文档内容
扬州市 2024 年初中毕业升学考试数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题~第8题，共8题）、非选择题（第9题~第28题，
共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答
题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡
上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 实数2的倒数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数
的概念是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数为 ，
故选：D ．
2. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博
物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线
叫做对称轴，进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形；
故选：C．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘法，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原选项错误，不符合题意；
B、 ，正确，符合题意；
C、 ，原选项错误，不符合题意；
D、 ，原选项错误，不符合题意；
故选：B ．
4. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，
开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的众数是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断
即可．
【详解】解：这45名同学视力检查数据中， 出现的次数最多，因此众数是 ．
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点 的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.
【详解】∵点 关于原点的对称点为 ，
∴ 的坐标为（-1，-2），
故选D．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．
6. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了常见几何体的展开图，掌握常见几何体展开图的特点是解题的关键．
根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．
【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，
∴该几何体是三棱柱，
故选：C ．
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学科网（北京）股份有限公司7. 在平面直角坐标系中，函数 的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数表达式计算当 时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于 的值不可能为
0，即 ，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．
本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．
【详解】当 时， ，
∴ 与y轴的交点为 ；
由于 是分式，且当 时， ，即 ，
∴ 与x轴没有交点．
∴函数 的图像与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
8. 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第
三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
【答案】D
【解析】
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有 个．
故选：D
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
9. 近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度
全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的要求，将18700000变为 ，分别确定a和n的值即可．
本题考查了科学记数法，其表示形式为 ，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】 ，
故答案为： ．
10. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式 ，
故答案为： ．
11. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
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学科网（北京）股份有限公司盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．
【答案】0.53
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数
的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，
为
故答案 ：0.53
12. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
13. 若用半径为 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____ ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．
根据题意得圆锥的母线长为 ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以 即
为圆锥的底面半径．
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 ，
∴圆锥的底面半径为 ，
故答案为：5．
14. 如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则关于x的方程 的解为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．
根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴当 时， ，即 时， ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里
记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走 米，速度慢的人每分钟走 米，现在
速度慢的人先走 米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，设需要 分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设 分钟追上，
∴ ，
解得， ，
的
∴速度快 人追上速度慢的人需要 分钟，
故答案为： ．
16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的
蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ．设 ， ．小孔
到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得 ， ，过 作
于点 ， 交 于点 ，利用已知得出 ，进而利用相似三角形的性质
求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得： ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ， 交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ （ ），
即小孔 到 的距离为 ，
故答案为： ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例函数 的图像上，
轴于点C， ，将 沿 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，
则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．
如图，过点 作 轴于点 ．根据 ， ，设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由对称可知 ， ，即可得 ， ，解得
，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ．
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ， 轴，
设 ，则 ，
由对称可知 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，
∴ ，
解得： ，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
18. 如图，已知两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，点C、D分别是 、 上的动点，
且满足 ，连接 交线段 于点E， 于点H，则当 最大时， 的
值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，
说明点H在以 为直径的圆上运动，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点 在
上运动，说明当 与 相切时 最大，得出 ，根据 ，
利用 ，即可求出结果．
【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是 上的定点， 于点B，
∴点B为定点， 的长度为定值，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点H在以 为直径的圆上运动，
如图，取线段 的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，
则点 在 上运动，
∴当 与 相切时 最大，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三
角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司19. （1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它
们各自的计算方法．
（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；
（2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 解不等式组 ，并求出它 所有整数解的和．
的
【答案】 ，整数和为6
【解析】
【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小
小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
由①得， ，
解得， ；
由②得， ，
移项得， ，
解得， ，
∴原不等式组的解为： ，
∴所有整数解为： ，
∴所有整数解的和为： ．
21. 2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达
8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普
及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整
理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
成绩条形统计图
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学科网（北京）股份有限公司根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ________%，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）20，条形统计图见详解
（2）D （3）300人
【解析】
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图
即可．
