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中考数学一轮复习 四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的
一条边与矩形的边重合，如图所示，则 的大小为
A． B． C． D．
2．（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上一
点，连接 ， ， 平分 交 于点 ．若 ，则 的长度为
A．2 B． C． D．
3．（2024•陕西）如图，正方形 的顶点 在正方形 的边 上， 与 交于点 ，
若 ， ，则 的长为
A．2 B．3 C． D．
4．（2024•沙坪坝区模拟）如图，正方形 中，点 为边 延长线上一点，点 在边 上，
且 ，连接 ， ．若 ．则
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A． B． C． D．
5．（2024•郁南县二模）如图，大建从 点出发沿直线前进8米到达 点后向左旋转的角度为 ，
再沿直线前进8米，到达点 后，又向左旋转 角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他
共走了72米，则每次旋转的角度 为
A． B． C． D．
6．（2024•科右前旗模拟）如图，五边形 是正五边形，若 ，则 的值是
A． B． C． D．
7．（2024•顺河区一模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，
交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
A． B． C． D．
8．（2024•渝中区校级二模）如图，在正方形 中，点 、点 分别是 和 边的中点，
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连接 、 交于点 ，连接 和 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
9．（2024•东莞市模拟）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，
，则 的长为
A． B． C．2 D．1
10．（2024•成都）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的
是
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
12．（2024•柴桑区二模）如图，在正八边形 的内部作正方形 ，则 的度数
为 ．
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13．（2024•梁溪区校级一模）如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，且
， 分别交 ， 于点 ， ．设△ 和△ 的面积分别为 和 ，若
，则 的值为 ．
14．（2024•丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成
为图（1）所示的菱形，并测得 ，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线
，则图（1）中对角线 的长为 ．
15．（2024•甘孜州）如图，在菱形 中， ，则菱形 的周长为 ．
16．（2024•青秀区校级模拟）如图，将两条宽度都是为 2的纸条重叠在一起，使 ，则
四边形 的面积为 ．
17．（2024•新城区校级模拟）如图，在菱形 中， ， ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，则线段 的长为 ．
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18．（2024•弥勒市二模）如图，四边形 是菱形，对角线 与 相交于点 ， ，
， 于点 ，则 的长为 ．
19．（2024•平遥县二模）如图，在矩形 中， ， ，点 为直线 下方一点，
且以 为斜边在矩形的外部作直角三角形 ，点 是 的中点，则 的最大值为 ．
20．（2024•凉山州模拟）如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，
当 在边 上运动时， 随之在 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ．
运动过程中点 到点 的最大距离是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的
知识探索相应的数学问题．如图①， 是正方形 边 上一点 点不与 ， 重合），连接
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，将 绕点 顺时针旋转到 ，使 ，连接 ．
（1）【问题探究】
在 上截取 ，连接 ，此时 ，则 等于 度；
（2）【拓展延伸】
当正方形 变为菱形时，若 ，其余条件不变，如图②，请写出 与 的
数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当 时，若 ，求 的长．
22．（2024•泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点
恰好落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ． 与 相交于点 ．同学们
发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图 2， 是平行四边形纸片 的
一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线
上，折痕分别是 和 ．将纸片展平，连结 ， ， ．同学们探究后发现，若
，那么点 恰好是对角线 的一个“黄金分割点”，即 ．请你判断同学
们的发现是否正确，并说明理由．
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23．（2024•威远县校级模拟）已知，如图，在△ 中， ， 是△ 的中线，
是 的中点，连接 并延长到 ，使 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
24．（2024•鼓楼区二模）如图，在 中， 是边 的中点， ， 分别在 及其延长线上，
，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）当 满足什么条件时，四边形 是菱形？判断并说明理由．
25．（2024•东莞市校级一模）如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，
交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
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中考数学一轮复习 四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的
一条边与矩形的边重合，如图所示，则 的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角；矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；多边形与平行四边形；运算能力
【分析】根据正五边形的内角和公式和平角的定义即可得到结论．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，多边形内角与外角，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关
键．
2．（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上一
点，连接 ， ， 平分 交 于点 ．若 ，则 的长度为
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力
