文档内容
北京市平谷区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
阅卷人
一、单选题
得分
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，
让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是
中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四边相等
4．用配方法解一元二次方程x2+4x−1=0，配方后得到的方程是（ ）
A．(x−1) 2=5 B．(x+2) 2=5 C．(x+1) 2=5 D．(x−1) 2=5
5．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．足球的照片（如图），则照片中心的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
7．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果
要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
1 / 22A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
8．如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 A，B 两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点 D 的坐标
为（ ）
A．（0，1） B．（0，-1） C．（0，2） D．（0，－2）
阅卷人
二、填空题
得分
9．反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为 ．
10．已知点 A（x，-2）与 B（6，y）关于原点对称，则 x+y＝ ．
11．如图，▱ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为 ．
12．函数y=ax和y=kx+b的图象交于点 P (3，-2 )，则根据图象可得，关于 k，b的二元一次方程组的
解是 ．
13．如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB， AD的中点，若EF=3，则AC的长是 ．
2 / 2214．要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，
下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择
（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是 ．
15．若一元二次方程 (k−1)x2+3x+k2−1=0 有一个根为 x=0 ，则k= ．
16．图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠
地拼成如图2所示的图形，则图1中菱形的面积等于 ；图2中间的小四边形的面积等于
．
阅卷人 三、解答题
3 / 22得分
17．解方程：
（1）x2−2x−3=0；
（2）3x2+5x−2=0．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于A点 （2，0）与y轴交于点B（0，1）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M（-1，y），N（3，y）在直线AB上，比较y 与y 的大小.
1 2 1 2
（3）若x轴上有一点C，且S =2，求点C的坐标
△ABC
19．如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC， BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C=30°，AF=2，求出矩形ADFE的周长．
20．关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．
21．“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为 x 小时，租用甲公司的车所需费用为 y 元，租用乙公司的车所需费用为 y 元，
1 2
分别求出 y ， y 关于 x 的函数表达式；
1 2
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
22．下面是小红设计的“在矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD为矩形．
4 / 22求作：正方形ABEF（E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB为半径作弧， 交 AD于点F；
②以B为圆心，AB为半径作弧， 交 BC于点E；
③连接EF．
所以四边形ABEF为所求的正方形．
（1）根据小红设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB
∴ ▲ = ▲
在矩形ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE
∴四边形ABEF为平行四边形
∵∠A=90°
∴▱ABEF为矩形（ ）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形 （ ）
23．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动
的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守
活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对
桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．桶前职守时长的频数分布表
时长x/小时 频数 频率
0 ≤ x < 10 8 0.16
10 ≤ x < 20 10 0.20
20 ≤ x < 30 16 b
30 ≤ x <40 12 0.24
40 ≤ x <50 a 0.08
b．桶前职守时长的频数分布直方图
5 / 22c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据
所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有 人．
24．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到
射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
25．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到
图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图
形”．
6 / 22（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为 ；
②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为 ．
（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F的“垂直图形”记为E′，求点E′的坐标（用含a的式子
表示）．
7 / 22答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵2＞0，3＞0，
∴（2，3）在第一象限，
故答案为：A．
【分析】在平面直角坐标系中，第一象限坐标符号为正正，第二象限坐标符号为负正，第三象限坐标符
号为负负，第四象限坐标符号为正负；据此判断即得.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：B．
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+4x−1=0
x2+4x=1
x2+4x+4=5
(x+2) 2=5．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
8 / 225．【答案】C
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，
∴必过第二、四象限，
∵b=3，
∴交y轴于正半轴．
∴过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．此题主要考
查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：照片中黑色皮块为五边形，即n=5，将其代入内角和公式为：
(5−2)×180°=540°，
故答案为：C．
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可知：挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，
∴(80+2x)(50+2x)=5400，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故答案为：B．
【分析】易得出挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，列出方程，化简即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（4，0），
∴在Rt△AOB中，AO=3，BO=4，
∴AB=√AO2+BO2=5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=5，
9 / 22∴OD=2，
又∵点D位于y轴的负半轴，
∴点D的坐标为：（0，-2），
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理得出AB的长，再根据菱形的性质得出AD=AB=5，推出OD=2，由点D位于y
轴的负半轴，即可得出答案。
2
9．【答案】y=﹣
x
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
k
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为 y= (k≠0) ，
x
k
把（-1，2）代入则有 2= ，
−1
解得：k=-2，
2
所以反比例函数的解析式为：y=﹣ ，
x
2
故答案为y=﹣ .
