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2020-2021 学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，
∴点P(1,-2)在第三象限．
故选D
【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．
2. 在实数 ， ，3.1415， 中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.1415 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义：限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案．
【详解】 是无理数，故选项A符合题意；
，是整数，属于有理数，故选项B不合题意；
是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数、算数平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算数平方根的性质，
从而完成求解．
3. 若 ，则下列各式中正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】依题意，根据不等式的性质，不等式两边同时加减相同数字，不等号不改变方向；不等式两边同
时乘除大于零的数，不等号不改变方向；反之则改变，即可；
【详解】对于选项A． ，依据不等式性质： ， 选项A不符合题意；
对于选项B． ，依据不等式性质： ， 选项B不符合题意；
对于选项C． ，依据不等式性质： ， 选项C符合题意；
对于选项D． ，依据不等式性质： ，选项D不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式性质，难点在熟练应用不等式两边的同时乘小于零的数，不等号方向发生改
变；
4. 下列事件中，调查方式选择合理的是（ ）
A. 为了解某批次汽车的抗撞击能力，选择全面调查
B. 为了解某市中学生每天阅读时间的情况，选择全面调查
C. 为了解某班学生的视力情况，选择全面调查
D. 为选出某校短跑最快的学生参加全市比赛，选择抽样调查
【答案】C
【解析】
【分析】全面调查是指对总体中每个个体都进行的调查，一般适用于总体中个体数量不太多的情况；抽样
调查是指不必要或不可能对总体进行全面调查时，就从总体中抽取一部分个体进行调查，然后根据调查数
据来推断总体的情况；根据全面调查与抽样调查的含义即可确定正确答案．
【详解】 了解汽车的抗撞击能力具有破坏性，用抽样调查，
∴A选项不合题意，
某市中学生人数较多，适合抽样调查，
∴B选项不合题意，
一个班的学生人数较少，适合选择全面调查，
∴C选项符合题意，
选出短跑最快的学生，每个学生都有可能，应选择全面调查，
∴D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，掌握两者的含义是本题的关键．5. 下列式子正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根定义、立方根定义化简后判断即可．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，正确，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了算术平方根定义、立方根定义，熟记定义并进行计算是解题的关键．
6. 如图，点E、B、C、D在同一条直线上，∠A=∠ACF，∠DCF=50°，则∠ABE的度数是（ ）
A. 50° B. 130° C. 135° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据∠A=∠ACF证得 ，求出∠ABC，利用邻补角定义求出∠ABE．
【详解】解：∵∠A=∠ACF，
∴ ，
∴∠ABC=∠DCF=50°，
∴∠ABE= ，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键．
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 如果 ， ，那么
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行
线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【详解】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是
假命题，符合题意；
D、如果 ， ，那么 ，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
8. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为 ，北海北站的坐标为 ，则复兴门站的
坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案．
【详解】由题意可建立如图所示平面直角坐标系，则复兴门站的坐标为 ．
故选： ．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属
于基础题型．
9. 2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了
2020年北京市居民人均可支配收入．如图是小明同学根据 年北京市居民人均可支配收入绘制
的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中不合理的是（ ）
A. 2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16904元
B. 年北京市居民人均可支配收入逐年增长C. 2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为
D. 年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2018年【答案】D
【解析】
【分析】根据表格数据分别求得2020年比2016年的增长量，即可判断A，根据条形统计图直接可判断B
选项，根据2016,2017年的人均可支配收入即可求得2017年北京市居民人均可支配收入的增长率，从而判
断C，根据每年的增长量即可判断D选项．
【详解】A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了 元，正确，故本
选项不合题意；
B、 年北京市居民人均可支配收入逐年增长，正确，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率 ，正确，故本选项不合题
意；
D、69434-67756=1678，67756-62361=5395,62361-57230=5131，57230-52530=4700，则 年北
的
京市居民人均可支配收入增长幅度最大 年份是2019年，故本选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，从条形统计图获取信息是解题的关键．
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使
图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）
A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向
上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步．
∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步．故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连
线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
12. 已知 是方程y=kx＋4的解，则k的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值．
【详解】解：把 代入方程得：-2=4k+4，
解得：k= ，
故答案为： .
