文档内容
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的
高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与
底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D.
4.已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为
9，则p=（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20
个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x
的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
6.函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B.
C. D.
8. 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
9.已知 ，且 ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
的
10.已知 为球 球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ，
，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
12.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x，y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为______________.
14.设 为单位向量，且 ，则 ______________.
15.已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且
BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
16.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，
∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ．
是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值．
19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签
决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场
轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，
另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都
为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
20.已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.21.已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则
按所做的第一题计分。
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）当 时， 是什么曲线？
（2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标．[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
