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江苏省连云港市 2020 年中考数学真题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是，符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.3的绝对值是（ ）．
A. B. 3 C. D.
2.下图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）．
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
4.“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始
评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数
据一定不变的是（ ）．
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
5.不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）．
A. B.
.
C D.
6.如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则
等于（ ）．A. B. C. D.
7.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， 、 、 、 、 、 均是正六
边形的顶点．则点 是下列哪个三角形的外心（ ）．
A. B. C. D.
8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表
示快、慢两车之间的路程 与它们的行驶时间 之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了 ； ②快车速度比慢车速度多 ；
③图中 ； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）9.我市某天的最高气温是4℃，最低气温是 ，则这天的日温差是________℃．
10.“我的连云港” 是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．
数据“1600000”用科学记数法表示为________．
11.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 、 的坐标分别为 、 ，
则顶点 的坐标为________．
12.按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是________．
13.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 与加工时间
（单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为________ ．
14.用一个圆心角为 ，半径为 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为
________ ．
15.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 ，
则直线 与 的夹角 ________ ．
16.如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 与 轴的正半轴交于点 ，点 是 上一动点，点 为弦 的中点，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，则 面积的最小值为
________．
三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区内作答，解答时写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算 ．
18.解方程组 ．
19.化简 ．
20.在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，
按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级 频数（人数） 频率
优秀 30
良好 0.45
合格 24 0.20
.
不合格 12 010
合计 1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中 ________， ________， ________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少
人？
21.从2021年起，江苏省高考采用“ ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是
指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
22.如图，在四边形 中， ，对角线 的垂直平分线与边 、 分别相交于 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的周长．
23.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共
捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工 的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防
疫物资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出
来（注： 、 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
24.如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像经过点 ，点 在 轴的负
半轴上， 交 轴于点 ， 为线段 的中点．
（1） ________，点 的坐标为________；
（2）若点 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交反比例函数图像于点 ，求 面积
的最大值．
25.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．
如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 、 ，筒车的轴心
距离水面的高度 长为 ，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始
计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒 首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒 距离水面多高？
（3）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ， ．求盛水筒 从最高点
开始，至少经过多长时间恰好在直线 上．（参考数据： ，
， ）
26.在平面直角坐标系 中，把与 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线
的顶点为 ，交 轴于点 、 （点 在点 左侧），交 轴于点 ．抛物线
与 是“共根抛物线”，其顶点为 ．
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点 的坐标；
（3）设点 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 与 相似，求其“共根
抛物线” 的顶点 的坐标．27.（1）如图1，点 为矩形 对角线 上一点，过点 作 ，分别交 、 于点 、
．若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 ________；
（2）如图2，点 为 内一点（点 不在 上），点 、 、 、 分别为各边的中点．设四
边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、
的代数式表示）；
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上）过点 作 ， ，与各边分别相
交于点 、 、 、 ．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求
的面积（用含 、 的代数式表示）；
（4）如图4，点 、 、 、 把 四等分．请你在圆内选一点 （点 不在 、 上），设
、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ，的面积为 ， 的面积为 ．根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式
（写出一种情况即可）．
江苏省连云港市 2020 年中考数学真题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是，符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.3的绝对值是（ ）．
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的概念进行解答即可．
【详解】解：3的绝对值是3．
故选：B
【点睛】本题考查绝对值的定义，题目简单，掌握绝对值概念是解题关键．
2.下图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据主视图定义，由此观察即可得出答案．
【详解】解：从物体正面观察可得，左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体．
故答案为D
【点睛】本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.下列计算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据合并同类项、多项式乘以多项式，同底数幂相乘，及完全平方公式进行运算判断即可．
【详解】解：A、2x与3y不是同类项不能合并运算，故错误；
B、多项式乘以多项式，运算正确；
C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故错误；
D、完全平方公式， ，故错误
故选：B
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握运算法则
和运算规律是解答本题的关键．
4.“红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始
评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数
据一定不变的是（ ）．
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，
7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．
故选:A
【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义．
5.不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）．
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出各不等式的解集，再找到其解集，即可在数轴上表示．
【详解】解
解不等式①得x≤2，
解不等式②得x＞1
故不等式的解集为1＜x≤2
在数轴上表示如下：
故选C．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
6.如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处．若 ，则 等于（
）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到∠EBA’=33°，再根据直角三角形两锐角互余即
可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°- =66°，
∵将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的 处，
∴∠EBA’= ∠ABD =33°，∴ =90°-∠EBA’= ，
故选C．
【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质．
7.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， 、 、 、 、 、 均是正六边形的顶
点．则点 是下列哪个三角形的外心（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点 O到A，
B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形外心 的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
8.快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表
示快、慢两车之间的路程 与它们的行驶时间 之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了 ； ②快车速度比慢车速度多 ；
③图中 ； ④快车先到达目的地．
其中正确的是（ ）
.
A ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】B【解析】
【分析】
根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
【详解】当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为 =80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多 ，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上）
9.我市某天的最高气温是4℃，最低气温是 ，则这天的日温差是________℃．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据最高气温减去最低气温列出算式，即可做出判断．
【详解】解：根据题意得：4−（−1）=5．
故答案为:5
【点睛】此题考查了有理数的减法，根据题意列出算式熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.“我的连云港” 是全市统一的城市综合移动应用服务端．一年来，实名注册用户超过1600000人．数
据“1600000”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：1600000用科学记数法表示应为：1.6×106，
故答案为：1.6×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 、 的坐标分别为 、 ，则
顶点 的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．
【详解】解：设正方形的边长为 ，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为： ，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．
12.按照如图所示的计算程序，若 ，则输出的结果是________．
【答案】-26
【解析】
【分析】
首先把x=2代入 计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果
再次代入计算，直到小于0为止．
【详解】解：当x=2时， ，故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时， ，
执行“是”，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
13.加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 与加工时间
（单位： ）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为________ ．
【答案】3.75
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式 直接计算即可．
【详解】解：∵ 的对称轴为 （min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是
解题关键．
14.用一个圆心角为 ，半径为 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________
．
【答案】5
【解析】
【分析】
设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问
题．
【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为Rcm，由题意，
，
解得 （cm）．
故答案 为：5
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，理解好在圆锥的侧面展开图中“圆锥底面周长=侧面展开图弧
长”是解题关键．
15.如图，正六边形 内部有一个正五形 ，且 ，直线 经过 、 ，则直线 与的夹角 ________ ．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知正六边形 内部有一个正五形 ，可得出正多边形的内角度数，根据 和四
边形内角和定理即可得出 的度数．
【详解】∵多边形 是正六边形，多边形 是正五边形
∴
∵
∴
∴
故答案为：48
【点睛】本题考查了正多边形内角的求法，正n多边形内角度数为 ，四边形的内角和为360°，以及
平行线的性质定理，两直线平行同位角相等．
16.如图，在平面直角坐标系 中，半径为2的 与 轴的正半轴交于点 ，点 是 上一动点，点
为弦 的中点，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，则 面积的最小值为________．【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意可知C点的运动轨迹是以F（1,0）为圆心、半径为1的圆，过F点作AH⊥DE，与 F的交点即
为C点，此时 中DE边上的高为C’H=FH-1,根据直线DE的解析式及F点坐标可求出FH的解析式，
联立DE的解析式即可求出H点坐标，故可求出FH，从而得解．
【详解】如图，∵点 是 上一动点，点 为弦 的中点，
∴C点的运动轨迹是以F（1,0）为圆心、半径为1的圆，
过F点作AH⊥DE，交 F于点C’，
∵直线DE的解析式为 ，
令x=0，得y=-3，故E（0，-3），
令y=0,得x=4,故D（4,0），
∴OE=3,OD=4,DE= ，
∴设FH的解析式为y= x+b，
把F（1,0）代入y= x+b得0= +b，
解得b= ，
∴FH的解析式为y= x+ ，
联立 ，
解得 ，
故H（ ， ），∴FH= ，
∴C’H= ，
故此时 面积= = ，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查圆得综合问题，解题的关键是根据题意得到点C的运动轨迹．
三、解答题（本大题共11小题，共102分，请在答题卡上指定区内作答，解答时写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算 ．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据乘方运算、负整数指数幂、开方运算进行化简，再计算加减即可．
【详解】原式 ．
【点睛】本题考查了乘方运算、负整数指数幂、开方运算，熟知各运算法则是解题关键．
18.解方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意选择用代入法解答即可．
【详解】解： ，将②代入①中得
．
解得 ．
将 代入②，
得 ．
所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．
19.化简 ．
【答案】
【解析】
【分析】
首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分
母颠倒位置后，与被除式相乘．
20.在世界环境日（6月5日），学校组织了保护环境知识测试，现从中随机抽取部分学生的成绩作为样本，
