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2026年中考数学一轮复习 一次函数
一．选择题（共9小题）
1．如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的
交点坐标为（ ）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
7
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
3
2．如图，直线l：y=√3x，过点A（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于
点A ，过点A 作x轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ，…，按此作法继
1 1 1 1 2
续下去，则点B 的坐标为（ ）
2018
A．（22018，22018√3） B．（22018，121009）
C．（42018，42018√3） D．（42018，481009）
3．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙
地，货车的路程y （km），小轿车的路程y （km）与时间x（h）的对应关系如图所示，下列结论错误
1 2
的是（ ）
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A．甲、乙两地的距离为420km
{ 90x
B．y ＝60x，y =
1 2 100x−230
C．货车出发4.5h与小轿车首次相遇
D．两车首次相遇时距乙地150km
4．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的
{y=2x+3， {x=−1
“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程 ，解得 ，则y＝2x+3的
y=−x y=1
“关联点”为（﹣1，1）．
①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）；
1
②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则m= ，n＝﹣1；
2
③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2；
④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联
1
点”，若P点为x轴上一个动点，使得S = S ，则点P的坐标为（﹣1.5，0）．
△ABP 2 △ABO
以上说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
1
5．如图，在等腰△ACO中，AO＝AC，边AC交x轴于点B，点A在直线y＝3x+17，其中AB= AC，
4
3√10
sin∠C= 则点B的坐标为（ ）
10
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13 53 17 25
A．（− ，0） B．（− ，0） C．（− ，0） D．（− ，0）
3 12 4 6
1
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=− x+2的图象上，且
2
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟
3
后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的 掉头返回A地．拿到物品后以
2
提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，
下列说法不正确的是（ ）
A．乙的速度为240m/min
89
B．两人第一次相遇的时间是 分钟
6
C．B点的坐标为（3，3520）
85
D．甲最终达到B地的时间是 分钟
3
8．A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达
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B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说
法错误的是（ ）
A．乙每分钟比甲多走20m
B．乙出发20min后两人相遇
C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m
D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m
9．一次函数y ＝ax+b与y ＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
1 2
①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③a﹣c＝﹣b；
④d＜a+b+c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共11小题）
10．将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位，得到的直线解析式是 ．
11．将直线y＝3x+1沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的直线解析式是 ．
12．已知一次函数y＝（a﹣3）x+1+a不经过第三象限，则a的取值范围是 ．
13．已知点A（2，√2）在直线y＝kx上，若直线m过点A且垂直于直线y＝kx，则直线m的解析式为
．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+1与一次函数y ＝mx+n（m、n均为常数，且m≠0）
1 2
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的图象交于点A（2，﹣1），则关于x的不等式mx+n≥﹣x+1的解集是 ．
15．如果把直线y＝﹣3x+5沿y轴向下平移4个单位，那么得到的直线的表达式为 ．
16．将一次函数y＝2x+1先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是
．
17．直线y＝kx+b过点A（﹣2，y ），B（1，y ），若k＜0，则y 与y 大小关系为 ．
1 2 1 2
18．如图，一次函数y＝ax﹣b的图象经过A（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为
．
19．已知一次函数y＝2x+b，它的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则b的值为 ．
4
20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=− x+4与坐标轴交于A、B两点，若△ABC是等腰直
3
角三角形，则点C的坐标为 ．
三．解答题（共13小题）
21．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|a+4|=−√3−b，将直线AB
沿x轴向右平移m个单位长度交x轴于点D，交y轴于点C（0，c）（c＜0）．
（1）求三角形AOB的面积；
3
（2）如图1，若c=− ，求m的值；
2
（3）如图2，当CD＝AB时，过点B作x轴的平行线交直线CD于点E，点P以每秒1个单位长度的速
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度从点B出发沿射线BE运动，设运动时间为t秒，连接CP交x轴于点F，若三角形CDF的面积不大
于三角形OCD的面积的一半，求t的取值范围．
8
22．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且OA= ，OB＝8．
3
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若△CDE是等腰直角三角形，点C在直线AB上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且
∠CDE＝90°；
①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标；
②是否存在点D，使得点E落在直线AB上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次
函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的
交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
11
（2）若四边形PQOB的面积是 ，且CQ：AO＝1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函
2
数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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1
24．如图，一次函数y= x−3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
2
（1）求出点A和点B的坐标．
（2）如图1，过y轴上一点E（0，1）作射线EF交线段AB于点G，交x轴于点F，若∠EGB＝45°，
求点F的坐标．
（3）如图2，直线AB与直线y＝x交于点D，M是x轴上一动点，连结MB、MD，把△MBA沿BM折
1
叠得到△MBN，△MBN与△MDA重合部分的面积是△MDA面积的 ，请直接写出点M的坐标．
4
25．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和直线y＝ax+b，我们称点P（a，b）是直线y＝
ax+b的“友谊点”，直线y＝ax+b是点P（a，b）的“友谊直线”．特别地，当a＝0时，直线y＝b
（b为常数）的“友谊点”为P（0，b）．
（1）已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），则点A的“友谊直线”的解析式为 ；直
线AB的“友谊点”的坐标为 ；
（2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”y＝kx+b（k≠0）经过点Q和点M（1，2+b），
求该直线的解析式；
（3）直线l：y＝（m﹣1）x+2m﹣5（m≠1）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”．
①若m为整数，求点P的坐标；
②直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，OA＝4，N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的
四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
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1
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=− x+6与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，
2
将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．
（1）求线段AB的长度；
（2）过点D作DE垂直于x轴于点E，已知点D（8，2），求出BC的函数解析式；
（3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、
E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知直线a：y＝kx﹣2k+2过定点A．动点P（m，2m+2），当m＝1时，
记点P为点B．
（1）求直线a过原点时k的值，及点A的坐标；
（2）直接写出动点P（m，2m+2）运动的轨迹；
（3）①当PA+PB的和最小时，求点P的坐标；
②直接写出使得△POA面积等于2的m值．
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√3
28．如图1，直线y=− x+3图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段OA、线段AB
3
上一动点（点C与点A不重合），且AD＝CD．
（1）求点A，B坐标和∠BAO度数；
（2）设OC的长度为m（0＜m＜3），
①用含m的代数式表示CD的长度；
②过点D作DE⊥OB，垂足为点E（如图2），当CD≥DE时，求m的取值范围．