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【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明 ；利用角平分线的定义及三
角形全等的判定及性质，证明 ；设 ，将 、 和 分别表示出来，在 △
中根据勾股定理列关于 的方程并求解即可．
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
在 △ 和 △ 中，
，
△ △ ，
；
平分 ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
；
四边形 是正方形，
， ，
设 ，则 ， ， ，
在 △ 中，根据勾股定理，得 ，即 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的
判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
3．（2024•陕西）如图，正方形 的顶点 在正方形 的边 上， 与 交于点 ，
若 ， ，则 的长为
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A．2 B．3 C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【专题】推理填空题；推理能力
【分析】由正方形 和正方形 ， ， ，得 ，得 ，得
，由 ，即可得 ．
【解答】解：由正方形 和正方形 ， ， ，
得 ，
得 ，
得 ，
由 ，
得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质
的应用．
4．（2024•沙坪坝区模拟）如图，正方形 中，点 为边 延长线上一点，点 在边 上，
且 ，连接 ， ．若 ．则
A． B． C． D．
【答案】
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【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】连接 ，根据正方形的性质可得 ， ，再由全等三角
形的判定与性质可得 ，最后由等腰直角三角形的性质及三角形外角性质可得答案．
【解答】解：连接 ，
在正方形 中， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关
键．
5．（2024•郁南县二模）如图，大建从 点出发沿直线前进8米到达 点后向左旋转的角度为 ，
再沿直线前进8米，到达点 后，又向左旋转 角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他
共走了72米，则每次旋转的角度 为
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A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【专题】多边形与平行四边形；推理能力
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【解答】解： ，
．
每次旋转的角度 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键．
6．（2024•科右前旗模拟）如图，五边形 是正五边形，若 ，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【专题】线段、角、相交线与平行线；正多边形与圆；推理能力
【分析】如图，延长 并交 于点 ．由 ，得 ．由 ，得
，那么 ．欲求 ，需求 ．由正五边形的性质，
得 ，从而解决此题．
【解答】解：如图，延长 并交 于点 ．
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五边形 是正五边形，
正五边形 的每个外角相等．
．
，
．
，
．
．
故选： ．
【点评】本题主要考查正多边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形
的性质是解决本题的关键．
7．（2024•顺河区一模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，
交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】菱形的性质
【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】由菱形的性质得 ， ， ，进而由直角三角形斜边上的中线性
质得 ，则 ，再由勾股定理得 ，然后由菱形面积求出 的长即可．
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
， ， ，
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，
，
，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱
形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（2024•渝中区校级二模）如图，在正方形 中，点 、点 分别是 和 边的中点，
连接 、 交于点 ，连接 和 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】延长 ， 交于 ，证明 ，可得 ，再证
， 可 得 为 斜 边 上 的 中 线 ， 故 ， 即 得
， ．
【解答】解：延长 ， 交于 ，如图：
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四边形 是正方形，
， ，
， 是 ， 的中点，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
为 斜边上的中线，
，
，
，
，
；
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故选： ．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形解决问题．
9．（2024•东莞市模拟）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ，
，则 的长为
A． B． C．2 D．1
【答案】
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】先证明△ 是等边三角形，得出 ，再由矩形的性质得出 ，最
后利用勾股定理求解即可．
【解答】解： 四边形 是矩形，对角线 ， 相交于点 ，
，
又 ，
△ 是等边三角形，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，掌握矩形的对角线
互相平分且相等是解题的关键．
10．（2024•成都）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的
是
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A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】由矩形的性质分析每个选 项，从而可得答案．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ， ， ，
， 不一定成立， ，一定成立， 一定不成立，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•徐州）正十二边形的每一个外角等于 3 0 度．
【考点】多边形内角与外角
【专题】计算题
【分析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
【解答】解： 多边形的外角和为360度，
每个外角度数为： ，
故答案为：30．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是 ，用外角和求正多边
形的边数直接让360度除以外角即可．
12．（2024•柴桑区二模）如图，在正八边形 的内部作正方形 ，则 的度数
