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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在
试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2），则
A.
B.
C.
D.
3．在 的展开式中， 的系数为
A.-5
B.5
C.-10
D.10
4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
A.
B.C.
D.
5．已知半径为1的圆经过点 ，则其
圆心到原点的距离的最小值为
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
6．已知函数 ，则不等式 的解集是
(A)
(B)
(C)
(D)
7．设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上异于 的一点，
过 作 于 ，则线段 的垂直平分线
(A) 经过点
(B) 经过点
(C) 平行于直线
(D) 垂直于直线8．在等差数列 中， =-9， =-1，记 ,则数列
（A）有最大项，有最小项
（B）有最大项，无最小项
（C）无最大项，有最小项
（D）无最大项，无最小项
9．已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π
的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法
是:当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形
（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似
值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数 的定义域是_________.
12．已知双曲线 ，则 的右焦点的坐标为_________: 的焦点到
其渐近线的距离是_________.
13．已知正方形 的边长为2，点 满足 ，则
=_________； =_________.
14．若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为
_________.
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 与时间 的关系为 ，
用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知
整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；② 在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③ 在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④ 甲企业在 , , 这三段时间中，在 的污水治理能力最
强.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．(本小题13分)
如图，在正方体 中， 为 的中点，
(Ⅰ)求证: 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值。
17．(本小题13分)
在 中， , 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知， 求:
(I) a的值；
(II) 和 的面积.
条件①: , ;
条件②: ， 。注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题14分）
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、
方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获
得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人
中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 。假设该校一年级有500名
男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，
试比较 与 的大小。（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知函数 。
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于-2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求 的最小值.20．（本小题15分）
已知椭圆 过点 ，且 。
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于点 ， ，直线 ， 分别交直线
于点 ， .求 的值.
21.（本小题15分）
已知 是无穷数列，给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ；
②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项 ，使得
.
（Ⅰ）若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说
明理由；
（Ⅲ）若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数
列.