1
29．如图1，已知函数y= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
2
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
9
①若△PQB的面积为 ，求点M的坐标；
4
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
1
30．如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝x﹣2与y =− x+b相交于点A，与y轴分别交于点C和点
1 2 2
B，点A的横坐标为4．
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（1）若y ＜y ，则x的取值范围为 ；
1 2
（2）求△ABC的面积；
（3）已知M是线段AC上的一点，过点M作直线MN∥y轴，交直线y 于点N；过点M作MQ∥x轴，
2
交y轴于点Q，连接QN．是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1：2？若存在，请求出满
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点B（6，8），
1
一次函数y=− x+b的图象与y轴交于点D、与边AB交于E，并且平分矩形ABCO的周长．
2
（1）b＝ ，DE＝ ；
1
（2）点P是一次函数y=− x+b图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T
2
是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标．
32．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4√5，点B的坐
标为B（2a，a）．
（1）求对角线AC所在直线的解析式．
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，
F，E，求点D和点E的坐标．
（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的
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四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图1，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝6，OC＝4，过点A的直线交矩形
OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y
轴于点E．
（1）若△APD为等腰直角三角形，求直线AP的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，若点Q是直线AP上一点，且△QAD的面积为12，求点Q的坐标；
（3）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请在
图2中画出成立的图形，并求直线PE的解析式．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的
交点坐标为（ ）
A．（﹣8，0） B．（3，0）
7
C．（﹣11，0），（ ，0） D．（﹣10，0），（2，0）
3
【答案】C
【分析】先求出点A的坐标；设直线y＝2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC
和BC的长；若将直线y＝2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°
时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴
于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求
出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB
交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点 F的坐标，进而求出直线AQ
的表达式，最后可求出点Q的坐标．
【解答】解：令2x+2＝﹣x+5，解得x＝1，
∴A（1，4）．
设直线y＝2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴OC＝1，AC＝4，
令y＝2x+2＝0，则x＝﹣1，
∴OB＝1，
∴BC＝2．
将直线y＝2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况：
①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP＝45°，
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过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠ACO＝∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠ABD＝90°，∠BAP＝45°，
∴∠BDA＝∠BAP＝45°，
∴AB＝BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC＝DE＝2，BE＝AC＝4，
∴OE＝3，
∴D（3，﹣2），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
{ k+b=4 {k=−3
∴ ，解得 ，
3k+b=−2 b=7
∴直线AP的解析式为y＝﹣3x+7，
7
令y＝0，则x= ，
3
7
∴P（ ，0）；
3
②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点
F，
则∠BAQ＝45°，
∵∠ABF＝∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠BFA＝45°，
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∴BF＝BA＝BD，即点B为DF的中点，
∵B（﹣1，0），D（3，﹣2），
∴F（﹣5，2），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，
1
{m=
{−5m+n=2 3
∴ ，解得 ，
m+n=4 11
n=
3
1 11
∴直线AQ的解析式为：y= x+ ．
3 3
令y＝0，则x＝﹣11，
∴Q（﹣11，0），
7
综上所述，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（﹣11，0），（ ，0）．
3
故选：C．
【点评】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角
形的性质等内容，关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决．
2．如图，直线l：y=√3x，过点A（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于
点A ，过点A 作x轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ，…，按此作法继
1 1 1 1 2
续下去，则点B 的坐标为（ ）
2018
A．（22018，22018√3） B．（22018，121009）
C．（42018，42018√3） D．（42018，481009）
【答案】C
【分析】依据直线l：y=√3x，A（1，0），AB⊥x轴，即可得到AB=√3，即∠ABO＝30°，再根据规
律即可得到OA ＝42018，A B ＝42018√3，进而得到点B 的坐标为（42018，42018√3）．
2018 2018 2018 2018
【解答】解：∵直线l：y=√3x，A（1，0），AB⊥x轴，
∴AB=√3，即∠ABO＝30°，
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又∵A B⊥OB，
1
∴∠BA O＝30°，
1
∴AA =√3AB＝3，OA ＝1+3＝4，
1 1
又∵A B ⊥x轴，
1 1
∴A B ＝4√3，
1 1
同理可得，A A ＝12，OA ＝4+12＝16＝42，
1 2 2
∴A B ＝16√3=42√3，
2 2
同理可得，A A ＝48，OA ＝16+48＝64＝43，
2 3 3
∴A B ＝64√3=43√3，
3 3
……
由此可得，OA ＝42018，A B ＝42018√3，
2018 2018 2018
∴点B 的坐标为（42018，42018√3），
2018
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特点，涉及到如何根据一次的解析式和点的坐标求线
段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
3．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙
地，货车的路程y （km），小轿车的路程y （km）与时间x（h）的对应关系如图所示，下列结论错误
1 2
的是（ ）
A．甲、乙两地的距离为420km
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{ 90x
B．y ＝60x，y =
1 2 100x−230
C．货车出发4.5h与小轿车首次相遇
D．两车首次相遇时距乙地150km
【答案】B
【分析】A、观察函数图象，即可找出甲乙两地的距离，选项A正确；B、观察函数图象，找出点的坐
标，利用待定系数法即可求出两函数解析式，选项B错误；C、将y＝270代入y ＝60x中求出x值，选
1
项C正确；D、由两车首次相遇的时间即可求出两车首次相遇时距乙地的距离，选项D正确．此题得
解．
【解答】解：A、由图象可得，甲乙两地的距离是420km，
∴选项A正确；
B、设货车的路程y 与x的函数关系式为y ＝kx，小轿车的路程y 与x的函数关系式为y ＝mx+n，
1 1 2 2
将（7，420）代入y ＝kx中，
1
420＝7k，解得：k＝60，
∴货车的路程y 与x的函数关系式为y ＝60x；
1 1
当x＝5.75时，y ＝60x＝60×5.75＝345，
1
将（5.75，345）、（6.5，420）代入y ＝mx+n中，
2
{5.75m+n=345 {m=100
，解得： ，
6.5m+n=420 n=−230
∴y ＝100x﹣230（5≤x≤6.5）．
2
当x＝5时，y ＝100x﹣230＝100×5﹣230＝270，
2
将（0，0）、（3，270）代入y ＝mx+n中，
2
{ n=0 {m=90
，解得： ，
3m+n=270 n=0
∴y ＝90x（0≤x≤3）．
2
{ 90x(0≤x≤3)
∴y = 270(3≤x≤5) ，
2
100x−230(5≤x≤6.5)
∴选项B错误；
C、令y ＝60x＝270，解得：x＝4.5，
1
∴货车出发4.5h与小轿车首次相遇，选项C正确；
D、∵货车出发4.5h与小轿车首次相遇，
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∴y ＝60x＝60×4.5＝270，
1
∴420﹣270＝150（km），
∴两车首次相遇时距乙地150km，选项D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象，逐一分析四
个选项的正误是解题的关键．
4．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的
{y=2x+3， {x=−1
“关联点”．例如求y＝2x+3的“关联点”：联立方程 ，解得 ，则y＝2x+3的
y=−x y=1
“关联点”为（﹣1，1）．
①一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）；
1
②若一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），则m= ，n＝﹣1；
2
③若一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，则k＝2；
④若一次函数y＝kx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y＝kx﹣3上没有“关联
1
点”，若P点为x轴上一个动点，使得S = S ，则点P的坐标为（﹣1.5，0）．
△ABP 2 △ABO
以上说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
{y=3x+4 {x=−1