为 ．
【答案】 ．
【考点】多边形内角与外角
【专题】运算能力；多边形与平行四边形
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【分析】利用正多边形的内角和定理、正多边形的性质求出 和 的度数即可．
【解答】解： 在正八边形 的内部作正方形 ，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了正多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟知正多边形的内角和为
且 为整数）是解题的关键．
13．（2024•梁溪区校级一模）如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，且
， 分别交 ， 于点 ， ．设△ 和△ 的面积分别为 和 ，若
，则 的值为 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力
【分析】（1）过 作 于 ，由四边形 是正方形，可得 ，证明 △
△ ，可得 ，有 ，即可得 ，
过 作 于 ， 设 ， 设 ， 则 ， 可 知
， ， 故 ，
， 根 据 ， 列 方 程
，可解得解得： ．
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【解答】解：过 作 于 ，如图：
，
，
，
设 ，设 ，则 ，
，
，
，
， ，
，
，
整理得： ，
解得： 或 （舍弃），
，
故答案为： ．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考压轴题．
14．（2024•丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成
为图（1）所示的菱形，并测得 ，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线
，则图（1）中对角线 的长为 ．
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【答案】 ．
【考点】菱形的判定
【专题】运算能力；推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】根据正方形的性质得 ， ，由勾股定理得 ，
则 ，再证明 是等边三角形，则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：在正方形 中， ，
，
， ，
，
，
在菱形 中， ，
，
是等边三角形，
，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，
根据勾股定理求得 是解题的关键．
15．（2024•甘孜州）如图，在菱形 中， ，则菱形 的周长为 8 ．
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【答案】8．
【考点】菱形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】根据菱形的四条边都相等解答即可．
【解答】解： 四边形 是菱形， ，
菱形 的周长是 ．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的四条边都解答本题的关键．
16．（2024•青秀区校级模拟）如图，将两条宽度都是为 2的纸条重叠在一起，使 ，则
四边形 的面积为 ．
【考点】菱形的判定与性质
【分析】根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ．则 ．
纸条的对边平行，即 ， ，
四边形 是平行四边形，
两张纸条的宽度都是2，
，
，
平行四边形 是菱形，即四边形 是菱形．
四边形 的面积为 ．
故答案为： ．
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【点评】本题主要考查菱形的性质和特殊角的三角函数值，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，
解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
17．（2024•新城区校级模拟）如图，在菱形 中， ， ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，则线段 的长为 ．
【答案】 ．
【考点】菱形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】由菱形的性质可得 ， ， ，由勾股定理可求 的长，由菱
形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，设 与 的交点为 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出 的长是解题的关键．
18．（2024•弥勒市二模）如图，四边形 是菱形，对角线 与 相交于点 ， ，
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， 于点 ，则 的长为 ．
【答案】 ．
【考点】菱形的性质
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边 上的高
的长即可．
【解答】解： 四边形 是菱形， ， ，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
在直角三角形 中， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘
以高．
19．（2024•平遥县二模）如图，在矩形 中， ， ，点 为直线 下方一点，
且以 为斜边在矩形的外部作直角三角形 ，点 是 的中点，则 的最大值为 9 ．
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【答案】9．
【考点】矩形的性质
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】取 中点 ，连接 ， ，根据矩形的性质可求 ， 的长，根据勾股定理可求
的长，根据直角三角形的性质可求 的长，根据三角形三边关系可求得当点 ，点 ，点
共线时， 有最大值，即 ．
【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
点 是 中点，点 是 的中点，
， ，
，
点 是 的斜边 的中点，
，
根据三角形三边关系可得： ，
当点 ，点 ，点 共线时， 最大值为 ．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点 ，
点 ，点 共线时， 有最大值是本题的关键．
20．（2024•凉山州模拟）如图， ，矩形 的顶点 、 分别在边 、 上，
当 在边 上运动时， 随之在 上运动，矩形 的形状保持不变，其中 ， ．
运动过程中点 到点 的最大距离是 ．
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【考点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质；勾股定理
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】取 的中点 ，连接 、 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可
得 ，利用勾股定理列式求出 ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得 过点
时最大．
【解答】解：如图：取线段 的中点 ，连接 ， ， ，
，点 是 的中点， ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
当点 ，点 ，点 共线时， 的长度最大．
点 到点 的最大距离 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三