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
13. 在平面直角坐标系中，若点 到 轴的距离是3，则 的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得 的值．【详解】因为点 到 轴的距离是3，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到
x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
14. 把命题“同角的余角相等”写成“如果……，那么……”的形式为______．
【答案】如果两个角是同角 的余角，那么这两个角相等．
【解析】
【分析】根据命题的概念把原命题改写成“如果…，那么…”的形式即可．
【详解】解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同角的余角，
那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题
设，“那么”后面接的部分是结论．
15. 如图，数轴上点 ， 对应的数分别为 ，1，点 在线段 上运动．请你写出点 可能对应的一
个无理数是 __．
【答案】答案不唯一，如
【解析】
【分析】由点 对应的无理数在 之间，从而可得答案.
【详解】解： 点 在 上，
点 对应的无理数在 之间，
可以是 ，
故答案为：如 ， 等．答案不唯一，
【点睛】本题考查的是实数与数轴，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.
16. 已知 ，则 的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到x和y的值，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】 ，， ，即 ，
将 代入到 ，得：
去括号，得：
移项并合并同类项，得：
将 代入到 ，得
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了乘方、绝对值、二元一次方程组、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方
程组的性质，从而完成求解．
17. 如图，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中，
能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符合条件的序号）
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】利用平行线的判定定理依次判断．
【详解】① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
为
故答案 ：②④．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．18. 在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(1，2)，点P在
y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积分别为S 和S，如果S S，那么点P的纵坐标y 的取值范
1 2 1 2 p
⩾
围是 ________．【答案】 或
【解析】
【分析】借助坐标系内三角形底和高的确定，利用三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，
S＝ ×|y −y |×1，
1 P A
S＝ ×2×1＝1，
2
∵S≥ S，
1 2
∴|y -1|≥3，
P
解得：y ≤-2或y ≥4．
P P
【点睛】本题主要考查坐标系内三角形面积的计算，关系是确定三角形的底和高．
三、解答题（本题共32分，第19题8分；其余各题，每小题8分）
19. （1）计算： ；
（2）求等式中 的值： ．
【答案】（1） ；（2） ， ．【解析】
【分析】（1）先去括号及化简绝对值，在合并同类二次根式即可；
（2）利用直接开平方法求解．
【详解】（1）原式；
（2） ，
，
，
即 ， ．
【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握二次根式的加减混合运算法则及运算顺序、平方根的运用是解题
关键．
20. 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为： ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】首先分别求解不等式，再根据不等式组的性质得到解集，结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】∵ ，
移项并合并同类项，得： ，
∵
去分母，得：
移项并合并同类项，得： ，
∴不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，
从而完成求解．
21. 如图，AD//BC， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， ．求证： ．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
（理由： ）．
平分 ，
．
．
，
，
（理由： ）．
（理由： ）．
【答案】 ；两直线平行，内错角相等； ； ； ； ；同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可．
【详解】
（理由：两直线平行，内错角相等），
平分 ，
，
．
，
，（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．22. 2021年3月教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确初中生每天睡眠时
间要达到9小时．为了解某校七年级学生的睡眠情况，小明等5名同学组成学习小组随机抽查了该校七年
级40名学生一周（7天）平均每天的睡眠时间（单位：小时）如下：
8；6.8；6.5；7.2；7.1；7.5；7.7；9 ；8.3；8
8.3；9 ；8.5； 8； 8.4 ；8 ；7.3 ；7.5； 7.3 ；9
8.3 ；6 ；7.5； 7.5 ；9 ；6.5； 6.6； 8.4 ；8.2 ；8.1
7 ；7.8； 8 ；9 ；7 ；9； 8 ；6.6； 7； 8.5
该小组将上面收集到的数据进行了整理，绘制成频数分布表和频数分布直方图．
平均每天睡眠时间频数分布表
分组 频数
1
7
6
13
2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中 ， ；（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校七年级共有360名学生，请你估算其中睡眠时间不少于9小时的学生约有多少人．
