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2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分） =（ ）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i
2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x| ＜0}，则A∩B=（ ）
A．φ B．（3，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）
3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣ ，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）函数 在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y+3=0
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，E为AA 中点，则异面
1 1 1 1 1 1
直线BE与CD 所形成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
7．（5分）设a=log π，b=log ，c=log ，则（ ）
3 2 3
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
8．（5分）若将函数y=tan（ωx+ ）（ω＞0）的图象向右平移 个单位长度
后，与函数y=tan（ωx+ ）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，
F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）A． B． C． D．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰
有1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
11．（5分）已知双曲线 的右焦点为F，过F且斜率
为 的直线交C于A、B两点，若 =4 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、
西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图
所示的平面图形，则标“△”的面的方位（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x ﹣y ）4的展开式中x3y3的系数为 ．14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若a =5a ，则 = ．
n n 5 3
15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的
平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于
．
16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）
+cosB= ，b2=ac，求B．
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB⊥AC，D、E分别为AA 、B C
1 1 1 1 1
的中点，DE⊥平面BCC ．
1
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B C与平面BCD所成的角的大小．
119．（12分）设数列{a }的前n项和为S ，已知a =1，S =4a +2（n N*）．
n n 1 n+1 n
（1）设b =a ﹣2a ，证明数列{b }是等比数列；
n n+1 n n ∈
（2）求数列{a }的通项公式．
n
20．（12分）某车间甲组有 10名工人，其中有 4名女工人；乙组有 5名工人，
其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）
从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的
直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点 O到l的距离为
，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x 、x ，且x ＜x ，
1 2 1 2
（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x ）＞ ．
2
