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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
.
C D.
5. 已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为（ ）A. B.
C. D.
6. 已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法正确的是（
）
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
8. 在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则
三棱锥 和三棱锥 的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为_________．
11. 在 展开式中， 项的系数为_________．
的
12. 过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若 ，则
的值为_________．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑球占总数的比
例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将
三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
的
14. 在 中， ， ，点 为 中点，点 为 的中点，若设 ，
则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．
15. 若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 的值；（2）求 的值；
（3）求 ．
17. 三棱台 中，若 面 ， 分别是
中点.
（1）求证： //平面 ；
（2）求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
18. 设椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知 ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三
角形 面积的二倍，求直线 的方程．
19. 已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
（2）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；（Ⅱ）求 的通项公式及其前 项和．
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处切线的斜率；
（2）当 时，证明： ；
（3）证明： ．