按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计，绘制了如下尚不完整的统计图表．
测试成绩统计表
等级 频数（人数） 频率
优秀 30
良好 0.45
合格 24 0.20
不合格 12 0.10合计 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中 ________， ________， ________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有2400名学生参加了本次测试，估计测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有多少
人？
【答案】（1）0.25，54，120；（2）见解析；（3）1680人
【解析】
【分析】
（1）依据频率= ，先用不合格的人数除以不合格的频率即可得到总频数（人数） ，再依次求出 、 ；
（2）根据（1）良好人数即可补全条形统计图；
（3）全校2400名乘以“优秀”和“良好”两个等级的频率和即可得到结论．
【详解】解：（1）样本的总频数（人数） （人），
其中：“优秀”等次的频率 ，
“良好”等次的频数 （人）．
故答案为：0.25，54，120；
（2）如下图；（3）试成绩等级在良好以上（包括良好） 的学生= （人）．
答：测试成绩等级在良好以上（包括良好）的学生约有1680人．
【点睛】本题考查了频率统计表和条形统计图，读懂统计图，掌握“频率= ”是解决问题的关键．
21.从2021年起，江苏省高考采用“ ”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”
是指在物理、历史2科中任选科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是________；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2中选化学、生物的概率．
【答案】（1） ；（2）图表见解析，
【解析】
【分析】
(1)小丽在“2”中已经选择了地理，还需要从剩下三科中进行选择一科生物，根据概率公式计算即可．
（2）小明在“1”中已经选择了物理，可直接根据画树状图判断在4科中选择化学，生物的可能情况有2种，
再根据一共有12种情况，通过概率公式求出答案即可．
【详解】（1） ；
（2）列出树状图如图所示：
由图可知，共有12种可能结果，其中选化学、生物的有2种，
所以， （选化学、生物） ．
答：小明同学选化学、生物的概率是 ．
【点睛】本题考查了等可能概率事件，以及通过列表法或画树状图法判断可能情况概率，根据概率公式事
件概率情况，解题关键在于要理解掌握等可能事件发生概率．
22.如图，在四边形 中， ，对角线 的垂直平分线与边 、 分别相交于 、 ．（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的周长．
【答案】（1）见解析；（2）52
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，得到四边形 为平行四边形，再根据菱形定义证明即可；
（2）先根据菱形性质求出OB、OM、再根据勾股定理求出BM，问题的得解．
【详解】（1）∵ ，∴ ．
∵ 是对角线 的垂直平分线，
∴ ， ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 为菱形．
（2）∵四边形 为菱形， ， ．
∴ ， ， ．
在 中， ．
∴菱形 的周长 ．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质定理，熟知菱形判定方法和性质定理是解题关键．
23.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共
捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物资
每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】（1）甲公司有150人，乙公司有180人；（2）有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱
种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种防疫物资
【解析】
【分析】
（1）设乙公司有x人，则甲公司有 人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可
得出结论;
（2）（2）设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款
140000元．列出方程，求解出 ，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）设乙公司有 人，则甲公司有 人，由题意得
，解得 ．
经检验， 是原方程的解．
∴ ．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买 种防疫物资 箱，购买 种防疫物资 箱，由题意得
，整理得 ．
又因为 ，且 、 为正整数，
所以 ， ．
答：有2种购买方案：购买8箱 种防疫物资、10箱 种防疫物资，或购买4箱 种防疫物资、15箱 种防疫
物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方
程是解题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像经过点 ，点 在 轴的负半轴上，
交 轴于点 ， 为线段 的中点．（1） ________，点 的坐标为________；
（2）若点 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交反比例函数图像于点 ，求 面积的最大值．
【答案】（1）m=6， ；（2）当a=1时， 面积的最大值为
【解析】
【分析】
（1）将点 代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可；
（2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为 ，设D坐标为 ，则 ，
进而得到 ，即可解答
【详解】解：（1）把点 代入反比例函数 ，得： ，
解得：m=6，
∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为： ，
故答案为：6， ；
（2）设直线 对应的函数表达式为 ．
将 ， 代入得 ，解得 ．
所以直线 对应的函数表达式为 ．
因为点 在线段 上，可设 ，
因为 轴，交反比例函数图像于点 ．所以 ．所以 ．
所以当a=1时， 面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二
次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．
25.筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．