边关系，确定出 过 的中点时值最大是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的
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知识探索相应的数学问题．如图①， 是正方形 边 上一点 点不与 ， 重合），连接
，将 绕点 顺时针旋转到 ，使 ，连接 ．
（1）【问题探究】
在 上截取 ，连接 ，此时 ，则 等于 13 5 度；
（2）【拓展延伸】
当正方形 变为菱形时，若 ，其余条件不变，如图②，请写出 与 的
数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当 时，若 ，求 的长．
【答案】（1）135．
（2） ，理由见解答．
（3） ．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力
【分析】（1）利用正方形的性质可知 ，根据题意，求出 ，即可解答．
（2）在 上截取 ，连接 ，则 ，证明 ，表示出 ，
即可解答．
（3）在 上截取 ，连接 ，利用菱形的性质得性质，证明 ，过点
作 ，垂足为 ，利用直角三角形中特殊角的函数值，即可解答．
【解答】解：（1） 正方形 ，
，
，
，
，
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，
，
故答案为：135．
（2） ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，在 上截取 ，连接 ，
是等腰三角形，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
， ，
又 ，
，
在 和 中，
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，
，
．
过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
在 △ 中， ，
又 ，
，
．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与
判定，掌握这些性质是解题的关键．
22．（2024•泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶点 的对应点
恰好落在矩形的一边 上，折痕为 ，将纸片展平，连结 ． 与 相交于点 ．同学们
发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
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（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图 2， 是平行四边形纸片 的
一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 的对应点 ，点 的对应点 都落在对角线
上，折痕分别是 和 ．将纸片展平，连结 ， ， ．同学们探究后发现，若
，那么点 恰好是对角线 的一个“黄金分割点”，即 ．请你判断同学
们的发现是否正确，并说明理由．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；几何直观
【分析】（1）作 于点 ，证△ △ 即可得证；
（2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．
【解答】解：（1） 正确，理由如下，
作 于点 ，
，
，
．
，
，
又 ，
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△ △ ．
．
是矩形， ，
四边形 是矩形．
．
．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
，
， ，
由折叠知 ，
．
．
，
由平行四边形及折叠知 ， ，
，
即点 为 的一个黄金分割点．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质
等知识，掌握相关知识是解题的关键．
23．（2024•威远县校级模拟）已知，如图，在△ 中， ， 是△ 的中线，
是 的中点，连接 并延长到 ，使 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算
能力；推理能力
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【分析】（1）证明△ △ ，等 ， ，则 ，再证明四
边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接 ，证明四边形 是平行四边形，得 ，再求出 ，进而由
勾股定理得 ，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明： 是 的中点，
，
， ，
△ △ ，
， ，
，
， 是△ 的中线，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形；
（2）解：如图，连接 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
， 是△ 中线，
，
， ，
，
菱形 的面积 ．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，
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勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（2024•鼓楼区二模）如图，在 中， 是边 的中点， ， 分别在 及其延长线上，
，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）当 满足什么条件时，四边形 是菱形？判断并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ，理由见解析．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；线段、角、相交线与平行线；
多边形与平行四边形；图形的全等
【分析】（1）证明 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得 ，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明： ，
，
是边 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：当 满足 时，四边形 是菱形，理由如下：
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
， 是边 的中点，
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，
平行四边形 是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2024•东莞市校级一模）如图，在四边形 中， ， ，对角线 ，
交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性
质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】（1）先判断出 ，进而判断出 ，得出 ，即可
得出结论；
（2）先判断出 ，再求出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出结论．
【解答】（1）证明： ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
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，
，
在 △ 中， ， ，
，
．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾
股定理，判断出 是解答本题的关键．
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