【分析】①联立 ，解得 ，于是得到一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）
y=−x y=1
故①正确；
1
②根据一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），解方程得到n＝﹣1，m=− ，故②错误；
2
③根据一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，得到一次函数 y＝kx+3的“关联
点”为（﹣1，1），解方程得到k＝2，故③正确；
④由一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，得到直线y＝kx﹣3与直线y＝﹣x平行，求得k＝﹣1，得
到y＝﹣x﹣3，解方程得到A（﹣3，0），B（0，﹣3），求得OA＝3，OB＝3，设P（t，0），根据三
角形的面积公式列方程即可得到结论；
{y=3x+4
【解答】解：①联立 ，
y=−x
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{x=−1
解得 ，
y=1
∴一次函数y＝3x+4的“关联点”为（﹣1，1）故①正确；
②∵一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，n﹣1），
∴﹣2＝n﹣1，
∴n＝﹣1，
∴一次函数y＝mx+n的“关联点”为（2，﹣2），
∴2m﹣1＝﹣2，
1
解得m=− ，故②错误；
2
③一次函数y＝3x+4和一次函数y＝kx+3的“关联点”相同，
∴一次函数y＝kx+3的“关联点”为（﹣1，1），
∴1＝﹣k+3，
∴k＝2，故③正确；
④∵一次函数y＝kx﹣3上没有“关联点”，
∴直线y＝kx﹣3与直线y＝﹣x平行，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），
∴OA＝3，OB＝3，
设P（t，0），
∴AP＝|3﹣t|，
1 3|−3−t| 1 1 9
∴S△ABP =
2
|﹣3﹣t|×3 =
2
，S△ABO =
2
OA⋅OB=
2
×3×3 =
2
，
1
∵S△ABP =
2
S△ABO ，
3|−3−t| 1 9
∴ = × ，
2 2 2
3
∴|﹣3﹣t|= ，
2
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9 3
解得：t=− 或t=− ，
2 2
9 3
∴P（− ，0）或（− ，0）故④错误，
2 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点
问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义是解题的关键．
1
5．如图，在等腰△ACO中，AO＝AC，边AC交x轴于点B，点A在直线y＝3x+17，其中AB= AC，
4
3√10
sin∠C= 则点B的坐标为（ ）
10
13 53 17 25
A．（− ，0） B．（− ，0） C．（− ，0） D．（− ，0）
3 12 4 6
【答案】B
3√10
【分析】设直线y＝3x+17与x轴交于点D，由sin∠ADO= =sin∠C，可证△ADB∽△OCB，设
10
3√10 a √10
CO ＝ 2a ， 由 sinC= ， 可 求 出 cos∠ BCO= = ， 由 cos∠ BCO
10 √10a 10
BC2+CO2−BO2 √10 √53
= = ，得BO= a，再利用相似三角形的性质列出a的方程，即可解决问题．
2BC⋅CO 10 8
【解答】解：设直线y＝3x+17与x轴交于点D，
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3√10
则sin∠ADO= =sin∠C，
10
∴∠ADO＝∠C，
∴△ADB∽△OCB，
设CO＝2a，
3√10
∵sinC= ，
10
∴AC＝AO=√10a，
a √10
∴cos∠BCO= = ，
√10a 10
1 √10 3√10
∴AB= AC= a，BC= a，
4 4 4
在△BCO中，
BC2+CO2−BO2 √10
cos∠BCO= = ，
2BC⋅CO 10
√53
∴BO= a，
8
17 √53
∴BD= − a，
3 8
∵△ADB∽△OCB，
BD AB
∴ = ，
BC BO
17 √53 √10
− a a
3 8 4
∴ = ，
3√10 √53
a a
4 8
2 √53
∴a= × ，
3 8
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√53 2 53 53
∴BO= •a= × = ，
8 3 8 12
53
∴B（− ，0），
12
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余弦定理
等知识，利用余弦定理求出BO的长是解题的关键．
1
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=− x+2的图象上，且
2
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
1
【分析】设C（m，− m+2）．构建方程即可解决问题；
2
1
【解答】解：设C（m，− m+2）．
2
5
①当CA＝CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C（﹣1， ）．
2
1
②当AC＝AB时，（m+4）2+（− m+2）2＝36，
2
−12±4√29
解得：m= ，
5
−12+4√29 16−2√29 −12−4√29 16+2√29
∴C（ ， ）或（ ， ）
5 5 5 5
1
③当BC＝AB时，（m+2）2+（− m+2）2＝36，
2
12±8√11
解得m= ，
5
12+8√11 4−4√11 12−8√11 4+4√11
∴C（ ， ）或（ ， ）；
5 5 5 5
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综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从A地前往B地，乙从B地前往A地．甲先出发3分钟
3
后乙才出发，当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的 掉头返回A地．拿到物品后以
2
提速后的速度继续前往B地，二人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，
下列说法不正确的是（ ）
A．乙的速度为240m/min
89
B．两人第一次相遇的时间是 分钟
6
C．B点的坐标为（3，3520）
85
D．甲最终达到B地的时间是 分钟
3
【答案】D
3 3
【分析】由CD∥x轴知，乙速度是甲提速前速度的 ，设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为 x
2 2
3
米/分，根据C点坐标得6x+（6﹣3）× x＝4000﹣2320，即可解得甲提速前速度是160米/分，乙速度
2
3 3
为 x = ×160＝240米/分，可判断A正确，且甲提速后速度为240米/分，故甲返回所用时间是4分，
2 2
甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，设两人第一次相遇的时间是y分钟，可得240（y﹣
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89
10）+240（y﹣3）＝4000，即可解得两人第一次相遇的时间是 分钟，可判断B正确，由甲以160
6
米/分的速度，3分钟所走路程是480米，可得B点的坐标为（3，3520），可判断C正确，甲拿到物品
4000 80
后再次从A地出发的时间是第10分钟，即得甲最终达到B地的时间是 +10= 分，可判断D不
240 3
正确．
3
【解答】解：由CD∥x轴知，乙的速度与甲提速后的速度相等，即乙速度是甲提速前速度的 ，
2
3
设甲提速前速度是x米/分，则乙速度为 x米/分，
2
3
根据C点坐标可得：6x+（6﹣3）× x＝4000﹣2320，
2
解得x＝160，
3 3
∴甲提速前速度是160米/分，乙速度为 x= ×160＝240米/分，故A正确，不符合题意；
2 2
∴甲提速后速度为240米/分，
6×160
∴甲返回所用时间是 = 4分，
240
∴甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
设两人第一次相遇的时间是y分钟，则240（y﹣10）+240（y﹣3）＝4000，
89
解得y= ，
6
89
∴两人第一次相遇的时间是 分钟，故B正确，不符合题意；
6
由题意，甲以160米/分的速度，3分钟所走路程是480米，
∴3分钟时两人相距4000﹣480＝3520米，
∴B点的坐标为（3，3520），故C正确，不符合题意；
∵甲拿到物品后再次从A地出发的时间是第10分钟，
4000 80
∴甲最终达到B地的时间是 +10= 分，故D不正确，符合题意，
240 3
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解
答．
8．A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达
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B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说
法错误的是（ ）
A．乙每分钟比甲多走20m
B．乙出发20min后两人相遇
C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m
D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m
【答案】B
【分析】从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min，由图象知，乙的速度快，则t
＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min），则乙的速度为：2400÷30＝80m/min，进而
求解．
【解答】解：A．从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min，
由图象知，乙的速度快，则t＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min），
则乙的速度为：2400÷30＝80m/min，
故乙每分钟比甲多走20m，正确，不符合题题意；
B．设x min乙追上甲，则x（80﹣60）＝300，
解得：x＝15（min），
即乙出发15 min时，两人相遇，故B错误，符合题意；
C．当t＝35min时，甲运动的路程为：35×60＝2100（m），
则乙到达B地时，甲距离B地还有300m，故C正确，不符合题意；
D．甲开始走4分钟，走的路程为4×60＝240（m），
此时两人相距240m，
甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为60×8﹣80×3＝240（m），
故D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，通过图象关键点，确定运动速度是求解的关键．
9．一次函数y ＝ax+b与y ＝cx+d的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
1 2
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①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；
②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；
③a﹣c＝﹣b；
④d＜a+b+c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据函数图象可直接判断①；根据a、d的符号即可判断②；当x＝3时，y ＝y ，可得3a+b
1 2
1
＝3c+d，即a﹣c= （d﹣b），即可判断③；当x＝1时，y ＝a+b，当x＝﹣1时，y ＝﹣c+d，结合图
3 1 2
象可得a+b＞﹣c+d，即d＜a+b+c，可判断④．
【解答】解：由图象可得，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小，
故①正确，符合题意；
由图象可得，a＜0，d＜0，
∴函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，
故②正确，符合题意；
∵一次函数y ＝ax+b与y ＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
1 2
