文档内容
2011 年浙江省高考数学试卷（文科）
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 由图可知，当x=3，y=1时
1．（5分）（2011•浙江）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（ ） 3x+4y取最小值13
A．P QB．Q P C． ∁R P Q D．Q R P 故选A
【考点】集合的包含关系判断及应用．
⊆ ⊆ ⊆ ⊆菁优网版∁权所有
【专题】集合．
【分析】利用集合的补集的定义求出P的补集；利用子集的定义判断出Q C P．
R
【解答】解：∵P={x|x＜1}，
⊆
∴C P={x|x≥1}，
R
∵Q={x|x＞1}，
∴Q C P，
R
故选D．
⊆
【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合
的包含关系．
2．（5分）（2011•浙江）若复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（ ） 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目
A．1+3i B．3+3i C．3﹣i D．3 中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．
【考点】复数代数形式的乘除运算． 然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用两个复数代数形式的乘法法则，把（1+z）•z化简到最简形式． 4．（5分）（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l α，则（ ）
【解答】解：∵复数z=1+i，i为虚数单位，则（1+z）•z=（2+i）（1+i）=1+3i A．α内存在直线与l异面 B．α内存在与l平行的直线
⊄
故选 A． C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位的幂运算性质． 【考点】直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．
菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l α，判断出直线l与α的关系，利用
3．（5分）（2011•浙江）若实数x，y满足不等式组 ，则3x+4y的最小值是（ ） 直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
⊄
【解答】解：直线l不平行于平面α，且l α，
则l与α相交
⊄
A．13 B．15 C．20 D．28 l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
【考点】简单线性规划． 故B，C，D错误
菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用． 故选A
【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l
【分析】我画出满足不等式组 的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将
与α的关系是解答本题的关键．
5．（5分）（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则
各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值． sinAcosA+cos2B=（ ）
A．﹣ B． C．﹣1 D．1
【考点】余弦定理；正弦定理．
菁优网版权所有【专题】解三角形．
【分析】利用三角形中的正弦定理，将已知等式中的边用三角形的角的正弦表示，代入要求的式子，利用三角
函数的平方关系求出值．
【解答】解：∵acosA=bsinB
由正弦定理得sinAcosA=sinBsinB
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1
故选D
【点评】本题考查三角形中的正弦定理、余弦定理、三角函数的平方关系．
6．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“ ”的（ ） A． B． C． D．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 【考点】空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图．
菁优网版权所有
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【专题】立体几何．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质． 【分析】A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．
菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1” “ ”与“ ”⇒“0＜ab＜1”的真假，然后结合充
要条件的定义即可得到答案． ⇒ 【解答】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为 ，
【解答】解：若“0＜ab＜1”
当a，b均小于0时，
即“0＜ab＜1” “ ”为假命题
C的正视图为
⇒
若“ ”
当a＜0时，ab＞1
D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为
即“ ”⇒“0＜ab＜1”为假命题
故选B
【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．
综上“0＜ab＜1”是“ ”的既不充分也不必要条件
故选D． 8．（5分）（2011•浙江）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概
【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性 率是（ ）
质判断“0＜ab＜1” “ ”与“ ”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键． A． B． C． D．
⇒ 【考点】古典概型及其概率计算公式．
菁优网版权所有
7．（5分）（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） 【专题】概率与统计．
【分析】用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的
情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件
的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C 3=10种取法，
5
所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C 3=1种，
3则没有白球的概率为 ；
则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ．
A． B． C． D．
故选D．
【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．
菁优网版权所有
性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率． 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再
代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．
9．（5分）（2011•浙江）已知椭圆C ： =1（a＞b＞0）与双曲线C ：x2﹣ =1有公共的焦点，C 的一
1 2 2 【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c ，
由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，
]
条渐近线与以C 的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C 恰好将线段AB三等分，则（ ） 所以有a﹣（b+2a）+b+c=0 c=a．
1 1
A．a2= B．a2=3 C．b2= D．b2=2 法一：所以函数f（x）=ax2 ⇒+bx+a，对称轴为x=﹣ ，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合． 对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，
菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，
【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与
对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣ ＞0 b＞0 f（﹣1）＜0，不矛盾，
双曲线有公共的焦点，得方程a2﹣b2=5；设C 与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C 的方程得：
