高等数学（一）第七章（完）_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数一-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

第第七七章章 常常微微分分方方程程 一、 基本概念 第第一一节节 一一阶阶微微分分方方程程 一 、 基本概念 例1 一曲线经过点 ，且曲线上任意一点 【例1】 一曲线经过点（1,2），且任意一点 一、 基本概念 (x,y) 处的切线的斜率等于该点的横坐标， 例1 一曲线经过点 ，且曲线上任意一点 试确定此曲线的方程。 (x,y) 处的切线的斜率等于该点的横坐标， x2 试确定此曲线的方程。 yx y c 解名师 解析： ，不难得出 ； 2 x2 yx y c 解 ，不难得出 ； 2 曲线经过点 ，即 ，得 ， 曲线经过点 ，即 ，得 ， 所求曲线方程为： 。 所求曲线方程为： 。 【例2】下列方程是一阶线性微分方程的是 【05年真题】名师解答： C 名师解析：根据一阶线性微分方程的定义可得 【例3】微分方程 的阶数是 【10年真题】 名师解答： B 名师解析：根据微分方程阶数的定义 二 可分离变量的微分方程 dy f(x)g(y) 形如 的方程， dx 基中f(x)只是x 的函数， g(y)只是y的函数。 解可分离变量的方法是： 第一步 分离变量 将方程写成g(y)dy = f(x)dx 的形式； 第二步 两边积分  g(y)dy =  f(x)dx，得G(y) = F(x) + C; 第三步 求出由G(y) = F(x) + C所确定的函数 【例4】求微分方程 的通解 例2求微分方程 的通解. 名师解析： dy 解分离变量得 2xdx y dy  2xdx 两端积分得 y l|ny|x2C 1 方程的通解 yCxe 2 .【例5】求微分方程 的通解 【03年真题】 名师解析： 三 一阶微分方程 三 、一阶线性微分方程 yp(x)yq(x) 形如： yp(x)y0 1一阶线性齐次微分方程： p(x)dx yce 通解 2一阶线性非齐次微分方程： yp(x)yq(x) p(x)dx p(x)dx (q(x)edxc)e 通解为y 【例6】求微分方程 的通解 名师解析：例4 求方程 的通解. 1 sixn P(x) ,Q(x) , 解 于是 x x 1 1  dxsixndx yex exdxC   x    sxin  elxn  elxndxC  x  1 (coxsC). x 【例7】求微分方程 在y（2）=1的特解 例 5 求 在 时的特解。 名师解析： 1 1 y y 解： x x2 1 1 p(x) q(x) 其中 ， ， x x2 p(x)dx p(x)dx ye {q(x)edc}x  1 dx 1 1 dx ex{exdcx} x2 y(2)1 c2ln2 由初始条件 ， lnx2ln2 满足初始条件的特解为 y 。 x 【例8】求微分方程 的通解 【07年真题】yycxoesxsin 求 的通解 名师解析： cxodss cxodsx ye  esxien dcx 解     esxiensxeisnxdincx   esxindxc esxinxc  【例9】设函数y=f（x）由微分方程xyy2x 确定 例7，设函数y=f（x）由微分方程 确定 【03年真题】  y x1 0 （1） 求函数y=f（x）的表达式 （2） 讨论函数y=f（x）在(0,)内的单调性 解 （1） 名师解析： （1） 1  1   dx  dx y  e x   2e x dx  c    1     2xdx  c x 1 c   x2  c   x  x x y  0  1 c  c  1 x1 1 y  x  x 1 y1 0 （2） x2 单调递增y  x2 例 8 设函数 y=f（x）上任一点（x，y）处的切线斜率为 ， x 【例10】设函数y=f（x）上任一点（x，y）的切线的斜率是  1  1,   且该曲线经过点  2  （1） 求函数 y=f（x）的表达式 （2） 求由曲线 y=f（x），y=0，x=1 所围图形绕 x轴旋转一周所 得旋转体的体积 V 【02年真题】 名师解析： y y x2 解 （1） x y y  x2 x  1 dx   1 dx  y e x x2e x dxc     1   x xdxc  x x2 c   2  1 1 1  cc0 y x3 2 2 2 【例11】求微分方程 在y（1）=0的特解 【04年真题】 名师解析：1 y yx 例9 求微分方程 满足条件 的特解 x  1 dx   1 dx  yex xex dxc 解    1  x x dxc    x  xxc y 01cc1 x1 yxx1x2x 【例12】求微分方程 的通解 【16年真题】 名师解析： 【例13】求微分方程 的通解 【18年真题】 名师解析： 第第二二节节 常常系系数数线线性性微微分分方方程程 一、二阶常系数线性微分方程 齐次 非齐次 二、线性微分方程解的性质齐次的通解； 非齐次的通解； 一，二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 三、 求解二阶常系数线性齐次微分方程 求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0 的通解步骤如下： 第一步 写出微分方程的特征方程r2pqr0； 第二步 求出特征根r 和r ； 1 2 第三步 根据r 和r 的三种不同情况,写出方程的通解： 1 2 特征方程的根 通解形式 两个不等实根rr yCer 1 xCer 2 x 1 2 1 2 rrr 两个相等实 1 2 y(CCx)erx 1 2 一对共轭复根ri yex(CcosxCsinx) 1 2 【例14】求微分方程 的通解 名例师10解 析求：方程 的通解. 解 方程yy6y0的特征方程为 r2r60 ， r3 特征根为 r2, 2 ， 1 通解为yCe2xCe3x . 1 2 【例15】求微分方程 的通解 名师解析：例11 求方程 的通解 解 方程y4y4y0的特征方程为 r24r40 ， 其特征根 rr2， 1 2 通解为y(CCx)e2x . 1 2 【例16】求微分方程 的通解 例 12 求方程 的通解. 名师解析： r2 2r50, 解 特征方程为 r 12i, 解得 1,2 故所求通解为 yex(Cc2xoCs2xs)i.n 1 2 二 形如 四、求解二阶常系数线性非齐次微分方程 通解为 y Y y* C yC y  y* 1122 其中y*是原方程的一个特解， Y C yC y 11 22 是原方程所对应的齐次的通解, 【例17】下列方程具有什么形式的特解例 13 下列方程具有什么样形式的特解? y5y6ye 3x ; (1) y5y6y3x2x ;e (2) (3) y2yy(3x21)ex. 名师解析： 3 解 (1) 因 不是特征方程 r25r60的根, y*be3x; 故方程具有特解形式： 0 【例18】求 的特解 例14求方程 的一个特解. 名师解析： P(x)3x1,0. 解 其中 m r22r30, 特征方程为 r1,r 3. 特征根为 1 2 0 由于 不是特征方程的根，y*bxb. 所以就设特解为 0 1 得 3bx2b3b3x1, 0 01 3b3 比较系数得 0 , 2b3b1  0 1 b 1 解得  0 . 所求特解为 y*x 1 . b 13  3 1 【例19】求微分方程 的通解 【13年真题】 名师解析： 【例20】求微分方程 的通解 名师解析：例 16 求微分方程 的通解. 2 r10, 解 特征方程为 r i, r i, 特征根为 1 2 YCcxoCsxs,in 齐次方程的通解为 1 2 yyx y*x, 观察可得, 的一个特解为 1 yyex y* 1 ex. 的一个特解为 2 2 1 YCcxoCssxixnex 1 2 2 【例21】求微分方程 的通解 【14年真题】 名师解析： 特解是 代入原方程 【例22】求微分方程 的通解 【16年真题】名师解析： 特解是 代人原方程