【答案】（1）5，6 （2）补全频数分布直方图见解析
（3）估计睡眠时间不少于9小时的学生约有54人
【解析】
【分析】（1）统计出平均每天睡眠时间在 间的人数即可求得m的值；同理统计出平均每天睡
眠时间在 间的人数即可求得n的值；
（2）根据（1）中求得的m与n的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用七年级的全部学生数乘所抽取的学生睡眠时间不少于9小时所占的百分比，即得七年级学生睡眠时
间不少于9小时的学生．
【小问1详解】
由题意知 的频数 ， 的频数 ，
故答案为：5、6；
【
小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
估计睡眠时间不少于9小时的学生约有 （人 ．
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，样本的率估计总体的率，用样本估计总体是本题的难点．
23. 如图，在平面直角坐标系 中， ， ，将线段 先向左平移5个单位长度，再向下平
移4个单位长度得到线段 （其中点 与点 ，点 与点 是对应点），连接 ， ．（1）补全图形，直接写出点 和点 的坐标；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1）补全图形见解析，点 坐标为 ，点 坐标
（2）四边形 的面积为32
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得到点C、D，连线即可得到图形，根据点位置得到坐标；
（2）根据面积公式直接计算可得．
【小问1详解】
解：如图所示，点 坐标为 ，点 坐标 ，
【小问2详解】
解：四边形 的面积 ．【点睛】此题考查了平移的规律，利用平移作图，计算网格中图形的面积，正确掌握平移的性质是解题的
关键．
四、解答题（本题共22分，第24题7分，第25题7分，第26题8分）24. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件
数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是
160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元
（1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
（2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的 ．如果
他平均每天的提成不低于318，求他平均每天的送件数．
【答案】（1）快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元
（2）他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件
【解析】
【分析】（1）设快递员小李平均每送一件的提成是 元，平均每揽一件的提成是 元，列二元一次方程求
解；
（2）设他平均每天的送件数是 件，则他平均每天的揽件数是 件，列不等式组求解．
【小问1详解】
解：设快递员小李平均每送一件的提成是 元，平均每揽一件的提成是 元，根据题意得：
，
解得 ，
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；
【小问2详解】
解：设他平均每天的送件数是 件，则他平均每天的揽件数是 件，根据题意得：
，
解得 ，
是正整数，
的值为160，161，162，163，164，
答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件．【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的
关键．25. 如图，点 ， 在直线 上， ，EF//AB．
（1）求证：CE//DF；
（2） 的角平分线 交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若
，先补全图形，再求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据同位角相等，两直线平行的性质分析，即可完成证明；
（2）根据平行线的性质，得 ，从而得 ，根据角平分线的性质，
计算得 ，再结合平行线的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1） ， ，
，
；
（2）补全图形，如图所示，，即 ，
，
，，
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完
成求解．
26. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为 ，将不等式（组 的解集记为 ，给出定义：若
中的数都在 内，则称 被 包含；若 中至少有一个数不在 内，则称 不能被 包含．如，方
程组 的解为 ，记 ， ，方程组 的解为 ，记 ， ，不等
式 的解集为 ，记 ．因为0，2都在 内，所以 被 包含；因为4不在 内，所
以 不能被 包含．
（1）将方程组 的解中的所有数的全体记为 ，将不等式 的解集记为 ，请问 能
否被 包含？说明理由；
（2）将关于 ， 的方程组 的解中的所有数的全体记为 ，将不等式组的解集记为 ，若 不能被 包含，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 能被 包含．理由见解析
（2）实数 的取值范围是 或
【解析】
【分析】（1）解方程组求得方程组的解为 ，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，
即可证得C能被D包含；（2）解关于x，y的方程组 得到它的解为 ，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等
式组 得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3．
【小问1详解】
能被 包含．理由如下：
解方程组 得到它的解为 ，
， ，
不等式 的解集为 ，
，
和 都在 内，
能被 包含；
【小问2详解】
解关于 ， 的方程组 得到它的解为 ，
， ，
解不等式组 得它的解集为 ，
，
不能被 包含，且 ，
或 ，或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，
属于中档题．
五、填空题（本题6分）
27. 对 ， ， 定义一种新运算 ，规定： ， ， ，其中 ， 为非负数．（1）当 时，若 ， ， ， ，1， ，则 的值是 __， 的值是 __；
（2）若 ，2， ， ，2， ，设 ，则 的取值范围是 __．
【答案】 ①. 2 ②. 1 ③.
