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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由 ，而 ，
所以 .
故选：A
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
3. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
4. 函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
5. 已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.6. 已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
【答案】C
【解析】
【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公
比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得 的值.
【详解】由题意可得：当 时， ，即 ， ①
当 时， ，即 ， ②
联立①②可得 ，则 .
故选：C.
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法正确的是（
）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D
选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据
的相关系数不一定是 ，D选项错误
故选：C
8. 在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则
三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂足为 ，
连接 ,过 作 ,垂足为 .先证 平面 ，则可得到 ，再证 .
由三角形相似得到 ， ，再由 即可求出体积比.
【详解】如图，分别过 作 ,垂足分别为 .过 作 平面 ，垂
足为 ，连接 ,过 作 ,垂足为 .因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ，且
.
在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为
．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ，.再由三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的
方程即可得到答案.
【详解】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线的方程为
故选：D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以 ，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得 .
故答案为： .
11. 在 的展开式中， 项的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定
的值，然后计算 项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.12. 过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若 ，则
的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即
可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑球占总数的比
例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将
三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
乙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
丙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以， ．
故答案为： ； ．
14. 在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 ，
则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上
一空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案 ：为； .
15. 若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为_________．【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 的取值范围．
【详解】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 ．
【答案】（1）
（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出 ，再由平方关系求出 ，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问1详解】
由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
【小问2详解】
由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
【小问3详解】
由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．
17. 三棱台 中，若 面 ， 分别是
中点.（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问1详解】
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，
则 // ，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
【小问2详解】
过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 .由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面
，则 平面 .
由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是
平面 ，
由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 .
又 ， ，则 ，故 ，在
中， ，则 ，
于 是
【小问3详解】
[方法一：几何法]
过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为.
由题干数据可得， ， ，根据勾股定理，
，
由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ，
平面 ，于是 平面 .
又 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故
平面 .
在 中， ，
又 ，故点 到平面 的距离是 到平面 的距离的两倍，
即点 到平面 的距离是 .
[方法二：等体积法]
辅助线同方法一.
设点 到平面 的距离为 .，
.
由 ，即 .
18. 设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三
角形 面积的二倍，求直线 的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2） .
【解析】
【分析】（1）由 解得 ，从而求出 ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心
率公式即求离心率.
（2）先设直线 的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得 ，从而得到 点和 点
坐标.由 得 ，即可得到关于 的方程，解出 ，代
入直线 的方程即可得到答案.
【小问1详解】
如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
【小问2详解】
由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 .
19. 已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
（2）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及其前 项和．
【答案】（1） ， ；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【解析】
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 ，据此可求得数列的通项公式，
然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 项和公式计算可得 .
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当 时， ，
取 ，当 时， ，取 ，即可证得题中 不的等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 项
和公式即可计算其前 项和.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，求和得
.
【小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，
其前 项和为： .【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前 项和的
核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它
对学生探索新知识很有裨益.
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处切线的斜率；
（2）当 时，证明： ；
（3）证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为 时 ，构造 ，利用导数研究单调性，即可证
结论；
（3）构造 ， ，作差法研究函数单调性可得 ，再
构造 且 ，应用导数研究其单调性得到 恒成立，对
作放缩处理，结合累加得到 ，即可证结论.
【小问1详解】，则 ，
所以 ，故 处的切线斜率为 ；
【小问2详解】
要证 时 ，即证 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，即 .
所以 时 .
【
小问3详解】
设 ， ，
则 ，
由（2）知： ，则 ，
所以 ，故 在 上递减，故 ；
下证 ，
令 且 ，则 ，
当 时 ， 递增，当 时 ， 递减，所以 ，故在 上 恒成立，
则 ，
所以 ， ，…， ，
累加得： ，而 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，故 ；
综上， ，即 .
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 单调性证右侧不等关系，再
构造 且 ，导数研究其函数符号得 恒成立，结合放缩、
累加得到 为关键.