x
k
【分析】根据题意求出2= ，再求出k=-2，最后求函数解析式即可。
−1
10．【答案】-4
【知识点】关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A(x，−2)与B(6，y)，关于原点对称，
∴x=−6，y=2，
∴x+ y=−6+2=−4，
故答案是：−4．
【分析】根据A(x，−2)与B(6，y)，关于原点对称，得出x、y的值，再代入求解即可。
11．【答案】45°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形中两个内角的度数之比为1：3，
∴设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，
∴x+3x=180，
解得：x=45，
10 / 22∴其中较小的内角是45°．
故答案为：45°．
【分析】根据平行四边形中两个内角的度数之比为1：3，设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，列出
方程求解得出x的值即可。
{ x=3
12．【答案】
y=−2
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数y=ax和y=kx+b的图象交于点 P (3，-2 )，
{ y=ax { x=3
∴方程组 的解是 ，
y=kx+b y=−2
{ x=3
故答案为：
y=−2
{ y=ax
【分析】根据函数y=ax和y=kx+b的图象交于点 P (3，-2 )，列出方程组 ，即可得出x、y的
y=kx+b
值。
13．【答案】6
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，AD的中点，EF=3，
∴BD=2EF=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6，
故答案为6．
【分析】由三角形中位线定理可求BD=2EF=6，由矩形的对角线相等即可求解。
14．【答案】小明；小明的成绩更稳定
【知识点】折线统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比
11 / 22较稳定．
故答案为：小明；小明的成绩更稳定．
【分析】根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择．
15．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，
得k2-1=0，
解得k=-1或1；
又k-1≠0，
即k≠1；
所以k=-1．
故答案为：-1．
【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，解得k的值．
16．【答案】24；1
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，
1
∴菱形的面积等于 ×6×8＝24，
2
菱形的边长等于√32+42＝5，
∴图2中间的小四边形的面积等于25−24＝1．
故答案为：24，1．
【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，得出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得
菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积。
17．【答案】（1）解：x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x =3，x❑=−1，
1 2
（2）解：3x2+5x−2=0，
由于a=3，b=5，c=-2，
b2−4ac=52−4×3×(−2)=49，
12 / 22−b±√b2−4ac −5±7
x= = ，
2a 6
1
x =−2，x = ．
1 2 3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可。
18．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b
∵A（2，0）B（0，1）
{2k+b=0
∴
b=1
1
解得：k=− ，b=12
2
1
∴直线AB的解析式为y=− x+1
2
1 1
（2）解：∵y＝﹣ x+1中k＝﹣ ＜0，
2 2
∴y值随x值的增大而减小，
∵﹣1＜3，
∴y＞y；
1 2
（3）解：∵x轴上有一点C，
设点C（x，0），
∴AC＝|2﹣x|，
∵S△ABC＝2，
1
∴ ×|2﹣x|×1＝2，
2
∴x＝﹣2或x＝6，
∴C（﹣2，0）或C（6，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
1
（2）由k＝﹣ ＜0，可知y值随x值的增大而减小，比较﹣1与3的大小即可；
2
（3）设点C（x，0），则AC＝|2﹣x|，由面积得出x的值，从而得出点C的坐标。
19．【答案】（1）证明：连接DE．
13 / 22∵E，F分别是边AC，BC的中点，
1
∴EF∥AB，EF＝ AB，
2
∵点D是边AB的中点，
1
∴AD＝ AB．
2
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
1
∴DE＝ BC．
2
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2√3，CE＝√3，EF＝1，
∴AE＝√3，
∴矩形ADFE的周长＝2√3+2．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接DE，根据三角形的中位线的性质即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得出∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得出结论。
20．【答案】（1）解：Δ=22−4×1×k=4−4k，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴4−4k＞0
14 / 22解得：k＜1．
（2）解：当k=0时，原方程为x2+2x=0，
x(x+2)=0，
x=0或x+2=0，
解得：x =0，x =−2．
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）将ｋ＝0代入方程x2+2x+k=0，再利用因式分解法求解一元二次方程即可。
21．【答案】（1）解：由题可知：y=k x+80,
1 1
∵图像过点（1，95），
∴95=k +80，
1
∴k=15,
1
∴y=15x+80（x≥0）
1
由题可知：y=30x（x≥0）.