【解析】
【分析】（1）根据定义列出二元一次方程组，解方程即可求得；
（2）根据定义列出二元一次方程组，用含 的代数式表示 ， ，根据 ， 为非负数，列出一元一次不
等式，解不等式组求得c的取值范围，进而求得H的取值范围．
【详解】（1） ， ， ，
当 时，若 ， ， ， ，1， 可得：
，
解方程组得：
．
故答案为2，1．
（2）当 ，2， ， ，2， 时，
， ， 得：
，
用含 的代数式表示 ， 得：
．
， 为非负数，，
解不等式组得：．
，
随 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ．
．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，根据新定义列出方程组和不等式组是解
题的关键．
六、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28. 如图，点 ， 分别在直线 ， 上， ， ．射线 从 开始，绕点
以每秒3度的速度顺时针旋转至 后立即返回，同时，射线 从 开始，绕点 以每秒2度的速
度顺时针旋转至 停止．射线 停止运动的同时，射线 也停止运动，设旋转时间为t（s）．
（1）当射线 经过点 时，直接写出此时 的值；（2）当 时，射线 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ，求 ；
（用含 的式子表示）
（3）当EM//FN时，求 的值．
【答案】（1） 的值为30
（2）
（3）
【解析】
的
【分析】（1）∠CFE 度数除以射线FN旋转的速度即可求得t的值；（2）过点 作直线 ，则由已知可得 ，由平行线的性质可得∠KPF，再由垂直
关系即可求得∠KPE；
（3）当 时， 与 不平行；当 时， 与 可能平行，当 时，设
与 交于点 ，由平行线的性质建立方程，即可求得t的值．
【小问1详解】
的速度为每秒 ， ，
当射线 经过点 时，所用的时间 为： ；
【小问2详解】
过点 作直线 ，如图所示：
，
，
， ，
，
，
，
；
【小问3详解】与 的速度不相等，
当 时， 与 不平行；
当 时， 与 可能平行，当 时，设 与 交于点 ，如图所示：，
，
由题意可得： ，
，
，
，
，
，
解得： ．
【点睛】本题是与平行线有关的综合问题，它考查了平行线的性质、垂直的性质、角的和差运算，运用了
方程思想．
29. 在平面直角坐标系 中，对于点 ， ， ， ，记 ， ，将
称为点 ， 的横纵偏差，记为 ，即 ．若点 在线段 上，将
的最大值称为线段 关于点 的横纵偏差，记为 ．
（1） ， ，
① 的值是 ；②点 在 轴上，若 ，则点 的坐标是 ．
（2）点 ， 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ．
①当点 的坐标为 时，求 的值；
②当线段 在 轴上运动时，直接写出 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1）①5；② 或 ；（2）①当点 的坐标为 时， 的值为4；② 的最小值是3，此时点 的坐标是
或
【解析】
【分析】（1）①根据 的含义即可求得；
②设 ，则可得 与 ，由 即得关于x的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点P的坐标，设点 为线段 上任意一点，则 ，从而可得 与 ，进而
求得 ，由t的取值范围即可求得 的最大值，最后可求得 的值；
②由已知易得 ， ， 或 ，设点 ，则 ，求出 及
，当 = 时， 有最小值，从而可得关于t的方程，解方程即可求得t
的值，从而可求得此时 的最小值及点P的坐标．
【小问1详解】
① ， ，
， ，
则 ，
故答案是5．
② ，点 在 轴上，设 ，
， ，
，
，或 ，解得， 或 ，
的坐标是 或 ．
故答案是 或 ．
【小问2详解】
① 点 、 在 轴上，点 在点 的上方， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设点 为线段 上任意一点，则 ；
点 的坐标为 ，
， ，
；
由 ，可得 ；
，
的最大值是4，
．
② ， ， 或 ，
设点 ，则 ，
， ，
当 ， ， 时， 有最小值，即 时， 有最小值，
或 ，则 有最小值为3，
点 的坐标为 或 ，的最小值是3，此时点 的坐标是 或 ．
【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难
度，关键是理解题目中 及 的意义．