∴3a+b＝3c+d，
1
∴a﹣c= （d﹣b），
3
故③不正确，不符合题意；
当x＝1时，y ＝a+b，
1
当x＝﹣1时，y ＝﹣c+d，
2
由图象可知，当x＜3时，满足y ＞y ，
1 2
∴a+b＞﹣c+d，
∴d＜a+b+c，
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故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关
键．
二．填空题（共11小题）
10．将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位，得到的直线解析式是 y ＝﹣ 4 x ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据上加下减的法则可得出平移后的函数解析式．
【解答】解：将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位得到直线l，
则直线l的解析式为：y＝﹣4x+3﹣4，即y＝﹣4x﹣1．
故答案为：y＝﹣4x﹣1
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换的知识，难度不大，掌握上加下减的法则是关键．
11．将直线y＝3x+1沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的直线解析式是 y ＝ 3 x + 3 ．
【答案】y＝3x+3．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝3x+1沿y轴向上平移2个单位，得到的直线解析式是 y＝3x+1+2，即y＝
3x+3．
故答案为：y＝3x+3．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律
“左加右减，上加下减”．
12．已知一次函数y＝（a﹣3）x+1+a不经过第三象限，则a的取值范围是 ﹣ 1 ≤ a ＜ 3 ．
【答案】﹣1≤a＜3．
{a−3＜0
【分析】根据一次函数y＝（a﹣3）x+1+a不经过第三象限，可知 ，解不等式组即可．
1+a≥0
{a−3＜0
【解答】解：由条件可得 ，
1+a≥0
解得：﹣1≤a＜3，
故答案为：﹣1≤a＜3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
13．已知点A（2，√2）在直线y＝kx上，若直线m过点A且垂直于直线y＝kx，则直线m的解析式为 y
=−√2x+3√2 ．
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【答案】y=−√2x+3√2，
【分析】设直线m交x轴于B，过点A作AM⊥y轴于M，BN⊥AM于N，设B（a，0），则AN＝a﹣
2，BN=√2，通过证得△AOM∽△BAN，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线m的解析
式．
【解答】解：设直线m交x轴于B，过点A作AM⊥y轴于M，BN⊥AM于N，
∵A（2，√2），
∴AM＝2，OM=√2，
设B（a，0），则AN＝a﹣2，BN=√2，
∵OA⊥BA，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠OAM+∠AOM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∵∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴△AOM∽△BAN，
AN BN a−2 √2
∴ = ，即 = ，
OM AM √2 2
∴a＝3，
∴B（3，0），
设直线m的解析式为y＝tx+n，
{2t+n=√2
把A、B的坐标代入得 ，
3t+n=0
{t=−√2
解得 ，
n=3√2
∴直线m的解析式为y=−√2x+3√2，
故答案为：y=−√2x+3√2，
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【点评】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得直线与坐标轴的交
点坐标是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣x+1与一次函数y ＝mx+n（m、n均为常数，且m≠0）
1 2
的图象交于点A（2，﹣1），则关于x的不等式mx+n≥﹣x+1的解集是 x ≥ 2 ．
【答案】x≥2．
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合解答即可．
【解答】解：∵一次函数y ＝﹣x+1与一次函数y ＝mx+n（m、n均为常数，且m≠0）的图象交于点A
1 2
（2，﹣1），
∴关于x的不等式mx+n≥﹣x+1的解集是x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握以上知
识点是关键．
15．如果把直线y＝﹣3x+5沿y轴向下平移4个单位，那么得到的直线的表达式为 y ＝﹣ 3 x + 1 ．
【答案】y＝﹣3x+1．
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
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【解答】解：所得直线的表达式是：y＝﹣3x+5﹣4，即y＝﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣3x+1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．
16．将一次函数y＝2x+1先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是
y ＝ 2 x ﹣ 2 ．
【答案】y＝2x﹣2．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：平移后所得直线的函数表达式是y＝2（x﹣1）+1﹣1＝2x﹣2，
即y＝2x﹣2，
故答案为：y＝2x﹣2．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，熟练掌握该知识点是关键．
17．直线y＝kx+b过点A（﹣2，y ），B（1，y ），若k＜0，则y 与y 大小关系为 y ＞ y ．
1 2 1 2 1 2
【答案】y ＞y ．
1 2
【分析】根据k＜0时，一次函数y＝kx+b中函数值y随着x的增大而减小，再判断即可．
【解答】解：由k＜0可知一次函数函数值y随着x的增大而减小．
因为A（﹣2，y ），B（1，y ），﹣2＜1，
1 2
所以y ＞y ．
1 2
故答案为：y ＞y ．
1 2
【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键．
18．如图，一次函数y＝ax﹣b的图象经过A（3，0），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为 x ＞﹣ 3
．
【答案】x＞﹣3．
【分析】因为一次函数y＝ax﹣b的图象经过A（3，0），即当x＝3时，y＝0，求得b＝3a，对于不等
式ax+b＞0，变形为ax+3a＞0，解不等式即可确定解集．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣b的图象经过A（3，0），a＞0，
∴把x＝3，y＝0代入y＝ax﹣b中，可得3a﹣b＝0，即b＝3a，
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将b＝3a代入不等式ax+b＞0，得到ax+3a＞0，
∴ax＞﹣3a，
∴x＞﹣3．
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的联系．通过函数图象上的点的坐标求出函数中
参数的关系，再代入不等式求解，解题的关键在于利用函数图象的单调性判断a的正负，这是解不等
式时确定不等号方向是否改变的关键因素．
19．已知一次函数y＝2x+b，它的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则b的值为 4 或﹣ 4
．
【答案】4或﹣4．
b
【分析】已知一次函数的表达式为y＝2x+b，求出函数图象与坐标轴的交点坐标分别为(− ，0)，
2
1 b
（0，b），由此可知图象与坐标轴围成直角三角形，根据三角形面积公式可写为 |b|⋅|− |=4，
2 2
计算求出b即可．
b
【解答】解：由条件可知一次函数y＝2x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为(− ，0)，（0，b），
2
∵一次函数y＝2x+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，
1 b 1 b2
∴ |b|⋅|− |=4，即 × =4，
2 2 2 2
解得：b＝±4，
故答案为：4或﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是
解答本题的关键．
4
20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=− x+4与坐标轴交于A、B两点，若△ABC是等腰直
3
角三角形，则点C的坐标为 （ 7 ， 3 ） ．
【答案】（7，3）．
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【分析】通过一次函数解析式能求出A、B两点的坐标，也就是OA，OB的长，由等腰直角△ABC可
以得出AB＝AC，作CD垂直于x轴，构造△ABO≌△CAD，从而求出AD、CD的长，得到点C的坐标．
【解答】解：由条件可知点A坐标为（3，0），点B坐标为（0，4），
作CD垂直于x轴，
∴∠CDA＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△AOB和△CDA中，
{∠BOA=∠CDA
∠ABO=∠CAD，
AB=AC
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴AD＝BO，AO＝CD，
∴OD＝AO+AD＝3+4＝7，
∴DC＝OA＝3，
∴点C的坐标是（7，3）．
故答案为：（7，3）．
【点评】本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点是关键．
三．解答题（共13小题）
21．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|a+4|=−√3−b，将直线AB
沿x轴向右平移m个单位长度交x轴于点D，交y轴于点C（0，c）（c＜0）．
（1）求三角形AOB的面积；
3
（2）如图1，若c=− ，求m的值；
2
（3）如图2，当CD＝AB时，过点B作x轴的平行线交直线CD于点E，点P以每秒1个单位长度的速
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度从点B出发沿射线BE运动，设运动时间为t秒，连接CP交x轴于点F，若三角形CDF的面积不大
于三角形OCD的面积的一半，求t的取值范围．
【答案】（1）三角形AOB的面积为6；
（2）m的值为6；
（3）三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，t的取值范围是4≤t≤12．
【分析】（1）由a，b满足|a+4|=−√3−b，可得a＝﹣4，b＝3，故OA＝4，OB＝3，用三角形面
积公式得三角形AOB的面积为6；
3 3 3
（2）用待定系数法求出直线 AB解析式为y= x+3，当c=− 时，C（0，− ），由平移可知，
4 2 2
3 3
CD∥AB，故直线CD解析式为y= x− ，可得D（2，0），从而m＝2﹣（﹣4）＝6；
4 2
1
（3）证明△AOB≌△DOC（ASA），可得OA＝OD＝4，OB＝OC＝3，S△OCD =
2
OC•OD＝6，根据三
角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，得DF≤2，当F在D左侧，且DF＝2时，求出P
（4，3），可得t＝BP÷1＝4（秒）；当F在D右侧，且DF＝2时，同理得t＝BP÷1＝12（秒），即知
t的取值范围是4≤t≤12．
【解答】解：（1）∵a，b满足|a+4|=−√3−b，
∴|a+4|+√3−b=0，
∴a+4＝0，3﹣b＝0，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
1
∴S△AOB =
2
×4×3＝6；
∴三角形AOB的面积为6；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b，
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{−4k+b=0
