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2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数（ ）2=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
2．（5分）函数 的反函数是（ ）
A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0）
C．y=e2x﹣1﹣1（x R） D．y=e2x﹣1+1（x R）
∈ ∈
3．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）如果等差数列{a }中，a +a +a =12，那么a +a +…+a =（ ）
n 3 4 5 1 2 7
A．14 B．21 C．28 D．35
5．（5分）不等式 ＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}
C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}
6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，
若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法
共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣ ）的图象，只需把函数 y=sin（2x+
）的图象（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = ， = ，| |=1，| |=2，则 =（ ）
A． + B． + C． + D． +
9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时，
它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．（5分）若曲线y= 在点（a， ）处的切线与两个坐标围成的三角形
的面积为18，则a=（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
11．（5分）与正方体ABCD﹣A B C D 的三条棱AB、CC 、A D 所在直线的距离
1 1 1 1 1 1 1
相等的点（ ）
A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
12．（5分）已知椭圆T： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过右焦点F
且斜率为 k（k＞0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=
（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣ ，则tanα= ．
14．（5分）若（x﹣ ）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．
15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为
的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 ，则p= ．
16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M
与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．
三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB= ，cos∠ADC=
，求AD．
18．（12分）已知数列{a }的前n项和S =（n2+n）•3n．
n n
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ）证明： + +…+ ＞3n．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC=BC，AA =AB，D为BB 的中
1 1 1 1 1
点，E为AB 上的一点，AE=3EB ．
1 1
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB 与CD的公垂线；
1
（Ⅱ）设异面直线AB 与CD的夹角为45°，求二面角A ﹣AC ﹣B 的大小．
1 1 1 1
20．（12分）如图，由 M到N的电路中有 4个元件，分别标为 T ，T ，T ，
1 2 3
T ，电流能通过T ，T ，T 的概率都是P，电流能通过T 的概率是0.9，电流
4 1 2 3 4能否通过各元件相互独立．已知 T ，T ，T 中至少有一个能通过电流的概率
1 2 3
为0.999．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．
21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： 相交
于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三
点的圆与x轴相切．
22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥ ；
（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤ ，求a的取值范围．
