文档内容
2017 年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
上．
1．（3分）2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
2．（3分）计算a•a2的结果是（ ）
A．aB．a2 C．2a2 D．a3
3．（3分）小广、小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来
比较两人成绩稳定性的是（ ）
A．方差B．平均数 C．众数D．中位数
4．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是
（ ）
A． = B． =
C． = D． =
5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左
视图和俯视图的面积，则（ ）
A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
第1页（共27页）6．（3分）关于 的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示 的点B． = +
C． =±2 D．与 最接近的整数是3
7．（3分）已知抛物线y=ax（2 a＞0）过A（﹣2，y ）、B（1，y ）两点，则下列关系式一
1 2
定正确的是（ ）
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
8．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A 点出发，沿着射线A O方向
0 0
运动到⊙O上的点A 处，再向左沿着与射线A O夹角为60°的方向运动到⊙O上
1 1
的点A 处；接着又从A 点出发，沿着射线A O方向运动到⊙O上的点A 处，再向
2 2 2 3
右沿着与射线A O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A 处；…按此规律运动到
3 4
点A 处，则点A 与点A 间的距离是（ ）
2017 2017 0
A．4B．2 C．2D．0
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）分式 有意义的x的取值范围为 ．
10．（3分）计算（a﹣2）（a+2）= ．
11．（3分）截至今年4月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进、出场量
6800000吨，数据6800000用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是
．
13．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则
∠B= °．
第2页（共27页）14．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，
AC=8，则⊙O的半径长为 ．
15．（3分）设函数y= 与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则 + 的值是
．
16．（3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象交
于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段
CB交x轴于点D，则 的值为 ．（已知sin15°= ）
三、解答题：本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：﹣（﹣1）﹣ +（π﹣3.14）0．
18．（6分）化简： • ．
第3页（共27页）19．（6分）解不等式组： ．
20．（8分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为
x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了
它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段 频数 频率
60≤x＜70 18 0.36
70≤x＜80 17 c
80≤x＜90 a 0.24
90≤x≤100 b 0.06
合计 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为 ；样本成绩的中位数落在分数段 中；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是
多少？
21．（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、
投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C
类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃
圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且
第4页（共27页）AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴
于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
24．（10分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接
销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损
耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每
人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工
蓝莓．
（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
25．（10分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米，AC=1000
米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求
A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
第5页（共27页）（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，
sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41， ≈1.414）．
26．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，
1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A 、
1
B 、C ，△A B C 的外接圆记为⊙M ，是否存在某个位置，使⊙M 经过原点？若存
1 1 1 1 1 1 1
在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
27．（14分）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S
四
=S ．（S表示面积）
边形EFGH 矩形ABCD
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生
变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条
平行线分别相交于点A 、B 、C 、D ，得到矩形A B C D ．
1 1 1 1 1 1 1 1
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S
四边形
第6页（共27页）=S +S ．
EFGH 矩形ABCD
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S 、S
四边形EFGH 矩形ABCD
与S 之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞
BF，AE＞DG，S =11，HF= ，求EG的长．
四边形EFGH
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，
DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= ，连接EF、HG，请直接写出四
边形EFGH面积的最大值．
第7页（共27页）2017 年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
上．
1．（3分）2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2C．﹣ D．
【解答】解：2的绝对值是2．
故选：B．
2．（3分）计算a•a2的结果是（ ）
A．aB．a2 C．2a2 D．a3
【解答】解：a•a2=a3，
故选：D．
3．（3分）小广、小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来
比较两人成绩稳定性的是（ ）
A．方差B．平均数 C．众数D．中位数
【解答】解：由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差．
故选：A．
4．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是
（ ）
第8页（共27页）A． = B． =
C． = D． =
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ = ，A不一定成立；
=1，B不成立；
= ，C不成立；
= ，D成立，
故选：D．