（2）按照中位数的定义解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．
【小问1详解】
，
C组人数为： ，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
【小问2详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
【小问3详解】
（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正
确计算是解题的关键．
22. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景
区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明
和小亮选到相同景区的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用
列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键．
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可；
【小问1详解】
解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能，
∴选中东关街的概率是 ，
故案䅁为： ；
【小问2详解】
列表如下：
小亮 小明 C D E
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学科网（北京）股份有限公司C
D
E
共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
∴小明和小亮选到相同景区的概率： ；
答：小明和小亮选到相同景区的概率 ．
23. 为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃
圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少
吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设 型机器每天处理 吨垃圾，则 型机器每天处理 吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设 型机器每天处理 吨垃圾，则 型机器每天处理 吨垃圾，
根据题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
24. 如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为 ，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形 的面积为 ，求此
时直线 所夹锐角 的度数．
【答案】（1）四边形 是菱形，理由见详解
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形
的判定和性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质可得四边形 是平行四边形，作 ，可证
，可得 ，由此可证平行四边形 是菱形；
（2）作 ，根据面积的计算方法可得 ，结合菱形的性质可得 ，根据含
的直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：四边形 是菱形，理由如下，
如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
第18页/共33页
学科网（北京）股份有限公司根据题意，四边形 ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵宽度相等，即 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
根据题意， ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可得四边形 是菱形，
第19页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ．
25. 如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点．
（1）求 的值；
（2）若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是
解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设 ，结合几何图形面积计算方法可得点 的纵坐标，代入后解一元二次方程即可
求解．
【小问1详解】
解：二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
第20页/共33页
学科网（北京）股份有限公司解得， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）可知二次函数解析式为： ， ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，无解，不符合题意，舍去；
当 时， ， ；
∴ ．
26. 如图，已知 及 边上一点 ．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作
法）
（2）在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射
线 上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
第21页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（3）在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得 是直径，结合锐角三角函数的定义可得 的值，
根据勾股定理可求出 的值，在直角 中运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
∴ ；
点O即为所求
【小问2详解】
解：如图所示，
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心，以任意长为半径画弧交
第22页/共33页
学科网（北京）股份有限公司于点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 并延长交
于点 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点 到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 即为所求点的位置；
【小问3详解】
解：如图所示，
根据作图可得， ，连接 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
第23页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，
掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
27. 如图，点 依次在直线 上，点 固定不动，且 ，分别以 为边在
直线 同侧作正方形 、正方形 ， ，直角边 恒过点 ，直角边 恒过点
．
（1）如图 ，若 ， ，求点 与点 之间的距离；
（2）如图 ，若 ，当点 在点 之间运动时，求 的最大值；
（3）如图 ，若 ，当点 在点 之间运动时，点 随之运动，连接 ，点 是 的中
点，连接 ，则 的最小值为_______．
第24页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 或 ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）设 ，则 ，证明 ，然后根据相似三角形的性质得出
，则 ，转化为 ，解方程即可；
（ ）设 ，则 ，证明 ，然后根据相似三角形的性质得出
，则 ，转化为 然后由二次函数的性质求
解即可；
（ ）连接 ，由四边形 是正方形，得 ，即点 对角线 所在直线上运动，根
据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 ，当 三点共线时， 有最
小值 ，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：设 ，则 ，
∵四边形 、 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
第25页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，即 ，则 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
设 ，则 ，
∵四边形 、 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时， 有最大，最大值为 ；
【小问3详解】
连接 ，
第26页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是正方形，
∴ ，
即点 在对角线 所在直线上运动，
如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，过 作 于点 ，
∴ ，四边形 为矩形，
则点 三点共线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 有最小值 ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解
题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司28. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再
研究一般情况，证明结论．
如图，已知 ， ， 是 的外接圆，点 在 上（ ），连接 、
、 ．
【特殊化感知】
（1）如图1，若 ，点 在 延长线上，则 与 的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若 ，点 、 在 同侧，判断 与 的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若 ，直接写出 、 、 满足的数量关系．（用含 的式子表示）
【答案】（1） ；（2） （3）当 在 上时， ；
当 在 上时，
【解析】
是
【分析】（1）根据题意得出 等边三角形，则 ，进而由四边形 是圆内接
四边形，设 交于点 ，则 ，设 ，则 ，分别求得 ，即可求
解；
（2）在 上截取 ，证明 ，根据全等三角形的性质即得出结论；
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学科网（北京）股份有限公司（3）分两种情况讨论，①当 在 上时，在 上截取 ，证明 ，
，得出 ，作 于点 ，得出 ，进而即可得出
结论；②当 在 上时，延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，
，同①可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，则
∵ 是 的外接圆，
∴ 是 的角平分线，则
∴
∵四边形 是圆内接四边形，
∴
∴
设 交于点 ，则 ，
设 ，则
在 中，
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∴ ，
∵ 是直径，则 ，
在 中，
∴
∴
（2）如图所示，在 上截取 ，
∵
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，则
∴
是
∵四边形 圆内接四边形，
∴
∴ ；
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，则
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵
∴
在 中
∴
∴ ，
∴
即 ；
（3）解：①如图所示，当 在 上时，
在 上截取 ，
∵
∴
又∵
∴ ，则
∴ 即
又∵
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴
∵
∴
如图所示，作 于点 ，
在 中， ，
∴
∴
∴ ，即
②当 在 上时，如图所示，延长 至 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是圆内接四边形，
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学科网（北京）股份有限公司∴
又∵
∴ ，则
∴ 即 ，
又∵
∴
∴
∴ ，
∵
同①可得
∴
∴
综上所述，当 在 上时， ；当 在 上时， ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长
补短的辅助线方法是解题的关键．
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