文档内容
2007 年湖北高考文科数学真题及答案
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题
对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1． 的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．如果 ， ， ，那么 （
）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3
４．函数 的反函数是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
D
C
1
5．在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 的中 1
A G
B
点， 为棱 上的一点，且 ．则点 到平面 1
1
的距离为（ ） E F C
D
A
B
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100名高中男生的体重情况，根据所
得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校 2000名高中男生中体
重大于70.5公斤的人数为（ ）A．300 B．360 C．420 D．450
频率
组距
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
体 重
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70（.5 kg72）.5
74.5 76.5
7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．由直线 上的一点向圆 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．设 ， 在 上的投影为 ， 在 轴上的投影为2，且 ，则 为
（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是 的充分条件而不是必要条件， 是 的充分条件， 是 的必要条件， 是
的必要条件，现有下列命题：
① 是 的充要条件；
② 是 的充分条件而不是必要条件；
③ 是 的必要条件而不是充分条件；
④ 是 的必要条件而不是充分条件；
⑤ 是 的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（ ）
A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 ．
12．过双曲线 左焦点 的直线交曲线的左支于 两点， 为其右焦点，则 的值为______．
13．已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
＿＿＿＿．
14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
．（用数值作答）
（毫克）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与 1
时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式
为 （ 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，
回答下列问题：
O0.1
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与 （小时）
时间 （小时）之间的函数关系式为 ．
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那
么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（I）求 的最大值和最小值；
（II）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且
Ｖ
， ．
（I）求证：平面 平面 ；
Ｃ
（II）试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 ．
A
Ｂ
Ｄ
18．（本小题满分12分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 （单位：元， ）的平方成正
比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（I）将一个星期的商品销售利润表示成 的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
19．（本小题满分12分）
设二次函数 ，方程 的两根 和 满足 ．
（I）求实数 的取值范围；
（II）试比较 与 的大小．并说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知数列 和 满足： ， ， ， （ ），且
是以 为公比的等比数列．
（I）证明： ；
（II）若 ，证明数列 是等比数列；
（III）求和： ．21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线 （ ）相交于
两点．
（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；
（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若
存在，求出 的方程；若不存在，说明理由．
y
C B
A
x
O
N
（此题不要求在答题卡上画图）
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ
6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．
11． 12．8 13．3
14． 15． ；0.6
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象
和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．又 ， ，即 ，
．
（Ⅱ） ， ，
且 ，
，即 的取值范围是 ．
17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理
运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法1：（Ⅰ） ， 是等腰三角形，又 是 的中点，
，又 底面 ． ．于是 平面 ．
又 平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅱ） 过点 在平面 内作 于 ，则由（Ⅰ）知 平面 ．
连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角．
依题意 ，所以
在 中， ；
在 中， ，
．
， ．
故当 时，直线 与平面 所成的角为 ．
解法2：（Ⅰ）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，则 ，
于是， ， ， ．
从而 ，即 ．同理 ，
即 ．又 ， 平面 ．
又 平面 ．
平面 平面 ．
（Ⅱ）设平面 的一个法向量为 ，
z
则由 ．
V
得
C
B y
可取 ，又 ，
D
A
于是 ，x
即 ， ．
故交 时，直线 与平面 所成的角为 ．
解法3：（Ⅰ）以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则 ，
，于是 ， ，
．
从而 ，即 ．
同理 ，即 ．
又 ， 平面 ．
又 平面 ，
平面 平面 ．（Ⅱ）设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得
V
可取 ，又 ，
于是 ，
C y
B
D
x
A
即 ．
故交 时，
即直线 与平面 所成角为 ．
18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问
题的能力．
解：（Ⅰ）设商品降价 元，则多卖的商品数为 ，若记商品在一个星期的获利为 ，
则依题意有 ，
又由已知条件， ，于是有 ，
所以 ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有 ．
2 12
0 0
极小 极大
故 时， 达到极大值．因为 ， ，所以定价为
元能使一个星期的商品销售利润最大．
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运
算能力．
解法1：（Ⅰ）令 ，则由题意可得 ．
故所求实数 的取值范围是 ．
（II） ，令 ．
当 时 ， 单 调 增 加 ， 当 时 ，
，即 ．
解法2：（I）同解法1．
（II） ，由（I）知 ，
．又 于是
，
即 ，故 ．
解法3：（I）方程 ，由韦达定理得
， ，于是
．
故所求实数 的取值范围是 ．
（II）依题意可设 ，则由 ，得，故 ．
20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能
考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（I）证：由 ，有 ， ．
（II）证： ，
， ，
．
是首项为5，以 为公比的等比数列．
（III）由（II）得 ， ，于是
．
当 时，
．
当 时，
．故
解法2：（I）同解法1（I）．
（II）证：
，又 ，
是首项为5，以 为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得 ，
，
， ．
．
下同解法1．
21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知
识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，
直 线 的 方 程 为 ， 与 联 立 得 消 去 得
．
y
由韦达定理得 ， ．
B
C
于是 ．
A
O
x
N
，
当 ， ．
（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，设 的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，
则 ， 点的坐标为 ．
y
， B
C
O
，
l A
O
x
N
，
．
令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为
，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得 ．
从而 ，
当 时， ．
（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为
，
将直线方程 代入得 ，
则 ．设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，
则有 ．
令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为
，
即抛物线的通径所在的直线．