把A（﹣4，0），B（0，3）代入得： ，
b=3
{ 3
k=
解得 4，
b=3
3
∴直线AB解析式为y= x+3，
4
3 3
当c=− 时，C（0，− ），
2 2
由平移可知，CD∥AB，
3 3
∴直线CD解析式为y= x− ，
4 2
令y＝0得x＝2，
∴D（2，0），
∵A（﹣4，0），
∴m＝2﹣（﹣4）＝6，
∴m的值为6；
（3）∵CD∥AB，
∴∠ABO＝∠DCO，∠BAO＝∠CDO，
∵AB＝CD，
∴△AOB≌△DOC（ASA），
∴OA＝OD＝4，OB＝OC＝3，
1
∴S△OCD =
2
OC•OD＝6，
∵三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，
1 1
∴ DF×3≤ ×6，
2 2
解得DF≤2，
当F在D左侧，且DF＝2时，
∵D（4，0），
∴F（2，0），
3
由C（0，﹣3），F（2，0）得直线CF解析式为y= x﹣3，
2
令y＝3得x＝4，
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∴P（4，3）；
此时BP＝4，
∴t＝BP÷1＝4（秒）；
当F在D右侧，且DF＝2时，
∵D（4，0），
∴F（6，0），
1
由C（0，﹣3），F（6，0）得直线CF解析式为y= x﹣3，
2
令y＝3得x＝12，
∴P（12，3）；
此时BP＝12，
∴t＝BP÷1＝12（秒）；
∴三角形CDF的面积不大于三角形OCD的面积的一半，t的取值范围是4≤t≤12．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平移变换，全等三角形判定与
性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
8
22．已知如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且OA= ，OB＝8．
3
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若△CDE是等腰直角三角形，点C在直线AB上且横、纵坐标相等，点D是y轴上一动点，且
∠CDE＝90°；
①如图1，当点D运动到原点时，求点E的坐标；
②是否存在点D，使得点E落在直线AB上．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣3x+8；
（2）①点E（2，﹣2）或（﹣2，2）；
②存在这样的点D，理由见解答过程；点D（0，﹣2）或（0，3）．
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【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明∠AOE＝45°，得到C、E两点关于x轴对称或y轴对称，即可求解；
②（i）当点D在点E的上方时，证明△CMD≌△DNE（AAS），即可求解；（ii）当点D在点E的下
方时，同理可解．
8
【解答】解：（1）由题意得，点A、B的坐标分别为：（ ，0）、（0，8），
3
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
{8
k+b=0 {k=−3
则 3 ，解得： ，
b=8
b=8
则直线AB的表达式为y＝﹣3x+8；
（2）①∵点C在直线AB上，且横纵坐标相等，设点C（a，a），
又∵点C在直线AB上，
∴a＝﹣3a+8，即a＝2，
故点C（2，2）．
当点D运动到原点时，由已知可知 OC＝OE，∠COE＝90°，
∴∠COA＝45°，
∴∠AOE＝45°，
∴x轴平分∠COE，
又∵OC＝OE，
∴C、E两点关于x轴对称或y轴对称．
∴点E（2，﹣2）或（﹣2，2）；
②存在这样的点D，理由如下：
设点D（0，d），过点C作CM⊥y轴，垂足为点M，
（i）当点D在点E的上方时，过点E作EN⊥y轴，垂足为点N，作CM⊥y轴于点M，
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如图所示，由（1）可知点C（2，2），DE＝CD，
∵∠NDE+∠CDM＝90°，∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠NDE＝∠DCM，
∵∠DNE＝∠CMD＝90°，DE＝CD，
∴△CMD≌△DNE（AAS）．
∴EN＝DM＝2﹣d，DN＝CM＝2，
∴ON＝OD+DN＝2﹣d，即点E（2﹣d，d﹣2），
∵点E在直线AB上，
∴d﹣2＝﹣3（2﹣d）+8，即d＝﹣2．
∴点D（0，﹣2）；
（ii）当点D在点E的下方时，过点E作EN⊥y轴，垂足为N，
如图所示，
同理可得：点C（2，2），△CMD≌△DNE．
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∴EN＝DM＝d﹣2，DN＝CM＝2，
∴ON＝OD+DN＝2+d，即点E（d﹣2，2+d），
∵点E在直线AB上，
∴d+2＝﹣3（d﹣2）+8，即d＝3，
∴点D（0，3），
综上所述点D（0，﹣2）或（0，3）．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解
是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次
函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的
交点．
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；
11
（2）若四边形PQOB的面积是 ，且CQ：AO＝1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函
2
数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知直线解析式，令y＝0，求出x的值，可求出点A，B的坐标．联立方程组求出点P
的坐标．推出AO＝QO，可得出∠PAB＝45°．
（2）先根据CQ：AO＝1：2得到m、n的关系，然后求出S△AOQ ，S△PAB 并都用字母m表示，根据S四
边形PQOB
＝S△PAB ﹣S△AOQ 积列式求解即可求出m的值，从而也可求出n的值，继而可推出点P的坐标以
及直线PA与PB的函数表达式．
（3）由于A，B，P三点已经确定，要确定D点的位置，需分三种情形讨论解答，依题意画出图形，
利用平行四边形的性质即可求出D1，D2，D3的坐标．
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【解答】解：（1）在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣m．
∴点A（﹣m，0）．
n
在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得x= ．
3
n
∴点B（ ，0）．
3
{ y=x+m
由 ，
y=−3x+n
n−m
{ x=
4
得 ，
n+3m
y=
4
n−m n+3m
∴点P（ ， ）．
4 4
在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m，
∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO．
又∵∠AOQ＝90°，
∴△AOQ是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°．
（2）∵CQ：AO＝1：2，
∴（n﹣m）：m＝1：2，
整理得3m＝2n，
3
∴n= m，
2
3
m+3m
∴n+3m 2 9m，
= =
4 4 8
1 n 9 1 11 11
而S四边形PQOB ＝S△PAB ﹣S△AOQ =
2
（
3
+ m）×（
8
m）−
2
×m×m =
32
m2=
2
，
解得m＝±4，
∵m＞0，
∴m＝4，
3
∴n= m＝6，
2
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1 9
∴P（ ， ）．
2 2
∴PA的函数表达式为y＝x+4，
PB的函数表达式为y＝﹣3x+6．
（3）存在．
过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D ，过点A作BP的平行线交PM于
1
点D ，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D ．
2 3
①∵PD ∥AB且BD ∥AP，
1 1
13 9
∴PABD 是平行四边形．此时PD ＝AB，易得D ( ， )；
1 1 1 2 2
②∵PD ∥AB且AD ∥BP，
2 2
11 9
∴PBAD 是平行四边形．此时PD ＝AB，易得D (− ， )；
2 2 2 2 2
③∵BD ∥AP且AD ∥BP，此时BPAD 是平行四边形．
3 3 3
∵BD ∥AP且B（2，0），
3
∴y ＝x﹣2．同理可得y ＝﹣3x﹣12
BD3 AD3
{ y=x−2
，
y=−3x−12
5
{x=−
2
得 ，
9
y=−
2
5 9
∴D (− ，− )．
3 2 2
【点评】本题的综合性强，主要考查的知识点为一次函数的应用，平行四边形的判定以及面积的灵活
计算．难度较大．
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1
24．如图，一次函数y= x−3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
2
（1）求出点A和点B的坐标．
（2）如图1，过y轴上一点E（0，1）作射线EF交线段AB于点G，交x轴于点F，若∠EGB＝45°，
求点F的坐标．
（3）如图2，直线AB与直线y＝x交于点D，M是x轴上一动点，连结MB、MD，把△MBA沿BM折
1
叠得到△MBN，△MBN与△MDA重合部分的面积是△MDA面积的 ，请直接写出点M的坐标．
4
【答案】（1）A（6，0），B（0，﹣3）；
（2）F（3，0）；
（3）点M的坐标为M(6−3√5，0)或M(6+3√5，0)；理由见解答过程．
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
1
（2）过点B作BN⊥AB交GE与点N，作NM⊥y轴于点M，GH⊥y轴于点H，设G(g， g−3)，表
2
1 1
示出OH=3− g，GH＝g，BH= g，根据题意得出△BNG 为等腰直角三角形，可判定出
2 2
1
△BHG≌△NMB（AAS），可推出N(− g，g−3)，设直线EG为y＝k x+b ，求出解析式即可得出
2 1 1
答案；
（3）先求出点D的坐标，可知点B是AD的中点，设BN与DM交于点E，则重叠部分为△MBE，得
出E为DM中点，由折叠可退出AB＝AM，这时分为M在A点左侧与右侧两种情况求出坐标即可．
1
【解答】解：（1）一次函数y= x−3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
2
1
当y＝0时，得： x﹣3＝0，
2
解得：x＝6，
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当x＝0时，得：y＝﹣3，
∴A（6，0），B（0，﹣3）；
（2）如图1，过点B作BN⊥AB交GE与点N，作NM⊥y轴于点M，GH⊥y轴于点H，
1
设G(g， g−3)，（0＜g＜6），
2
1 1
∴OH=3− g，GH＝g，BH= g，
2 2
∴∠NBG＝90°，
∵∠EGB＝45°，
∴△BNG为等腰直角三角形，
∴BN＝BG，
∵NM⊥y轴，GH⊥y轴，
∴∠NMB＝∠GHB＝∠NBG＝90°，
∴∠NBM+∠MBG＝∠HBG+∠BGH＝90°，
∴∠NBM＝∠HGB，
在△BHG和△NMB中，
{∠BHG=∠NBM=90°
∠BHG=∠NMB ，
BG=NB
∴△BHG≌△NMB（AAS），
1
∴NM=BH= g，BM=GH=g，
2
∴OM＝g﹣3，
1
∴N(− g，g−3)，
2
设直线EG为y＝k x+b ，将点N，点G的坐标分别代入得：
1 1
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{ b =1
1
1 ，
gk +b = g−3
1 1 2
1
{ g−4
2
解得： k = ，
1 g
b =1
1
1
g−4
∴ 2 ，N在直线EG上，
y= x+1
g
1
g−4
∴ 2 1 ，
g−3= ×(− g)+1
g 2
1
整理得：g−3=− g+3，
4
24
解得：g= ，
5
24
检验g= 是方程的解，
5
24 1
× −4
5 2 1
∴k = =− ，
1 24 3
5
1
∴y=− x+1，
3
当y＝0时，x＝3，
∴F（3，0）；
（3）点M的坐标为M(6−3√5，0)或M(6+3√5，0)．理由如下：
{ 1
y= x−3
联立得： 2 ，
y=x
{x=−6
解得： ，
y=−6
∴D（﹣6，﹣6），
∵B（0，﹣3），A（6，0），
