文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市人大附中初三 3 月月考数学
（时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（共16分，每小题2分）
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】结合长方体 的三视图特征判断即可．
【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，
∴该几何体符合长方体的三视图特征，
故选A．
【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的
由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常
见几何体的三视图特征是解题的关键．
2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000
亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将39500用科学记数法表示应为 ．
故选：B．
3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为 ；
故选：D．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A） 事件A可能出现的结果数与所有可能出
现的结果数的商是解答此题的关键．
4. 如图，直线 ， 相交于点O，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解： ，
，
，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
5. 正六边形的外角和是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据任何多边形的外角和是 即可求出答案．
【详解】解：正六边形的外角和是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是 ，外角和与多边形的
边数无关．
6. 已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于 0列式求
解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
7. 如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数
关系的图象可能是（ ）
A. B.
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整
体思想解决问题是解题关键．
由图 1 可设 （k，b 为常数，且 ，由图 2 可设 （m 为常数， ），将
代入 得 ，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．
【详解】解：由图1可设 （k，b为常数，且 ，由图2可设 （m为常数，
），
将 代入 得： ，
与 的函数关系为一次函数关系，
， ， ，
， ，
与 的函数图象过一、二、四象限．
故选：D．
8. 如图，正方形边长为a，点E是正方形 内一点，满足 ，连接 ．给出下面四个结
论：① ；② ；③ 的度数最大值为 ；④当 时，
．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，先证明点E在以点O为圆心，
为直径的圆上运动，当 三点共线，即点E运动到点H时 ， 当 三点
共线时， 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当 与 相切时 有最大值，证明
，得到 ， ，则 ，再证明
，得到 ，即可判断③④．
【详解】解：如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∵ ，
∴点H在圆O上，
∵ ，
∴当 三点共线，即点E运动到点H时， ，故①正确；
∵点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∴当 三点共线时， 有最小值，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，故②错误；
如下图所示，当 与 相切时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数最大值不是 ，故③错误；
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹
是解题的关键．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
10. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，
之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
11. 方程 的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是分式方程的解，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则
______．
【答案】0
【解析】
【分析】将 ， 两点代入反比例函数求得 和 的值，再计算求值即可；
【详解】解：∵点 和 在反比例函数图象上，
∴ ， ，
∴ ，
为
故答案 ：0；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．
13. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高 ，树影 ，树AB与路灯
O的水平距离 ，则树的高度AB长是______米．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】2
【解析】
【分析】由题意知 ，得出 ，根据 求出 的值．
【详解】解：由题意知
在 和 中
解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似
比．
14. 如图， 是 的直径， 是 的弦， ，则 ________°．
【答案】50
【解析】
【分析】连接BC，则由圆周角定理可以得到∠ADC=∠ABC，再根据直径所对的圆周角是90度，得到
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∠ACB=90°，再根据∠BAC=40°即可求解.
【详解】解：如图所示，连接BC
∴∠ADC=∠ABC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=40°
∴∠ABC=180°-90°-40°=50°
∴∠ADC=∠ABC=50°
故答案为：50.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能
够熟练掌握相关知识进行求解.
15. 用一组a，b，m的值说明“若 ，则 ”是错误的，这组数可以是 ___________，
___________， ___________．
【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命
题，只需举反例即可．
本题中依据题意选出适当的a、b、c即可，答案不唯一．
【详解】解：当 时，
满足 ，而 ，不满足 ，
∴ 符合题意．
故答案为：1,2,0.
16. 从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙
地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数 合计
线路
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”
的可能性最大．
【答案】C
【解析】
【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，即可得
出结论.
【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率也最小，
∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
故答案为：C.
【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.