5．（3分）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左
视图和俯视图的面积，则（ ）
A．三个视图的面积一样大 B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小 D．俯视图的面积最小
【解答】解：主视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，俯视图有4个小正
方形，
因此左视图的面积最小．
故选：C．
6．（3分）关于 的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示 的点B． = +
C． =±2 D．与 最接近的整数是3
【解答】解：A、在数轴上存在表示 的点，故选项错误；
第9页（共27页）B、 ≠ + ，故选项错误；
C、 =2 ，故选项错误；
D、与 最接近的整数是3，故选项正确．
故选：D．
7．（3分）已知抛物线y=ax（2 a＞0）过A（﹣2，y ）、B（1，y ）两点，则下列关系式一
1 2
定正确的是（ ）
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y ）关于y轴对称点的坐标为（2，y ）．
1 1
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y ＜y ．
2 1
故选：C．
8．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A 点出发，沿着射线A O方向
0 0
运动到⊙O上的点A 处，再向左沿着与射线A O夹角为60°的方向运动到⊙O上
1 1
的点A 处；接着又从A 点出发，沿着射线A O方向运动到⊙O上的点A 处，再向
2 2 2 3
右沿着与射线A O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A 处；…按此规律运动到
3 4
点A 处，则点A 与点A 间的距离是（ ）
2017 2017 0
A．4B．2 C．2D．0
【解答】解：如图，∵⊙O的半径=2，
由题意得，A A =4，A A =2 ，A A =2，A A =2 ，A A =2，A A =0，A A =4，…
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7
∵2017÷6=336…1，
∴按此规律运动到点A 处，A 与A 重合，
2017 2017 1
第10页（共27页）∴A A =2R=4．
0 2017
故选A．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）分式 有意义的x的取值范围为 x ≠ 1 ．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式 有意义．
故答案是：x≠1．
10．（3分）计算（a﹣2）（a+2）= a 2 ﹣ 4 ．
【解答】解：（a﹣2）（a+2）=a2﹣4，
故答案为：a2﹣4．
11．（3分）截至今年4月底，连云港市中哈物流合作基地累计完成货物进、出场量
6800000吨，数据6800000用科学记数法可表示为 6. 8 × 1 0 6 ．
【解答】解：将6800000用科学记数法表示为：6.8×106．
故答案为：6.8×106．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 1
．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
第11页（共27页）故答案为：1．
13．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF=56°，则
∠B= 5 6 °．
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在 四 边 形 AECF 中 ， ∠ C=360°﹣∠ EAF﹣∠ AEC﹣∠ AFC=360°﹣56°﹣90°﹣
90°=124°，
在 ▱ABCD中，∠B=180°﹣∠C=180°﹣124°=56°．
故答案为：56．
14．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，
AC=8，则⊙O的半径长为 5 ．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为：5．
第12页（共27页）15．（3分）设函数y= 与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则 + 的值是
﹣ 2 ．
【解答】解：∵函数y= 与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标是（a，b），
∴将x=a，y=b代入反比例解析式得：b= ，即ab=3，
代入一次函数解析式得：b=﹣2a﹣6，即2a+b=﹣6，
则 + = = =﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象交
于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段
CB交x轴于点D，则 的值为 ．（已知sin15°= ）
【解答】解：解法一：过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
第13页（共27页）∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线
y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°﹣30°=15°，
设等边三角形AOB的边长为x，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°= = = ，
∴BF=
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN= = ，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴ = = ，
故答案为： ．
解法二：如图，过O作OM⊥AB于M，
∵△AOB是等边三角形，
∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，
∴A、B关于直线OM对称，
∵A、B两点在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线
第14页（共27页）y=x对称，
∴直线OM的解析式为：y=x，
∴∠BOD=45°﹣30°=15°，
过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，
sin∠BOD=sin15°= = ，
∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，
∴∠CON=45°，
∴△CNO是等腰直角三角形，
∴CN=ON，
设CN=x，则OC= x，
∴OB= x，
∴ = ，
∴BF= ，
∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，
∴BF∥CN，
∴△BDF∽△CDN，
∴ = = ，
故答案为： ．
三、解答题：本大题共11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应
第15页（共27页）写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：﹣（﹣1）﹣ +（π﹣3.14）0．
【解答】解：原式=1﹣2+1=0．
18．（6分）化简： • ．
【解答】解：原式= • = ．
19．（6分）解不等式组： ．
【解答】解：解不等式﹣3x+1＜4，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣2（x﹣1）≤6，得：x≤4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
20．（8分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛．已知每幅参赛作品成绩记为
x分（60≤x≤100）．校方从600幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了
它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．
“文明在我身边”摄影比赛成绩统计表
分数段 频数 频率
60≤x＜70 18 0.36
70≤x＜80 17 c
80≤x＜90 a 0.24
90≤x≤100 b 0.06
合计 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）统计表中c的值为 0.34 ；样本成绩的中位数落在分数段 7 0 ≤ x ＜ 8 0 中
（2）补全频数分布直方图；
（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量是
多少？
第16页（共27页）【解答】解：（1）本次调查的作品总数为18÷0.36=50（幅），
则c=17÷50=0.34，a=50×0.24=12，b=50×0.06=3，
其中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在70≤x＜80中，
故答案为：0.34，70≤x＜80；
（2）补全图形如下：
（3）600×（0.24+0.06）=180（幅），
答：估计全校被展评作品数量是180幅．
21．（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、
投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C
类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃
圾不同类．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．
第17页（共27页）【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类的概率为： ；
（2）如图所示：
，
由图可知，共有18种可能结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同
类的结果有12种，
所以，P（乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类）= = ；
即，乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同一类的概率是： ．
22．（10分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且
AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
第18页（共27页）∴∠ABE=∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴
于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D、C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
【解答】解：（1）∵OB=4，
∴B（0，4）
∵A（﹣2，0），
第19页（共27页）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+4；
（2）设OB=m，则AD=m+2，
∵△ABD的面积是5，
∴ AD•OB=5，
∴ （m+2）•m=5，即m2+2m﹣10=0，
解得m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ （舍去），
∵∠BOD=90°，
∴点B的运动路径长为： ×2π×（﹣1+ ）= π．
24．（10分）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接
销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损
耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每
人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工
蓝莓．
（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意得：y=[70x﹣（20﹣x）×35]×40+（20﹣x）×35×130=﹣
350x+63000．
答：y与x的函数关系式为y=﹣350x+63000．
（2）∵70x≥35（20﹣x），
∴x≥ ．
∵x为正整数，且x≤20，
∴7≤x≤20．
第20页（共27页）∵y=﹣350x+63000中k=﹣350＜0，
∴y的值随x的值增大而减小，
∴当x=7时，y取最大值，最大值为﹣350×7+63000=60550．
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收
入为60550元．
25．（10分）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB=1400米，AC=1000
米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求
A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，
sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41， ≈1.414）．
【解答】解：（1）作CE⊥BA于E．
在Rt△AEC中，∠CAE=180°﹣60.7°﹣66.1°=53.2°，
∴CE=AC•sin53.2°≈1000×0.8=800米．
∴S = •AB•CE= ×1400×800=560000平方米．
△ABC
（2）连接AD，作DF⊥AB于F．，则DF∥CE．
∵BD=CD，DF∥CE，
∴BF=EF，
∴DF= CE=400米，
∵AE=AC•cos53.2°≈600米，
∴BE=AB+AE=2000米，
第21页（共27页）∴AF= EB﹣AE=400米，
在Rt△ADF中，AD= =400 =565.6米．
26．（12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，
1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A 、
1
B 、C ，△A B C 的外接圆记为⊙M ，是否存在某个位置，使⊙M 经过原点？若存
1 1 1 1 1 1 1
在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3中，
，
解得： ，
第22页（共27页）所以所求函数关系式为：y= x2﹣ x+3；
（2）△ABC是直角三角形，
过点B作BD⊥x轴于点D，
易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，
所以∠OAC=45°，
又∵点B坐标为：（4，1），
∴AD=BD，
∴∠DAB=45°，
∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
圆心M的坐标为：（2，2）；
（3）存在
取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，
∵M的坐标为：（2，2），
∴MC= = ，OM=2 ，
∴∠MOA=45°，
又∵∠BAD=45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M 经过原点，
1
则平移的长度为：2 ﹣ 或2 + ；
∵∠BAD=45°，
∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移 = 个单位长度
或 = 个单位长度，
∵y= x2﹣ x+3= （x﹣ ）2﹣ ，
第23页（共27页）∴平移后抛物线的关系式为：y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，
即y= （x﹣ ）2﹣ ，
或y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，
即y= （x﹣ ）2﹣ ．
综上所述，存在一个位置，使⊙M 经过原点，此时抛物线的关系式为：
1
y= （x﹣ ）2﹣ 或y= （x﹣ ）2﹣ ．
27．（14分）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S
四
=S ．（S表示面积）
边形EFGH 矩形ABCD
实验探究：
某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生
变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条
平行线分别相交于点A 、B 、C 、D ，得到矩形A B C D ．
1 1 1 1 1 1 1 1
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S
四边形
=S +S ．
EFGH 矩形ABCD
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S 、S
四边形EFGH 矩形ABCD
第24页（共27页）与S 之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞
BF，AE＞DG，S =11，HF= ，求EG的长．
四边形EFGH
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，
DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG= ，连接EF、HG，请直接写出四
边形EFGH面积的最大值．
【解答】问题呈现：证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∵AE=DG，
∴四边形AEGD是矩形，
∴S = S ，
△HGE 矩形AEGD
同理S = S ，
△EGF 矩形BEGC
第25页（共27页）∴S =S +S = S ．
四边形EFGH △HGE △EFG 矩形ABCD
实验探究：结论：2S =S ﹣ ．
四边形EFGH 矩形ABCD
理由：∵ = ， = ， = ，
= ，
∴S = + + + ﹣ ，
四边形EFGH
∴2S =2 +2 +2 +2 ﹣2 ，
四边形EFGH
∴2S =S ﹣ ．
四边形EFGH 矩形ABCD
迁移应用：解：（1）如图4中，
∵2S =S ﹣ ．
四边形EFGH 矩形ABCD
∴ =25﹣2×11=3=A B •A D ，
1 1 1 1
∵正方形的面积为25，∴边长为5，
∵A D 2=HF2﹣52=29﹣25=4，
1 1
第26页（共27页）∴A D =2，A B = ，
1 1 1 1
∴EG2=A B 2+52= ，
1 1
∴EG= ．
（2）∵2S =S + ．
四边形EFGH 矩形ABCD
∴四边形A B C D 面积最大时，四边形EFGH的面积最大．
1 1 1 1
①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A B C D 面积最大时，四边形EFGH的面
1 1 1 1
积最大．
此时矩形A B C D 面积=1•（ ﹣2）=
1 1 1 1
②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A B C D 面积最大时，四边形EFGH的面
1 1 1 1
积最大．
此时矩形A B C D 面积=2•1=2，
1 1 1 1
∵2＞ ﹣2，
∴矩形EFGH的面积最大值= ．
第27页（共27页）