1 1
⇒ ⇒
对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣ ＜﹣1 b＞2a f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．
；对称性知直线y=2x被C 截得的弦长=2 x，根据C 恰好将线段AB三等分得：2 x= ，从
1 1
法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相⇒应方程的⇒两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．
而可解出a2，b2的值，故可得结论． 故选：D．
【解答】解：由题意，C 的焦点为（± ，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且 【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其
2
AB=2a 等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．
∴C 1 的半焦距c= ，于是得a2﹣b2=5 ①
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
设C 与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C 的方程得： ②，
1 1
11．（4分）（2011•浙江）设函数 ，若f（a）=2，则实数a= ﹣ 1 ．
由对称性知直线y=2x被C 截得的弦长=2 x， 【考点】函数的值．
1
菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
由题得：2 x= ，所以 ③
【分析】将x=a代入到f（x），得到 =2．再解方程即可得．
由②③得a2=11b2 ④
由①④得a2=5.5，b2=0.5
【解答】解：由题意，f（a）= =2，
故选C
【点评】本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需 解得，a=﹣1．
要小心谨慎． 故a=﹣1．
【点评】本题是对函数值的考查，属于简单题．对这样问题的解答，旨在让学生体会函数，函数值的意义，从
10．（5分）（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点， 而更好的把握函数概念，进一步研究函数的其他性质．
则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（ ）
∈
12．（4分）（2011•浙江）若直线与直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m= 1 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
菁优网版权所有
【专题】直线与圆．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．
【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为
直线2x+my﹣6=0的斜率为
∵两直线垂直
∴
解得m=1
故答案为：1
【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1．
13．（4分）（2011•浙江）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计
这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生
在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 60 0 ．
【考点】程序框图．
菁优网版权所有
【专题】算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算
并输出k值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
【考点】频率分布直方图． 第一圈 k=3 a=43 b=34
菁优网版权所有
【专题】概率与统计． 第二圈 k=4 a=44 b=44
【分析】首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和，即成绩小于60 的学生的频率，再乘以3000即可． 第三圈 k=5 a=45 b=54
【解答】解：由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）=0.2， 此时a＞b，退出循环，k值为5
所以成绩小于60分的学生数是3000×0，2=600 故答案为：5．
故答案为：600 【点评】对于流程图处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类
【点评】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考查识图能力． 型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数
学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．
14．（4分）（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 5 ．
15．（4分）（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为 ，
则α和β的夹角θ的范围是 [30 ° ， 150 ° ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
菁优网版权所有]
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示
式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角．
【解答】解：∵ | || |sinθ=∴sinθ= ，
假设 = ≥1，
∵| |=1，| |≤1，
∴sinθ ，
∵θ [0，π 则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n2≤10，所以n＜4，
∴θ [30°，150° ， 又n是整数，即n≤3时，a ＞a ，
n+1 n
∈ ]
当n≥4时，a ＜a ，
故答
∈
案为：[30°] ，150° ，或[ ， n+1 n
所以a 最大．
4
【点评】本题考查两个]向量的夹角，考]查利用正弦定理表示三角形的面积，考查不等式的变化，是一个比较简 故答案为：4．
单的综合题目． 【点评】本题考查数列的最值问题，利用做差或做商比较法判断数列的单调性是求数列最值的常用方式．
三、解答题（共5小题，满分72分）
16．（4分）（2011•浙江）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是 ．
18．（14分）（2011•浙江）已知函数 ，x R，A＞0， ．y=f（x）的
【考点】基本不等式．
菁优网版权所有
【专题】不等式的解法及应用． 部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐∈标为（1，A）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；
【分析】利用基本不等式，根据xy≤ 把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最
（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0）， ，求A的值．
大值可得．
【解答】解：∵x2+y2+xy=1
∴（x+y）2=1+xy
∵xy≤
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
∴（x+y）2﹣1≤ ，整理求得﹣ ≤x+y≤
【分析】（I）由已知函数 ，我们易求出函数的最小正周期，又由P的坐标为
∴x+y的最大值是 （1，A），我们易构造出一个关于φ的三角方程，结合 解三角方程即可求出φ值．
故答案为： （II）根据（I）的结论及R的坐标，和 ，利用余弦定理我们易构造出一个关于A的方程，解方程即
【点评】本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质． 可得到A的值．
【解答】解：（I）由题意得，T= =6
17．（4分）（2011•浙江）若数列 中的最大项是第k项，则k= 4 ．
【考点】数列的函数特性．
菁优网版权所有
∵P（1，A）在函数 的图象上
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．
∴ =1
【解答】解：令 ，
又∵∴φ= = （1﹣ ），
（II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q的坐标为（4，﹣
∴T ﹣ = （1﹣ ）﹣ = （﹣ ），
n
A）
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ= 从而，当a ＞0时，T ＜ ；当a ＜0时，T ＞ ．
1 n 1 n