三、解答题（共52分）
17. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计
算法则是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算
即可求出值．
【详解】解： ，
，
，
∵ ，
∴ ． 0
∴原式 ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
20. 如图，在 中， ．
（1）使用直尺和圆规，作 交 于点D（保留作图痕迹）；
（2）以D为圆心， 的长为半径作弧，交 于点E，连接 ， ．
① °；
②写出图中一个与 相等的角 ．
【答案】（1）见详解 （2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的
性质和圆周角定理．
（1）利用基本作图，作 的垂直平分线得到 ；
（2）①根据等腰三角形的性质得到 ，则 为 的直径，然后根据圆周角定理得到
；
②先利用 得到 ，再根据圆周角定理得到 ，根据等角的余角相等得
到 ．
【小问1详解】
如图， 即为所作．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
① ， ，
， 平分 ，
为 的直径，
；
②
，
，
为 的直径，
，
，
， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
21. 如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【解析】
【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由 可进行求解问题．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握
平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 ， ，与x轴交于
点A．
（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 （ ）的值，直接
写出m的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问
题的关键．也考查了一次函数的性质．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式为 ，然后计算自变量为0时对应的函数值得到 点坐
标；
（2）当函数 与 轴的交点在点 （含 点）上方时，当 时，对于 的每一个值，函数
的值大于函数 的值．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象经过点 ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
解得 ，
该一次函数的表达式为 ，
令 ，得 ，
，
；
【小问2详解】
解：当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
，
．
23. 列方程解应用题
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配
送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆
无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】 件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．
设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，然后根据等量关系“要
配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解
即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹 ，
依题意可得： ，解得： ．
经检验， 是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹 件．
24. 如图， 是 的直径，点 是 的中点，过点 作弦 ，连接 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若点 是 的中点，过点 作 ，垂足为点 ．若 的半径为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）连接 ，先证明 是 的垂直平分线，从而求得 ，利用特殊三角函数值判
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
断 ，则可推得 ，利用“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得
证；
（2）先根据 中的结论及圆周角定理得到 ，证明 即可得 ，根据
勾股定理即可求出直角 中 的长，即 的长．
【小问1详解】
证：如图，连接 ，
是 的直径，且 ，
， ，
，
是 的垂直平分线，
，
，点 是 的中点，
点 在线段 的垂直平分线上， ，
中, ，
即 ，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
即
是等边三角形．
【小问2详解】
解：由 得， 是等边三角形，
，
是 的中点，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
半径为 ，且点 是 中点，
， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
中， ，
．
【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的
判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角
函数值．
25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．
在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B
中的剩余质量分别为 ， （单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x（分
0 5 10 15 20 …
钟）
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
25 20 15 10 5 …
（克）
（1）在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ， ，并画出函数 ，
的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足二次函数：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足一次函数 （
）．则 ， ， ；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场
景A，B中发挥作用的时间分别为 ， ，则 （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】（1）见详解 （2） ， ，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当 时 的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：（1）由题意，作图如下．
【小问2详解】
解：由题意，场景 的图象是抛物线的一部分， 与 之间近似满足函数关系 ．
又点 ， 在函数图象上，
．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
对于场景 的图象是直线的一部分， 与 之间近似满足函数关系 ．
又 ， 在函数图象上，
．
解得： ．
场景 函数关系式为 ．
∴ ， ， ．
【小问3详解】
解：由题意，当 时，
场景 中， ，
解得： （舍），
即： ，
场景 中， ，
解得： ，
．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点 ， 是抛物线 （ ）上任意两
点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若 ， ，比较 与 的大小，并说明理由；
的
（3）若对于 ， ，总有 ，求m 取值范围．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；
（2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可
得到m的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线 （ ）的对称轴为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ，
∴ ， 都在对称轴右侧，
∵当 时，y随x的增大而增大，且 ，
∴ ；
【小问3详解】
∵ ， ，
∵ ，
∴ 距离对称轴更近， ，则 的中点在对称轴的右侧，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
解得： ．
27. 如图，在 中， ， ， 是 的中点， 是 的中点，
连接 ．将射线 绕点 逆时针旋转 得到射线 ，过点 作 交射线 于点 ．
（1）①依题意补全图形；
②求证： ；
（2）连接 ， ，用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；
②连接 ，则 于点 ， 平分 ，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得
出 ， ，根据 ，得出 ，则 ；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ， ，倍长中线法证明 ，进而
证明 ，即可得证．
【小问1详解】
解：①如图所示，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
②连接 ，
∵ ， 是 的中点，
∴ 于点 ， 平分 ，
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
；证明如下，
延长 至点 ，使得 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰三角形，则 ， ，，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三
角形的性质与判定是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 是 外一点，给出如下的定义：若在 上存在一
点 ，使得点 关于某条过点 的直线对称后的点 在 上，则称 为点 关于 的关联点．
（1）当点 在直线 上时，
①若点 ，在点 ， ， 中，点 关于 的关联点是______；
②若 关于 的关联点 存在，求点 的横坐标 的取值范围；
（2）已知点 ，动点 满足 ，若 关于 的关联点 存在，直接写出 的取值范
围．
【答案】（1）① ， ；②
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；
的
②设 与 交于点 ，过点 分别作 轴 垂线，垂足分别为 ，根据勾股定理得出
，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出 ，同理可得
的最小值为 ，即可求解；
（2）依题意，关于 的关联点在半径为 的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得 的最值，即
可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
连线的中点在 的内部， 的中点的纵坐标为 ，则点 关于 对称
点 关于 的关联点是 ， ，
故答案为： ， ．
②如图所示，设 与 交于点 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵设 上的点的坐标为 ，则 ，
联立
解得： 或
当 点的对称点为 时，点 的横坐标最大，
∵ , ，
∴ ,
∴ ,
同理可得 的最小值为
∴
【小问2详解】
解：依题意，关于 的关联点在半径为 的圆内，如图所示，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，则 在半径为1的 上以及圆内， 关于 的关联点
∴ 的最大值为 ，
如图所示，当 在线段 上时， 取最小值，
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系
求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