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6−6 −6+0
∴ =0， =−3，
2 2
∴点B是AD的中点，
1
∴S =S = S ，
△ABM △BNM 2 △ADM
设BN与DM交于点E，则重叠部分为△MBE，
1 1
这时S = S = S ，
△MOE 4 △ADM 2 △BDM
∴E为DM中点，
∵B为AD中点，
∴BE∥AM即BE∥x轴，
∴∠MBN＝∠AMB，
由折叠得∠ABM＝∠NBM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
当M在A左侧时，如图2，
∵AB=√32+62=3√5，
∴OM=AM−AO=3√5−6，
∴M(6−3√5，0)；
当M在A右侧时，如图3，
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∴AM=AB=3√5，
∴OM=6+3√5，
∴M(6+3√5，0)，
综上所述，点M的坐标为M(6−3√5，0)或M(6+3√5，0)．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角
形的判定与性质，待定系数法求解一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，求解直角坐标系中
点的坐标，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
25．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和直线y＝ax+b，我们称点P（a，b）是直线y＝
ax+b的“友谊点”，直线y＝ax+b是点P（a，b）的“友谊直线”．特别地，当a＝0时，直线y＝b
（b为常数）的“友谊点”为P（0，b）．
（1）已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），则点A的“友谊直线”的解析式为 y ＝﹣ 2 x ﹣ 2 ；直
线AB的“友谊点”的坐标为 （ 0 ，﹣ 2 ） ；
（2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”y＝kx+b（k≠0）经过点Q和点M（1，2+b），
求该直线的解析式；
（3）直线l：y＝（m﹣1）x+2m﹣5（m≠1）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”．
①若m为整数，求点P的坐标；
②直线l与x轴，y轴分别相交于A，B两点，OA＝4，N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的
四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x﹣2；（0，﹣2）；
（2）y＝2x﹣2；
（3）①点P的坐标为（1，﹣1）；
9 7 7
②点N的坐标为( ，0)或( ，0)或(− ，−4)；理由见解答过程．
2 2 2
【分析】（1）根据定义可得点A（﹣2，﹣2）的“友谊直线”的解析式为y＝﹣2x﹣2，再根据A、B
坐标可得直线AB的解析式为y＝﹣2，则直线AB的“友谊点”的坐标为（0，﹣2）；
（2）利用待定系数法得到直线解析式为 y＝2x+b，则P的坐标为（2，b），点Q的坐标为（2，﹣
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b），据此利用待定系数法求解即可；
{m−1＞0
（3）①根据直线l不经过第二象限，得到 ，则m的值为2，由定义可得P的坐标为（m
2m−5＜0
﹣1，2m﹣5），则点P的坐标为（1，﹣1）；
5−2m 3
②求出点B的坐标为（0，2m﹣5），点A的坐标为( ，0)，根据OA＝4，得到m= ，则
m−1 2
1
A(4，0)，B(0，−2)，P( ，−2)，再分当AB为对角线时，当AP为对角线时，当AN为对角
2
线时，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【解答】解：（1）已知点A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），
由题意得，点A（﹣2，﹣2）的“友谊直线”的解析式为y＝﹣2x﹣2，直线AB的解析式为y＝﹣2，
∴直线AB的“友谊点”的坐标为（0，﹣2），
故答案为：y＝﹣2x﹣2；（0，﹣2）；
（2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”y＝kx+b（k≠0）经过点Q和点M（1，2+b），
将点M的坐标代入得：
2+b＝k+b，
解得k＝2，
∴直线解析式为y＝2x+b，
根据定义，y＝2x+b的“友谊点”P的坐标为（2，b），
∵P，Q两点关于x轴对称，
∴点Q的坐标为（2，﹣b），
将（2，﹣b）代入y＝2x+b，得：
﹣b＝2×2+b，
解得b＝﹣2，
∴直线的解析式为y＝2x﹣2；
（3）①∵直线l不经过第二象限，
{m−1＞0
依题意得： ，
2m−5＜0
5
解得1＜m＜ ，
2
又∵m为整数，
∴m的值为2，
根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为（m﹣1，2m﹣5），
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∴点P的坐标为（1，﹣1）；
9 7 7
②点N的坐标为( ，0)或( ，0)或(− ，−4)；理由如下：
2 2 2
当x＝0时，y＝2m﹣5，
∴点B的坐标为（0，2m﹣5），
当y＝0时，即（m﹣1）x+2m﹣5＝0，
5−2m
解得x= ，
m−1
5−2m
∴点A的坐标为( ，0)，
m−1
∵直线l不经过第二象限，
{m−1＞0
∴ ，
2m−5＜0
5−2m
∴ ＞0，
m−1
∵OA＝4，
5−2m
∴ =4，
m−1
3
解得m= ，
2
1
∴y= x−2，
2
1
∴A(4，0)，B(0，−2)，P( ，−2)，
2
当AB为对角线时，
1
{ x +
N 2 4+0
=
依题意得： 2 2 ，
y −2 −2+0
N =
2 2
{ 7
x =
解得： N 2，
y =0
N
7
∴点N的坐标为( ，0)；
2
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当AP为对角线时，
1
{ 4+
x +0 2
N =
依题意得： 2 2 ，
y −2 −2+0
N =
2 2
{ 9
x =
解得： N 2，
y =0
N
9
∴点N的坐标为( ，0)；
2
当AN为对角线时，
1
{ 0+
x +4 2
N =
依题意得： 2 2 ，
y +0 −2−2
N =
2 2
{ 7
x =−
解得： N 2，
y =−4
N
7
∴点N的坐标为(− ，−4)；
2
9 7 7
综上所述，点N的坐标为( ，0)或( ，0)或(− ，−4)．
2 2 2
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解
题意是解题的关键．
1
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=− x+6与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，
2
将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．
（1）求线段AB的长度；
（2）过点D作DE垂直于x轴于点E，已知点D（8，2），求出BC的函数解析式；
（3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、
E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由．
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【答案】（1）线段AB的长度为6√5；
（2）直线BC的解析式为y＝﹣3x+6；
26 14
（3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，E点坐标为（ ，0）或（− ，0）．
3 3
【分析】（1）求出B（0，6），A（12，0），用勾股定理可得线段AB的长度为6；
（2）证明△OCB≌△EDC（AAS），可得DE＝OC，CE＝OB＝6，而D（8，2），故C（2，0），再
用待定系数法得直线BC的解析式为y＝﹣3x+6；
（3）设E（x，0），F（t，﹣3t+6），（0＜t＜2），分三种情况：①当CD，EF为平行四边形的对角
线时，CD，EF的中点重合，故8+2＝t+x，2＝﹣3t+6，②当CF，DE为平行四边形的对角线时，2+t
＝8+x，﹣3t+6＝2，③CE为平行四边形的对角线时，则F点在BC的延长线上，与题意矛盾．
1
【解答】解：（1）在y=− x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝12，
2
∴B（0，6），A（12，0），
∴AB=√62+122=6√5，
∴线段AB的长度为6√5；
（2）将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠OCB+∠ECD＝90°，
∵∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD，
∵∠BOC＝90°＝∠CED，
∴△OCB≌△EDC（AAS），
∴DE＝OC，CE＝OB＝6，
∵D（8，2），
∴DE＝OC＝2，
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∴C（2，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+6，
把C（2，0）代入得：2k+6＝0，
解得k＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+6；
（3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知D（8，2），
设E（x，0），F（t，﹣3t+6），（0＜t＜2），
①当CD，EF为平行四边形的对角线时，CD，EF的中点重合，
∴8+2＝t+x，2＝﹣3t+6，
4 26
解得：t= ，x= ，
3 3
26
∴E（ ，0）；
3
②当CF，DE为平行四边形的对角线时，2+t＝8+x，﹣3t+6＝2，
4 14
解得：t= ，x=− ，
3 3
14
∴E（− ，0）；
3
③CE为平行四边形的对角线时，则F点在BC的延长线上，与题意矛盾，这种情况不成立；
26 14
综上所述：E点坐标为（ ，0）或（− ，0）．
3 3
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形判定与性质，勾股定理及应用，
全等三角形判定与性质等，解题的关键是掌握以上知识．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知直线a：y＝kx﹣2k+2过定点A．动点P（m，2m+2），当m＝1时，
记点P为点B．
（1）求直线a过原点时k的值，及点A的坐标；
（2）直接写出动点P（m，2m+2）运动的轨迹；
（3）①当PA+PB的和最小时，求点P的坐标；
②直接写出使得△POA面积等于2的m值．
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【答案】（1）k＝1，点A的坐标为（2，2）；
（2）动点P（m，2m+2）运动的轨迹是直线y＝2x+2；
（3）①当PA+PB 的和最小时，点P的坐标为（1，4）；
②△POA面积等于2时，m的值为0或﹣4．
【分析】（1）由直线a：y＝kx﹣2k+2 过原点，得0＝0﹣2k+2，解得：k＝1，因y＝kx﹣2k+2＝（x﹣
2）k+2，故直线a过定点（2，2），即点A的坐标为（2，2）；
（2）由P（m，2m+2），知x＝m，y＝2m+2，可得动点P（m，2m+2）运动的轨迹是直线y＝2x+2；
（3）①求出点B坐标为（1，4），可得当PA+PB 的和最小时，点P的坐标为（1，4）；
1
②分两种情况：当P在OA上方时，由A（2，2），可得当P为（0，2）时，S△POA =
2
AP•OP＝2，即
1
知m＝0；当P在OA下方时，可得当K（2，0）时，S△AOK =
2
OK•AK＝2，过K作直线PK∥OA，交直
{ y=x−2
线 y＝2x+2 于 P，故 S△POA ＝S△AOK ＝2，求出直线 PK 解析式为 y＝x﹣2，联立
y=2x+2
，解得
{x=−4
，从而可得m＝﹣4．
y=−6
【解答】解：（1）∵直线a：y＝kx﹣2k+2 过原点，
∴0＝0﹣2k+2，
解得：k＝1，
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∵y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2，
∴当x＝2时，y＝2，
∴直线a过定点（2，2），