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，利用运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一
可得，∠QRX= ，作QM⊥X轴于M，则QM=A，RM=3，
道中档题．
所以有tan = = =
20．（14分）（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O
∴A= 落在线段AD上．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知中 （Ⅰ）证明：AP⊥BC；
条件构造关于参数A，φ是解答本题的关键． （Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大小．
19．（14分）（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a }的首项a （a R），且 ， ， 成等比数列．
n 1 1
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式； ∈
n
（Ⅱ）对n N*，试比较 与 的大小．
∈
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质．
菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由 ， ， 成等比数列，利用等比数列的性质及等差数列的通项公式列出关于首项和公差
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．
菁优网版权所有
的方程，根据公差d不为0，解得公差d与首项相等，然后根据首项和公差写出数列的通项公式即可； 【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
【分析】（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D为BC的中点，
（Ⅱ）设T = 与根据（Ⅰ）中求得的通项公式表示出 ，然后利用等比数列的前n
n 得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即
项和的公式求出T ，即可比较出两者的大小关系． 可．
n
【解答】解：（I）由题意画出图如下：
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，由题意可知 = × ，
n 由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
即（a +d）2=a （a +3d），从而a d=d2， ∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
1 1 1 1
因为d≠0，所以d=a ， （II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
1
故a =nd=na ； ∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B﹣AP﹣C的平面角，
n 1
在直角三角形ADB中， ；
（Ⅱ）记T = + +…+ ，由a =na ，得 =2na ，
n n 1 1
在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得
PB=6，
则T = + +…+ = （ ）
n 在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，22．（15分）（2011•浙江）如图，设P是抛物线C ：x2=y上的动点．过点P做圆C ：x2+（y+3）2=1的两条切
1 2
又cos∠BPA= ，从而 ．
线，交直线l：y=﹣3于A，B两点．
（Ⅰ）求C 的圆心M到抛物线 C 准线的距离．
2 1
故BM= ， （Ⅱ）是否存在点P，使线段AB被抛物线C 在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
1
∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B﹣AP﹣C的大小为90°． 明理由．
【考点】圆锥曲线的综合；抽象函数及其应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【点评】（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理； 【分析】（Ⅰ）先求出抛物线 C 准线的方程，再利用点到直线距离的求法求出C 的圆心M到抛物线 C 准线
1 2 1
（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解． 的距离即可．
（Ⅱ）先设抛物线 C 在点P处的切线交直线l于点D，线段AB被抛物线C 在点P处的切线平分即为
1 1
21．（15分）（2011•浙江）设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1． x +x =2X ．设出过点P做圆C x2+（y+3）2=1的两条切线PA，PB，与直线y=﹣3联立，分别求出A，B，D三
A B D 2
（Ⅰ）求f（x）的单调区间 点的横坐标，代入x +x =2X ．看是否能解出点P，即可判断出是否存在点P，使线段AB被抛物线C 在点P处
A B D 1
（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x [1，e 恒成立．注：e为自然对数的底数． 的切线平分．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
∈ ] 菁优网版权所有 【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线 C 1 准线的方程为：y=﹣ ，
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）直接利用导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，
所以圆心M到抛物线 C 准线的距离为：|﹣ ﹣（﹣3）|= ．
1
当导函数小于0时原函数单调递减来求f（x）的单调区间即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论求出f（x）在[1，e 上的最值，把原不等式转化为比较f（x）在[1，e 上的最值与两 （Ⅱ）设点P的坐标为（x ，x 2），抛物线 C 在点P处的切线交直线l与点D，
0 0 1
端点值之间的关系即可求所有的实数a． 因为：y=x2，所以：y′=2x；
] ]
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=a2lnx﹣x2+ax，其中x＞0． 再设A，B，D的横坐标分别为x ，x ，x ，
A B D
∴过点P（x ，x 2）的抛物线 C 的切线的斜率k=2x ．
所以f'（x）= ﹣2x+a=﹣ ． 0 0 1 0
过点P（x ，x 2）的抛物线 C 的切线方程为：y﹣x 2=2x （x﹣x ） ①
0 0 1 0 0 0
由于a＞0，所以f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．
当 x =1时，过点P（1，1）且与圆C 相切的切线PA方程为：y﹣1= （x﹣1）．可得x =﹣ ，x =1，x =﹣
0 2 A B D
（Ⅱ）证明：由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e 内单调递增 1，x +x ≠2x ．
A B D
要使e﹣1≤f（x）≤e2对x [1，e 恒成立，
] 当x 0 =﹣1时，过点P（﹣1，1）且与圆C 2 的相切的切线PB的方程为：y﹣1=﹣ （x+1）．可得x A =﹣1，x B =
只要 ∈ ]
，x =1，x +x ≠2x ．
D A B D
解得a=e． 所以x 2﹣1≠0．设切线PA，PB的斜率为k ，k ，
0 1 2
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当 则：PA：y﹣x 2=k （x﹣x ） ②
0 1 0
导函数小于0时原函数单调递减． PB：y﹣x 2=k （x﹣x ）．③
0 2 0将y=﹣3分别代入①，②，③得 （x ≠0）； ； （k ，k ≠0）
0 1 2
从而 ．
又 ，
即（x 2﹣1）k 2﹣2（x 2+3）x k +（x 2+3）2﹣1=0，
0 1 0 0 1 0
同理（x 2﹣1）k 2﹣2（x 2+3）x k +（x 2+3）2﹣1=0，
0 2 0 0 2 0
所以k ，k 是方程（x 2﹣1）k2﹣2（x 2+3）x k+（x 2+3）2﹣1=0的两个不等的根，
1 2 0 0 0 0
从而k +k = ，k •k = ，
1 2 1 2
因为x +x =2X ．．
A B D
所以2x ﹣（3+x 2）（ ）= ，即 = ．
0 0
从而 ，
进而得x 4=8， ．
0
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（ ，2 ）．
【点评】本题是对椭圆与抛物线，以及直线与椭圆和抛物线位置关系的综合考查．在圆锥曲线的三种常见曲线
中，抛物线是最容易的，而双曲线是最复杂的，所以一般出大题时，要么是单独的椭圆与直线，要么是椭圆与
抛物线，直线相结合．这一类型题目，是大题中比较有难度的题．
