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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中
元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）不等式组 的解集为（ ）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）函数y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）
C．y=（1﹣ex）3（x R） D．y=（ex﹣1）3（x R）
6．（5分）已知 ， 为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣ ）• =（ ）
∈ ∈
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成
一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
8．（5分）设等比数列{a }的前n项和为S ．若S =3，S =15，则S =（ ）
n n 2 4 6
A．31 B．32 C．63 D．64
9．（5分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F 、F ，离心率
1 2为 ，过F 的直线l交C于A、B两点，若△AF B的周长为4 ，则C的方
2 1
程为（ ）
A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1
10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为
2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
11．（5分）双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近
线的距离为 ，则C的焦距等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，
则f（8）+f（9）=（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．
15．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=x+4y的最大值为 ．
16．（5分）直线l 和l 是圆x2+y2=2的两条切线，若l 与l 的交点为（1，3），
1 2 1 2
则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
三、解答题
17．（10分）数列{a }满足a =1，a =2，a =2a ﹣a +2．
n 1 2 n+2 n+1 n
（Ⅰ）设b =a ﹣a ，证明{b }是等差数列；
n n+1 n n
（Ⅱ）求{a }的通项公式．
n18．（12 分）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
3acosC=2ccosA，tanA= ，求B．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，点A 在平面ABC内的射影D在AC
1 1 1 1
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2．
1
（Ⅰ）证明：AC ⊥A B；
1 1
（Ⅱ）设直线AA 与平面BCC B 的距离为 ，求二面角A ﹣AB﹣C的大小．
1 1 1 1
20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为
0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日
需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交
点为P，与C的交点为Q，且|QF|= |PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过 F的直线 l与C相交于 A、B两点，若 AB的垂直平分线 l′与C相交于
M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
