
P  x  a xm a xm1a   n
（4）lim lim m m1 0  ，m＞n，
xQ  x  x b n xn b n1 xn1b 0  0，m＜n.


考点2 无穷小的等价代换定理
设 x ， x ， x ， x  是自变量 x 在同一变化过程中的无穷小量，且满足

x

f

x

 x ～ x ， x ～ x ，f  x  ,g  x 在这一条件下有意义，若lim 存在，
 x  g（x）

x

f

x
 
x

f

x

则lim lim .
 x  g（x）  x  g（x）
常用的等价无穷小：
当x0时，x～sinx～ln  1x ～arcsinx～arctanx～ex1～tanx ，
1
1cosx～ x 2 ,  1x  1～x （为实常数，0）.
2
考点3 两个重要极限
x
sinx  1
lim 1；lim1  e.
x0 x x x
第二章 一元函数微分学
考点1 导数的定义
f

x

f

x

函数 y  f  x 在点x 处的导数可表示为： f x  lim 0 .
0 0 xx xx
0 0
考点2 函数在一点可导的充要条件
函数 y  f  x 在点x 处可导的充要条件是 f  x 在点x 处的左、右导数都存在且相等，即
0 0
2f x  A f  x  f  x  A .
0  0  0
考点3 可导和连续的关系
若函数 y  f  x 在点x 处可导，则函数y  f  x 在点x 处必连续；反之不一定成立，即
0 0
函数 y  f  x 在点x 处连续，它在该点不一定可导.
0
考点4 导数的几何意义
若函数 y  f  x 在点x 处的导数 f x 存在，则表明曲线 y  f  x 在点  x，f  x  处
0 0 0 0
存在切线，且切线的斜率为 f x ，切线方程为 y f  x  f x  xx ，法线方程
0 0 0 0
1
为 y f  x   xx  f x  0  .
0 f x  0 0
0
考点5 导数的四则运算
设函数u u  x  ,vv  x 可导，则
（1） uv uv.
（2）
uv
uvuv, 
ku
ku（k为常数）.
u uvuv
（3）   （v0）.
v v2
考点6 基本初等函数的导数公式
 c 0 （ c 为 常 数 ） ；  x x1 ；  ax  axlna,  ex  ex ；
1 1
 log x  ,  lnx  ；  sinx cosx ；  cosx sinx ；
a xlna x
1 1 1
 tanx  sec2x ；  cotx  csc2x ；  arcsinx  ；
cos2 x sin2 x 1x2
1 1 1
 arccosx  ； arctanx  ； arccotx  .
1x2 1x2 1x2
考点7 复合函数的求导法则
设 y  f  u ，u  g  x 复合成y  ［f g  x ］，若u  g  x 在点x处可导，y  f  u 在相
应点u  g  x 可导，则复合函数 y  ［f g  x ］在点x处可导，且有链式法则
dy dy du
   f u  g x .
dx du dx
考点8 隐函数求导法则
3设 y  f  x 是由方程F  x,y 0确定.求y只需直接由方程F  x,y 0关于x求导，将
y认作中间变量，以复合函数链式法求之（也可以用于多元函数的隐函数求导法）.
考点9 可微与可导的关系
f  x 在点x可微 f  x 在点x可导，且dy  f x  dx.
0 
考点10 洛必达法则（“ ”型或“ ”型未定式）
0 
如果函数 f  x  ,g  x 满足条件：
（1）在点x 的某一去心邻域（或｜x｜＞N ）内可导，且g x  0.
0
（2） lim f  x 0，lim g  x 0或 lim f  x ，lim g  x  .
xx xx xx xx
x 0 x 0 x 0 x 0
f
x

f

x
 f
x

（3） lim 存在（或为无穷大），则 lim  lim .
xx
g
x

xx g

x

xx
g
x

x 0 x 0 x 0
考点11 函数单调性的判定
设 y  f  x 在［a,b］上连续，在 a,b 内可导.
（1）若对于任意的x a,b ，有 f x ＞0，则y  f  x 在［a,b］上为单调增加的函数.
（2）若对于任意的x a,b ，有 f x 0，则y  f  x 在［a,b］上为单调减少的函数.
考点12 函数取得极值的充分条件
1.第一种充分条件
设函数y  f  x 在点x 的某一邻域内可导，且 f x 0（或在点x 处 f(x)不存在）.
0 0 0
若在此邻域内：
（1）当x＜x 时， f x ＞0，而当x x 时， f(x)0，则 f  x 在点x 处取得极大值
0 0 0
f

x
.
0
（2）当x＜x 时， f x 0，而当x x 时， f x 0，则 f  x 在点x 处取得极小值
0 0 0
f

x
.
0
若当x＜x 与x x 时， f(x)不改变符号，则 f  x 在点x 处不取得极值.
0 0 0
2.第二种充分条件
设函数 y  f  x 在点x 处二阶可导，且 f x 0, f x  0.若
0 0 0
4（1） f x ＜0，则 f  x 在点x 处取得极大值 f  x .
0 0 0
（2） f x ＞0，则 f  x 在点x 处取得极小值 f  x .
0 0 0
（3） f x 0，则函数 f  x 在点x 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需要用
0 0
第一种充分条件判定.
考点13 最大值与最小值的求法
（1）求出 f  x 在(a,b)内的所有驻点、导数不存在的点.
（2）求出上述各点及区间两个端点xa,xb处的函数值.
（3）进行比较，其中最大的数值即为 f  x 在［a,b］上的最大值，而其中最小的数值即为
f