2
16
（2）解：当y=y 时，解得x= ,
1 2 3
16
当y＞y 时，解得x＞ ,
1 2 3
16
当y＜y 时，解得x＜ ,
1 2 3
16 16
∴当租车时间为 小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于 小时，选择乙公司合算；当租车时
3 3
16
间大于 小时，选择甲公司合算。
3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意与图像，列出y 与y 关于x的函数表达式。
1 2
（2）比较y 与y 大小即可知道哪种方案合算。
1 2
22．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AF=AB，BE=AB
∴AF=BE
15 / 22在矩形ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE
∴四边形ABEF为平行四边形
∵∠A=90°
∴▱ABEF为矩形（有一个角为90°的平行四边形为矩形）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形（有一组邻边相等的矩形为正方形）
【知识点】正方形的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用正方形的判定方法求解即可。
23．【答案】（1）4；0.32
（2）解：补全直方图如下：
（3）25
（4）160
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝16÷50＝0.32，
故答案为：4，0.32；
（3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分
别为24、26，
24+26
所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是 ＝25；
2
故答案为：25；
12+4
（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500× ＝160（人），
50
故答案为：160．
16 / 22【分析】（1）利用“ 40 ≤ x <50 ”的频率乘以总人数可得ａ的值，再利用“ 20 ≤ x < 30 ”的频数除以总
人数可得ｂ的值；
（2）根据ａ的值，作出条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义及计算方法求解即可；
（4）先求出“时长不低于30小时”的百分比，再乘以500即可得到答案。
24．【答案】（1）解：补全图形
（2）解：BE+DF=EF．
证明：延长FE到H，使EH=EF
∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
17 / 22【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）延长FE到H，使EH=EF，先证明△ABH≌△ADF，可得DF=BH，再利用BE+BH=EH=EF，可得
BE+DF=EF。
25．【答案】（1）（2，0）；（-1，2）
（2）解：如图3，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．
∵∠EHF=∠EFE′=∠E′KF=90°，
∴∠EFH+∠E=90°，∠EFH+∠E′FK=90°，
∴∠E=∠E′FK，
在△EHF和△FKE′中，
{∠EHF=∠E′FK
∠E=∠E′FK
EF=FE′
∴△EHF≌△FKE′（AAS） ，
∴EH=FK=3，FH=KE' ，
∵E（-3，3），G（a，0），
∴H（-3，0）．
∴HF=∣a+3∣，EH=FK=3．
∴E′K=∣a+3∣，OK=|a+3|
故答案为：E′(a+3，a+3)．
【知识点】关于原点对称的坐标特征；定义新运算；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）①如图1，
18 / 22故答案为：（2，0）；
②如图2，
故答案为：（-1，2）．
【分析】（1）①根据“垂直图形”的定义求出点Ａ的坐标即可；②根据“垂直图形”的定义求出点Ｂ
的坐标即可；
（2）过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K，先利用“ＡＡＳ”证明△EHF≌△FKE'，可得
EH=FK=3，FH=KE'，再结合点Ｅ、Ｇ的坐标求出点H的坐标，再求出E′K=∣a+3∣，OK=|a+3| ，即
可得到E′(a+3，a+3)．
19 / 22试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：117分
客观题（占比） 17.0(14.5%)
分值分布
主观题（占比） 100.0(85.5%)
客观题（占比） 9(36.0%)
题量分布
主观题（占比） 16(64.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(32.0%) 10.0(8.5%)
解答题 9(36.0%) 91.0(77.8%)
单选题 8(32.0%) 16.0(13.7%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (64.0%)
2 容易 (36.0%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 频数（率）分布表 9.0(7.7%) 23
2 三角形全等的判定 10.0(8.5%) 24
3 含30°角的直角三角形 10.0(8.5%) 19
4 菱形的性质 4.0(3.4%) 8,16
20 / 225 三角形的中位线定理 1.0(0.9%) 13
6 配方法解一元二次方程 2.0(1.7%) 4
7 用样本估计总体 9.0(7.7%) 23
8 公式法解一元二次方程 10.0(8.5%) 17
9 矩形的性质 3.0(2.6%) 3,13
10 一元二次方程根的判别式及应用 10.0(8.5%) 20
一次函数与二元一次方程（组）的
11 1.0(0.9%) 12
综合应用
12 多边形内角与外角 2.0(1.7%) 6
13 定义新运算 7.0(6.0%) 25
14 矩形的判定与性质 10.0(8.5%) 19
15 频数（率）分布直方图 9.0(7.7%) 23
16 因式分解法解一元二次方程 20.0(17.1%) 17,20
17 一次函数的性质 17.0(14.5%) 5,18
18 一元二次方程的应用-几何问题 2.0(1.7%) 7
19 正方形的判定 10.0(8.5%) 22
20 待定系数法求一次函数解析式 25.0(21.4%) 18,21
21 平行四边形的性质 1.0(0.9%) 11
22 中位数 9.0(7.7%) 23
23 中心对称及中心对称图形 2.0(1.7%) 1
24 点的坐标与象限的关系 2.0(1.7%) 2
25 勾股定理 4.0(3.4%) 8,16
21 / 2226 旋转的性质 10.0(8.5%) 24
27 三角形全等的判定（AAS） 7.0(6.0%) 25
28 正方形的性质 10.0(8.5%) 24
29 一元二次方程的根 1.0(0.9%) 15
30 关于原点对称的坐标特征 8.0(6.8%) 10,25
31 待定系数法求反比例函数解析式 1.0(0.9%) 9
32 利用统计图表分析实际问题 2.0(1.7%) 14
33 尺规作图的定义 10.0(8.5%) 22
34 一次函数的实际应用 10.0(8.5%) 21
35 折线统计图 2.0(1.7%) 14
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