文档内容
2020年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
2．（3分）今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界
首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（ ）
A．6.8×104 B．6.8×105 C．0.68×105 D．0.68×106
3．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A． ﹣ ＝ B．3+ ＝3 C． ÷ ＝3 D． × ＝2
4．（3分）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象
限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
6．（3分）一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
7．（3分）下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AB⊥▱BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
8．（3分）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为
（ ）A．48 cm2 B．24 cm2 C．12 cm2 D．9 cm2
9．（3分π）如图 ，E为矩形AπBCD的边AD上一点，π点P从点B出发沿折π线B﹣E﹣D运
动到点D停止①，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．
现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的
对应关系如图 所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
②
A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，
直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
分）
11．（3分）分解因式：xy﹣2y2＝ ．
12．（3分）已知 O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为
cm． ⊙13．（4分）若m＜2 ＜m+1，且m为整数，则m＝ ．
14．（4分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶
点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C ，△DEF的周长为C ，则 的值等于
1 2
．
15．（4分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：
直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积
864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
16．（4分）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物
顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．
（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．（4分）若x ，x 是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 2﹣2x +2x 的值
1 2 1 1 2
等于 ．
18．（4分）将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新
双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的
纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字
说明）19．（10分）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2） ÷（x+ ）．
20．（11分）（1）如图 ，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：
AB＝AC． ①
（2）如图 ，A为 O上一点，按以下步骤作图：
连接OA②； ⊙
①以点A为圆心，AO长为半径作弧，交 O于点B；
②在射线OB上截取BC＝OA； ⊙
③连接AC．
④若AC＝3，求 O的半径．
⊙
21．（12分）如图，直线l ：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l 交于点C（1，m），与x
1 2
轴交于点B．
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）点M在直线l 上，MN∥y轴，交直线l 于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
1 2
22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小
组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合
格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于
七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷
调查表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级 人数 百分比
A 17 18.9%
B 38 42.2%
C 28 31.1%
D 7 7.8%
合计 90 100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知
识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李
先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：
（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．
24．（12分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为
DE．
（1）如图 ，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
①
（2）如图 ，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
②
25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y ），C（5n+6，y ）
1 2
三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y 与y 的大小；
1 2
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y ＞y ，求n的取值范围．
1 2
26．（13分）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图 ，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝
AB，求sin∠①CAD的值；
（2）如图 ，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断
四边形ABC②D是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设
＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．2020年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．
故选：C．
2．【解答】解：68000＝6.8×104．
故选：A．
3．【解答】解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C． ÷ ＝ ＝ ，此选项错误；
D． × ＝ × × ＝2 ，此选项计算正确；
故选：D．
4．【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
5．【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．
6．【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，
∴x＝3，
从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，
处于中间位置的两个数是3，4，
∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5．
故选：B．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：D．
8．【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝ × ×6×8＝24 （cm2）．
π π
故选：B．
9．【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点 P运动到点E时，x＝10，y＝
30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝ ＝30，
解得EH＝AB＝6，
由图2可知当x＝14时，点Q与点C重合，∴BC＝14，
∴矩形的面积为14×6＝84．
故选：B．
10．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 ．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30
分）
11．【解答】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），
故答案为：y（x﹣2y）．
12．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝ AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝ ＝13，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
13．【解答】解：2 ＝ ，
∵ ＜ ＜ ，
∴5＜2 ＜6，
又∵m＜2 ＜m+1，
∴m＝5，
故答案为：5．
14．【解答】解：∵ ，
，
，∴ ，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
故答案为： ．
15．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
16．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝
1.5，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.96（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．
17．【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝4，x 2﹣4x ﹣2020＝0，即x 2﹣4x ＝2020，
1 2 1 1 1 1
则原式＝x 2﹣4x +2x +2x
1 1 1 2
＝x 2﹣4x +2（x +x ）
1 1 1 2
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．18．【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，
﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝ 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲
线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1， ），（ ，b+2），
∴a﹣1＝﹣ ，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字
说明）
19．【解答】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）
＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2
＝12mn+10n2；
（2）原式＝ ÷（ + ）
＝ ÷
＝ •
＝ ．
20．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图 ，
由作法得OA＝OB＝AB＝②BC，∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠BAC，
∵∠OBA＝∠C+∠BAC，
∴∠C＝∠BAC＝30°
∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝ AC＝ ×3＝ ．
即 O的半径为 ．
⊙
21．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l 的解析式为y＝kx+b，
2
∴ ，解得 ，
∴直线l 的解析式为y＝﹣2x+6；
2
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
22．【解答】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较
合理；
1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），故答案为：二，922；
（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌
握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普
遍性和可操作性．
23．【解答】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；
丙、乙、甲；共6种；
（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，
则张先生坐到甲车的概率是 ＝ ；
由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，
则李先生坐到甲车的概率是 ＝ ；
所以两人坐到甲车的可能性一样．
24．【解答】解：（1）如图 中，取DE的中点M，连接PM．
①
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
（2）如图 中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，
设EG＝x，②则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得x＝ （负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣ ＝ ，
在Rt△EGP中，GP＝ ＝ ，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∴BF＝3．
25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c ，
∵对称轴是直线①x＝1，
∴﹣ ＝1 ，
②
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0 ，
③
由 可得： ，
①②③
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣ x2+x，
∴﹣ ＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y ＞y ；
1 2
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得 ，
∴0＜n＜ ，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得： ，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜ ．
26．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．
∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，AE＝ ＝ ＝4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ，
∴sin∠CAD＝ ＝ ＝ ．
（2）如图 中，结论：四边形ABCD是对余四边形．
②理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．
∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∵∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，
∴CM2+CB2＝BM2，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形．
（3）如图 中，过点D作DH⊥x轴于H．
③
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2 ，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴u＝ ，
设D（x，t），
由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，
∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，
整理得（x+1）2＝4t﹣t2，
在Rt△ADH中，AD＝ ＝ ＝2 ，
∴u＝ ＝ （0＜t＜4），
即u＝ （0＜t＜4）．