x
在［a,b］上的最小值.
考点14 曲线凹凸性及拐点的判定
设函数 y  f  x 在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导.
（1）若在(a,b)内有 f x ＞0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凹的.
（2）若在(a,b)内有 f x ＜0，则曲线 y  f  x 在(a,b)内为凸的.
求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点，如果 f x 在x 的两侧异号，则
0
 x，f  x  为曲线弧 y  f  x 的拐点.
0 0
第三章 一元函数积分学
考点1 第一换元积分法（凑微分法）
设 f  u 具有原函数F  u ，u  x 可导，则有换元公式
 ［f  x ］ x  dx  f［ x ］d x  f  u  du F  u C F［ x ］C .
第一换元积分法六字口诀“换元—积分—还原”.
考点2 第二换元积分法
设x t 是单调可导函数，又已知 ［f  t ］ t 具有原函数 t ，则［1 x ］是
f  x  的原函数.即  f  x  dx  f［ t ］ t  dt  t C ［1 x ］C .其中
1
x
是x
t
的反函数.
考点3 分部积分法
设函数u u  x ，vv  x 具有连续的导函数，则有udv u vvdu.
5利用分部积分法的关键在于选择适当的u和dv.一般来说，需要考虑：先要考虑dv，要便
于求出原函数v；再考虑利用分部积分公式后，vdu比udv便于计算.
考点4 变上限积分的求导
若函数 f  x 在区间［a,b］上连续，则变上限积分R  x   x f  t  dt 是被积函数 f  x 的一
a
个原函数，即R x  f  x 或 d  x f  t  dt  f  x .
dx a
考点5 牛顿-莱布尼茨公式
设函数 f  x 在区间［a,b］上连续，F  x 是 f  x 的一个原函数，则
b
 b f  x  dx F  x  F  b F  a .
a a
考点6 求平面图形的面积
由曲线 y  f  x ，直线xa,xb  a＜b 及x轴所围图形面积为S  ｜ b f  x ｜dx.
a
由两曲线 y  f  x ，y  f  x  f  x ＞f  x  及两直线xa,xb  a＜b 所围图形的
1 2 2 1
面积为S  ［ b f  x  f  x ］dx .
2 1
a
考点7 旋转体的体积
由曲线段 y  f  x ，x［a,b］绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V  b f 2 x  dx.
a
上述体积公式也可以看做由曲线 y  f  x ，直线xa，xb  a＜b 及x轴所围成的平面
图形绕x轴旋转一周所成的体积.
第四章 多元函数微分学
考点1 全微分
z z
若z  f  x,y 在点 x ,y 处可微，A ，B  ，则有
0 0 x xx０ y xx０
yy０ yy０
z z
dz  dx dy .
xx０ x xx０ y xx０
yy０ yy０ yy０
考点2 复合函数的偏导数
设函数u  x,y  ,v x,y 在点 x,y 处有连续偏导数.函数 z  f  u,v  在对应点
 u,v 处有连续偏导数.则复合函数z  ［f  x,y  , x,y ］在点 x,y 处对x,y有连续偏
z z u z v z z u z v
导数，且   ，   .
x u x v x y u y v y
考点3 一元隐函数的偏导数
6设方程F  x,y 0确定 y是x的函数，且F  x,y 在点 x,y 的某个邻域内具有连续偏导
 
数，则 dy  F x x,y  F  x,y  0  .
dx F  x,y  y
y
考点4 极值存在的充分条件
设函数 z  f  x,y  在其驻点  x ,y  的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令
0 0
A f  x ,y  ,B  f  x ,y ，C  f  x ,y ， B2AC ，于是有
xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0
（1）如果0，则点
x ,y
是函数的极值点，且当A0时，
f

x ,y
是极大值；当
0 0 0 0
A0时， f  x ,y 是极小值.
0 0
（2）如果 0，则点 x ,y 不是函数的极值点.
0 0
（3）如果 0，则函数z  f  x,y 在点 x ,y 有无极值不能确定，需用其他方法判别.
0 0
第五章 概率论初步
考点1 事件的独立性
如果P  AB P  A  P  B ，则称事件A,B是相互独立的.
考点2 期望的性质
（1）E  C C （C为常数）.
（2）E  kX kE  X .
（3）E  k X k Y k E  X k E  Y .
1 2 1 2
（4）若X，Y 相互独立，则E  XY E  X  E  Y .
考点3 方差的性质
（1）D  C 0.
（2）D  X C D  X .
（3）D  kX k2D  X .
（4）若X，Y 相互独立，则D  X Y D  X D  Y .
（5）D  X E  X2  ［E  X ］2.
7