如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 、 ，筒车的轴心 距离水
面的高度 长为 ，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒 首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒 距离水面多高？
（3）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ， ．求盛水筒 从最高点开始，至
少经过多长时间恰好在直线 上．（参考数据： ， ，
）
【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒
【解析】
【分析】
（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定 ，
最后再计算出所求时间即可；
（2）先根据时间和速度计算出 ，进而得出 ，最后利用三角函数计算出 ，从而得到盛水筒 距
离水面的高度；
（3）先确定当 在直线 上时，此时 是切点，再利用三角函数得到 ，
，从而计算出 ，最后再计算出时间即可．【详解】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转 ．
连接 ，在 中， ，所以 ．
所以 （秒）．
答：盛水筒 首次到达最高点所需时间为27.4秒．
（2）如图2，盛水筒 浮出水面3.4秒后，此时 ．
所以 ．
过点 作 ，垂足为 ，在 中， ．
．
答：此时盛水筒 距离水面的高度 ．
（3）如图3，因为点 在 上，且 与 相切，
所以当 在直线 上时，此时 是切点．
连接 ，所以 ．
在 中， ，所以 ．
在 中， ，所以 ．
所以 ．
所以需要的时间为 （秒）．
答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒 恰好在直线 上．
【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的
三角函数值是解题的关键．
26.在平面直角坐标系 中，把与 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线
的顶点为 ，交 轴于点 、 （点 在点 左侧），交 轴于点 ．抛物线 与 是“共根抛物
线”，其顶点为 ．（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点 的坐标；
（3）设点 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 与 相似，求其“共根抛
物线” 的顶点 的坐标．
【答案】（1） ；（2）点 ；（3） 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线 经过抛物线 与x轴交点，故根据抛物线 可求AB两点坐标进
而由交点式设 为 ，将点 代入，即可求出解；
（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴ ，根据三角形两边之差小于第三边可知当当 、 、
三点共线时， 的值最大，而P点在对称轴为 上，由此求出点P坐标；
（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形， 与 相似，分两种情况讨论：当
、 时，分别利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，解得 ， ．
∴ 、 、 ．
由题意得，设 对应的函数表达式为 ，
又∵ 经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ 对应的函数表达式为 ．
（2）∵ 、 与 轴交点均为 、 ，
∴ 、 的对称轴都是直线 ．∴点 在直线 上．
∴ ．
如图1，当 、 、 三点共线时， 的值最大，
此时点 为直线 与直线 的交点．
由 、 可求得，直线 对应的函数表达式为 ．
∴点 ．
（3）由题意可得， ， ， ，
因为在 中， ，故 ．
由 ，得顶点 ．
因为 的顶点P在直线 上，点Q在 上，
∴ 不可能是直角．
第一种情况：当 时，
①如图2，当 时，则得 ．
设 ，则 ，
∴ ．
由 得 ，解得 ．∵ 时，点Q与点P重合，不符合题意，
∴舍去，此时 ．
②如图3，当 时，则得 ．
设 ，则 ．
∴ ．
由 得 ，解得 （舍），此时 ．
第二种情况：当 时，
①如图4，当 时，则得 ．
过Q作 交对称轴于点M，∴ ．
∴ ．由图2可知 ，
∴ ．
∴ ，又 ，代入得 ．
∵点 ，
∴点 ．
②如图5，当 时，则 ．过Q作 交对称轴于点M，
∴ ，则 ．
由图3可知 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又 ，代入得 ．
∵点 ，
∴点 ，
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以
及相似三角形的性质解答．
27.（1）如图1，点 为矩形 对角线 上一点，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 ，
， 的面积为 ， 的面积为 ，则 ________；（2）如图2，点 为 内一点（点 不在 上），点 、 、 、 分别为各边的中点．设四边形 的面
积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上）过点 作 ， ，与各边分别相交于点 、 、 、
．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的
代数式表示）；
（4）如图4，点 、 、 、 把 四等分．请你在圆内选一点 （点 不在 、 上），设 、 、 围
成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 的面积为 ， 的面积
为 ．根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式（写出一种情况即可）．
【答案】（1）12；（2） ；（3） ；（4）答案不唯一
【解析】
【分析】
（1）过P点作AB的平行线MN，根据S +S =S +S =S -S 从而得到，
矩形AEPM 矩形DFPM 矩形CFPN 矩形DFPM 矩形ABCD 矩形BEPN
S =S 进而得到 与 的关系，从而求出结果.
矩形AEPM 矩形CFPN
（2）连接 、 ，设 ，
，根据图形得到
，求出 ， ，最
终求出结果.
（3）易知 ， ，导出 ，再由 的关系，即可可求解.
（4）连接ABCD的得到正方形，根据（3）的方法，进行分割可找到面积之间的关系.
【详解】（1）过P点作AB∥MN，
∵S +S =S +S =S -S
矩形AEPM 矩形DFPM 矩形CFPN 矩形DFPM 矩形ABCD 矩形BEPN，
又∵
∴
∴
（2）如图，连接 、 ，
在 中，因为点E是 中点，
可设 ，
同理， ，
所以 ，
．
所以 ，
所以 ，所以 ．
．
（3）易证四边形 、四边形 是平行四边形．
所以 ， ．
所以 ，
．（4）
答案不唯一，如：
如图1或图2，此时 ；
如图3或图4，此时 ．