∴点A的坐标为（2，2）；
（2）∵P（m，2m+2），
∴x＝m，y＝2m+2，
∴y＝2x+2，
即动点P（m，2m+2）运动的轨迹是直线y＝2x+2；
（3）①如图：
∵当m＝1时，2m+2＝2+2＝4，
∴点B坐标为（1，4），
又PA+PB≥AB，
∴当点P和点B重合时，PA+PB 的和最小，
∴当PA+PB 的和最小时，点P的坐标为（1，4）；
②当P在OA上方时，如图：
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在y＝2x+2中，令x＝0得y＝2，
∴直线y＝2x+2交y轴于（0，2），
∵A（2，2），
∴当P为（0，2）时，AP＝OP＝2，∠APO＝90°，
1
此时S△POA =
2
AP•OP＝2，
∴m＝0；
当P在OA下方时，如图：
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∵A（2，2），
∴当K（2，0）时，OK＝AK＝2，∠AKO＝90°，
1
∴S△AOK =
2
OK•AK＝2，
过K作直线PK∥OA，交直线y＝2x+2于P，
∴S△POA ＝S△AOK ＝2，
由A（2，2）知直线OA解析式为y＝x，
设直线PK解析式为y＝x+t，
把K（2，0）代入得：0＝2+t，
解得t＝﹣2，
∴直线PK解析式为y＝x﹣2，
{ y=x−2
联立 ，
y=2x+2
{x=−4
解得 ，
y=−6
∴P（﹣4，﹣6），
∴m＝﹣4；
综上所述，△POA面积等于2时，m的值为0或﹣4．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，点的轨迹等知识，解题的关键
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是分类讨论思想的应用．
√3
28．如图1，直线y=− x+3图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是线段OA、线段AB
3
上一动点（点C与点A不重合），且AD＝CD．
（1）求点A，B坐标和∠BAO度数；
（2）设OC的长度为m（0＜m＜3），
①用含m的代数式表示CD的长度；
②过点D作DE⊥OB，垂足为点E（如图2），当CD≥DE时，求m的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标为（0，3），点B的坐标为(3√3，0)，∠BAO＝60°；
（2）①CD＝3﹣m（0＜m＜3）；
②当CD≥DE时m的取值范围为0＜m≤1．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B的坐标及 OA，OB的长度，在
1
Rt△AOB 中，利用勾股定理可求出 AB的长度，由AO= AB，取 AB的中点 K，连接 KO，可得
2
△AKO是等边三角形，进而求出∠BAO的度数；
（2）①结合（1）结论可求出AC＝3﹣m，证明△ADC为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求
解；
3+m 3+m
②根据含30°的直角三角形的性质求出DE= ，结合CD≥DE得出3−m≥ ，解不等式即可
2 2
求解．
√3
【解答】解：（1）直线y=− x+3图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，
3
当x＝0时，得：y＝3；
√3
当y＝0时，得：− x+3=0，
3
解得：x=3√3，
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∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为(3√3，0)，
OA＝3，OB=3√3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=6，
1
∴AO= AB，
2
如图1，取AB的中点K，连接KO，
∴AK＝AO＝KO，
∴△AKO是等边三角形，
∴∠OAB＝60°；
（2）①∵OA＝3，OC＝m，
∴AC＝3﹣m，
∵AD＝CD，∠BAO＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴CD＝AD＝AC＝3﹣m（0＜m＜3）；
②∵BD＝AB﹣AD，
∴BD＝6﹣（3﹣m）＝3+m，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵DE⊥OB，
1 3+m
∴DE= BD= ，
2 2
3+m
当CD≥DE时，即3−m≥ ，
2
解得：m≤1，
又∵0＜m＜3，
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∴0＜m≤1，
∴当CD≥DE时，m的取值范围为0＜m≤1．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含 30度
角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、解不等式等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解
题的关键．
1
29．如图1，已知函数y= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
2
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
9
①若△PQB的面积为 ，求点M的坐标；
4
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解
析式；
（2）先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）分点M在y轴左侧和右侧，
方法1、由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定
理建立方程即可x2+9+45＝（6﹣x）2；
方法2、由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用待定系
数法得出直线BM解析式，即可得出结论．
1
【解答】（1）解：对于y= x+3
2
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）
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1
由y＝0得： x+3=0，解得x＝﹣6，
2
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
{ b=3
∴ ，
6k+b=0
{ 1
k=−
解得 2
b=3
1
∴直线BC的函数解析式为y=− x+3，
2
（2）解：设M（m，0），
1 1
则P（m， m+3）、Q（m，− m+3）
2 2
如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，
1 1
∴PQ=|(− m+3)−( m+3)|=|m|，
2 2
BD＝|m|，
1 1 9
∴S = PQ⋅BD= m2= ，
△PQB 2 2 4
3√2
解得m=± ，
2
3√2 3√2
∴M（ ，0）或M（− ，0）；
2 2
（3）解：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
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∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
∴BM2+BC2＝MC2
1
设M（x，0），则P（x， x+3）
2
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45
3
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x=−
2
3 9
∴P（− ， ），
2 4
如图2，当点M在y轴的右侧时，
3 15
同理可得P（ ， ），
2 4
3 9 3 15
综上，点P的坐标为（− ， ）或（ ， ），
2 4 2 4
解法二：如图3，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°
设直线BM的解析式为y＝k x+b ，
1 1
1
则有k ×(− )=−1，
1 2
∴k ＝2
1
∴直线BM的解析式为y＝2x+b ，
1
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将点B（0，3）代入得，b ＝3，
1
∴直线BM的解析式为y＝2x+3，
3
由y＝0得x=− ，
2
3 1 9
将x=− 代入y= x+3得y= ，
2 2 4
3 9
∴P（− ， ），
2 4
如图2，当点M在y轴的右侧时，
3 15
同理可得P（ ， ），
2 4
3 9 3 15
综上，点P的坐标为（− ， ）或（ ， ）．
2 4 2 4
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【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，
勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
1
30．如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝x﹣2与y =− x+b相交于点A，与y轴分别交于点C和点
1 2 2
B，点A的横坐标为4．
（1）若y ＜y ，则x的取值范围为 x ＜ 4 ；
1 2
（2）求△ABC的面积；
（3）已知M是线段AC上的一点，过点M作直线MN∥y轴，交直线y 于点N；过点M作MQ∥x轴，
2
交y轴于点Q，连接QN．是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1：2？若存在，请求出满
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x＜4；
（2）12；
12 2
（3）存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1：2；满足条件的所有点M的坐标为( ，− )
7 7
或（3，1）．
【分析】（1）根据交点结合图象即可求解；
1
（2）根据题意确定A（4，2），C（0，﹣2），利用待定系数法确定y =− x+4，得出B（0，4），
2 2
结合图象求面积即可；
1
（ 3 ） 设 点 M （ m ， m﹣ 2 ） ， 则 N(m，− m+4)， Q （ 0 ， m﹣ 2 ） ． MN
2
1 3 1
=(− m+4)−(m−2)=− m+6，MQ＝m，分两种情况：①当MN= MQ时，②当MN＝2MQ时，
2 2 2
分别进行计算即可解答．
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1
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y ＝x﹣2与y =− x+b相交于点A，与y轴分别交于
1 2 2
点C和点B，点A的横坐标为4．
由图象得：当x＜4时，y 的图象在y 的图象的下方，
1 2
∴当y ＜y ，x的取值范围为x＜4，
1 2
故答案为：x＜4；
（2）∵A的横坐标为4，且在y ＝x﹣2上，代入得：
1
∴y ＝4﹣2＝2；
1
当x＝0时，得：y ＝﹣2，
1
∴A（4，2），C（0，﹣2），
1
∵A在y =− x+b上，
2 2
1
∴2=− ×4+b，
2
解得：b＝4，
1
∴y =− x+4，
2 2
当x＝0时，得：y ＝4，
2
∴B（0，4），
∴CB＝4+2＝6，
1
∴△ABC的面积为： ×6×4=12；
2
（3）存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1：2；理由如下：
如图：
1
根据题意设点M（m，m﹣2），则N(m，− m+4)，Q（0，m﹣2）．
2
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1 3
∴MN=(− m+4)−(m−2)=− m+6，MQ=m．
2 2
分两种情况：
1
①当MN= MQ时，
2
3 1
依题意得：− m+6= m，
2 2
解得m＝3．
∴点M（3，1）；
②当MN＝2MQ时，
3
依题意得：− m+6=2m，
2
12
解得m= ．
7
12 2
∴点M( ，− )．
7 7
综上所述，存在点 M，使 Rt△MNQ 的两条直角边之比为 1：2；满足条件的所有点 M 的坐标为
12 2
( ，− )或（3，1）．
7 7
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数
性质，运用分类讨论思想解答．
31．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点B（6，8），
1
一次函数y=− x+b的图象与y轴交于点D、与边AB交于E，并且平分矩形ABCO的周长．
2
11
（1）b＝ ，DE＝ 3√5 ；
2
1
（2）点P是一次函数y=− x+b图象上一动点，且点P在第二象限，点Q是x轴上一个动点，点T
2
是平面内一点，若以B、P、Q、T为顶点的四边形是正方形，求点P的坐标．
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11
【答案】（1） ，3√5；
2
13
（2）P（﹣15，13）或（﹣2， ）．
2
1 3
【分析】（1）求出矩形ABCO的对称中心为点（3，4），代入y=− x+b得：4=− +b，解出b值可
2 2
1 11 11 5 √ 5 11
得y=− x+ ，即可求得D（0， ），E（6， ），故DE= 62+( − ) 2=3√5；
2 2 2 2 2 2
1 11
（2）分两种情况：BP为正方形对角线，过P作PH⊥x轴于H，设P（p，− p+ ），Q（q，0），
2 2
{ 1 11
− p+ =6−q {p=−15
证明△PHQ≌△QAB（AAS），有PH＝QA，QH＝AB，故 2 2 ，解得 ，从而
q=−7
q−p=8
13
P（﹣15，13）；当BP为边时，同理可得P（﹣2， ）．
2
1
【解答】解：（1）∵一次函数y=− x+b的图象平分矩形ABCO的周长，
2
1
∴一次函数y=− x+b的图象经过矩形ABCO的对称中心，
2
∵B（6，8），
∴矩形ABCO的对称中心为点（3，4），
1 3
把（3，4）代入y=− x+b得：4=− +b，
2 2
11
解得b= ；
2
1 11
∴y=− x+ ，
2 2
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11 5
令x＝0得y= ，令x＝6得y= ，
2 2
11 5
∴D（0， ），E（6， ），
2 2
√ 5 11
∴DE= 62+( − ) 2=3√5，
2 2
11
故答案为： ，3√5；
2
（2）当BP为正方形对角线时，过P作PH⊥x轴于H，如图：
1 11
设P（p，− p+ ），Q（q，0），
2 2
∵四边形BQPT是正方形，
∴∠PQB＝90°，PQ＝BQ，
∴∠PQH＝90°﹣∠BQA＝∠QBA，
∵∠PHQ＝∠BAQ＝90°，
∴△PHQ≌△QAB（AAS），
∴PH＝QA，QH＝AB，
{ 1 11
− p+ =6−q
∴ 2 2
q−p=8
{p=−15
解得 ，
q=−7
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∴P（﹣15，13）．
当BP为正方形的边时，过P作PF⊥AB于F，如图：
同理可得△ABQ≌△GPB（ASA），
∵B（6，8），
∴AB＝PG＝8，
∴x ＝6﹣8＝﹣2，
P
1 11 13
在y=− x+ 中，令x＝﹣2得y= ，
2 2 2
13
∴P（﹣2， ）；
2
13
综上所述，P的坐标为（﹣15，13）或（﹣2， ）．
2
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，矩形的性质及应用，正方形性质及应用，全
等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
32．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4√5，点B的坐
标为B（2a，a）．
（1）求对角线AC所在直线的解析式．
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，
F，E，求点D和点E的坐标．
（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的
四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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1
【答案】（1）y=− x+4；
2
（2）D（3，0），E（5，4）；
（3）在平面直角坐标系中存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形；N（3，﹣
25
5）或N（3，5）或N（﹣3，0）或N(3， )．
8
【分析】（1）利用矩形性质和勾股定理求出a＝4，进而得到A（0，4），C（8，0），设对角线AC
所在直线的解析式为y＝kx+4，利用待定系数法求解，即可解题；
（2）连接AD，由折叠性质可知，AD＝CD，设OD＝m，则AD＝CD＝8﹣m，利用勾股定理建立等式
求出m，即可得到点D的坐标，同理求出BE，即可得到点E的坐标；
（3）根据菱形的性质和判定，分三种情况结合勾股定理讨论：①当AD，AM为菱形的边时，②当
AD为菱形的边，AM为菱形对角线时，③当AM为菱形的边，AD为菱形对角线时，即可解题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴∠B＝∠OAB＝∠AOC＝90°，OC＝AB，OA＝BC，
∵点B的坐标为B（2a，a），
∴AB＝2a，BC＝a，
在直角三角形ABC中，AC=4√5．
由勾股定理得：(2a) 2+a2=(4√5) 2 ，
解得a＝4或a＝﹣4（舍去），
∴点B的坐标为B（8，4），
则AO＝BC＝4，OC＝AB＝8，
∴A（0，4），C（8，0），
设对角线AC所在直线的解析式为y＝kx+4，将点C的坐标代入得：
8k+4＝0，
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1
解得k=− ，
2
1
∴对角线AC所在直线的解析式为y=− x+4；
2
（2）连接AD，如图1，
∵把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴AD＝CD，
设OD＝m，则AD＝CD＝8﹣m，
∵∠AOD＝90°，
∴（8﹣m）2﹣m2＝42，
解得m＝3，
∴D（3，0），AD＝5，
同理可得BE＝3，
则AE＝8﹣3＝5，
∴E（5，4）；
（3）在平面直角坐标系中存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形；理由如下：
①当AD，AM为菱形的边时，如图2，图3，
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∵四边形ADNM为菱形，
∴DN∥AM，DN＝AD，
∵AD＝5，OD＝3，
∴DN＝5，
∴N（3，﹣5）或N（3，5）；
②当AD为菱形的边，AM为菱形对角线时，如图4，
∵四边形ADMN为菱形，
∴ON＝OD＝3，
∴N（﹣3，0）；
③当AM为菱形的边，AD为菱形对角线时，如图5，
∵四边形AMDN为菱形，
∴DN∥AM，DN＝AM＝MD，
设DN＝AM＝MD＝t，
∵OA＝4，OD＝3，
∴OM＝4﹣t，
∴t2﹣（4﹣t）2＝32，
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25
解得t= ，
8
25
∴DN= ，
8
25
∴N(3， )；
8
综上所述，在平面直角坐标系中存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形；点N
25
的坐标为N（3，﹣5）或N（3，5）或N（﹣3，0）或N(3， )．
8
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数，折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，
矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相关性质是解本题的关键．
33．如图1，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝6，OC＝4，过点A的直线交矩形
OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y
轴于点E．
（1）若△APD为等腰直角三角形，求直线AP的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，若点Q是直线AP上一点，且△QAD的面积为12，求点Q的坐标；
（3）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请在
图2中画出成立的图形，并求直线PE的解析式．
【答案】（1）y＝﹣x+6；
（2）（3，3）或（9，﹣3）；
（3）y＝2k′﹣4．
【分析】（1）由矩形的性质可得OA∥BC，∠B＝90°，AB＝OC＝4，BC＝OA＝6，由平行线的性质和
已知条件可证明∠PDA＝∠PDA，得到PD＝PA，根据等腰直角三角形的等腰可得∠APD＝90°，则可
求出∠APB＝45°，进而证明△ABP是等腰直角三角形，得到BP＝AB＝4，则可求出P（2，4），再求
出A（6，0），据此利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得点P在线段AD的垂直平分线上，则可求出D（﹣2，0），进而得到AD＝
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1
8；根据三角形面积计算公式得到 AD⋅|y |=12，据此可得y ＝±3，再把点Q纵坐标代入（1）所
2 Q Q
求解析式中计算求解即可；
（3）根据题意可得四边形 APFE是平行四边形，设 PE，AF交于D，则DE＝PD，可证明四边形
PMOC是矩形，得到PM＝OC＝4；再证明△EOD≌△PMD（AAS），得到OE＝PM＝4，OD＝DM，
则E（0，﹣4）；同理可证明PD＝PA，则可证明DM＝AM＝OD＝2，则P（4，4），据此利用待定系
数法求解即可．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝6，OC＝4，
∴OA∥BC，∠B＝90°，AB＝OC＝4，BC＝OA＝6，
∴∠PDA＝∠CPD，∠PAD＝∠APB，
∵∠CPD＝∠APB，
∴∠PDA＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∵△APD为等腰直角三角形，
∴∠APD＝90°，
180°−90°
∴∠CPD=∠APB= =45°，
2
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BP＝AB＝4，
∴PC＝BC﹣BP＝2，
∴P（2，4），
∵OA＝6，
∴A（6，0），
设直线AP解析式为y＝kx+b，将点A，点P的坐标分别代入得：
{2k+b=4
，
b=6
{k=−1
解得： ，
b=6
∴直线AP解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵△ABP是等腰直角三角形，PD＝PA，
∴点P在线段AD的垂直平分线上，
∵A（6，0），P（2，4），
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x +6
∴ D =2，
2
∴x ＝﹣2，
D
∴D（﹣2，0），
∴AD＝6﹣（﹣2）＝8；
∵△QAD的面积为12，
1 1
∴ AD⋅|y |=12，即 ×8|y |=12，
2 Q 2 Q
解得：y ＝±3，
Q
在y＝﹣x+6中，
当y＝﹣3时，得：﹣x+6＝﹣3，
解得：x＝9；
当y＝3时，得：﹣x+6＝3，
解得：x＝3，
综上所述，点Q的坐标为（3，3）或（9，﹣3）；
（3）EF∥AP，且以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如图2，过点P作PM⊥x轴于M，
∴四边形APFE是平行四边形，
设PE，AF交于D，则DE＝PD，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠PCO＝∠COA＝90°，
又∵PM⊥x轴，
∴四边形PMOC是矩形，
∴PM＝OC＝4；
在△EOD和△PMD中，
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{∠EOD=∠PMD=90°
∠EDO=∠PDM ，
ED=PD
∴△EOD≌△PMD（AAS），
∴OE＝PM＝4，OD＝DM，
∴E（0，﹣4）；
同理可证明PD＝PA，
∴DM＝AM＝OD，
∵OA＝OD+DM+AM＝6，
∴DM＝AM＝OD＝2，
∴OM＝OD+DM＝4，
∴P（4，4），
设直线PE解析式为y＝k′x+b′，将点E，点P的坐标分别代入得：
{4k'+b'=4
，
b'=−4
{ k'=2
解得： ，
b'=−4
∴直线PE解析式为y＝2k′﹣4．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，
矩形的性质与判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
72
