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2021-2022 学年北京理工附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数4的平方根即可．
【详解】解：4的平方根是±2．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数
没有平方根．
2. 在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；
第四象限（+，-）．
【详解】解：由 ， 得点 在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
3. 下列实数中的无理数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A、 是无理数，故选项A符合题意；B、 是无限循环小数，是有理数，故选项B不符合题意；
C、 是分数，属于有理数，故选项C不符合题意；
D、0属于有理数，故选项D不符合题意，
故选：A
【点睛】本题考查了无理数 的定义，熟记无限不循环小数是无理数是解题的关键．
4. 如图所示，直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
【答案】A
【解析】
【详解】根据两直线被第三条直线所截，所出现的同位角，同旁内角，内错角的特点（三线八角）可直接
判断为同位角．
故选A
5. 若点 在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，在y轴上的点的坐标特点即可求解．
【详解】解：∵点 在y轴上，
∴横坐标 ，则 ，
∴点P的坐标是(0，-4)，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标轴上点的坐标特点，熟记在x轴上的点，纵坐标等于0；在y轴上的点，横坐标等于0是解题的关键．
6. 已知直线a b，将一块含 角的直角三角板 按如图所示方式放置 ，并且顶点 ，
分别落在直线 ， 上，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质结合三角板的角的度数即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7. 如图，直线 ， 相交于点 ，在 内部画射线OA，使OC恰为 的平分线，在
内部画射线OB，使 ，将直线 绕点 旋转，下列数据与 大小变化
无关的是（ ）
A. 的度数 B. 的度数 C. 的度数 D. 的度数【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到 与各个选项的角度的关系即可．
【详解】∵ ， 相交于点 ，
∴ = ，A选项不符合题意；
∵OC恰为 的平分线，
∴ = ，D选项不符合题意；
∵ =180°-
∴ =180°- ，C选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到 与各个选项的角度的关系最后利
用排除法得到正确答案是解题的关键．
8. 如图，初一年级学生统计了平均每周阅读时间和体育锻炼时间（单位：小时），并绘制成下图．其中，
甲乙丙三位学生在第一学期的用时分别表示为点 ， ， ，在第二学期的用时分别表示为点 ， ，
．小明看图时有所发现，写出下列结论，错误的是（ ）A. 在第一学期，乙锻炼身体的时间最少
B. 与第一学期相比，只有甲的阅读时间和锻炼身体时间都有所增加
C. 与第一学期相比，甲乙丙三人的阅读时间都增加了1个小时
D. 两个学期，乙丙的锻炼身体时间的平均数相等
【答案】C
【解析】
【分析】结合图形逐个选项分析即可．
【详解】A. 在第一学期，乙锻炼身体的时间是 ，是三人中最少，结论正确；
B. 与第一学期相比，甲的阅读时间和锻炼身体时间都有所增加，乙的阅读时间减少，丙的锻炼身体时间
减少，结论正确；
C. 与第一学期相比，,甲丙阅读时间增加1小时，乙阅读时间减少1小时，结论错误
D. 两个学期，乙丙的锻炼身体时间的平均数相等，结论正确；
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标，注意坐标系横纵坐标表示的实际意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共18分，16题4分）
9. 如图，运动会上，小明自踏板 处跳到沙坑 处，甲、乙、丙三名同学分别测得 米，
米， 米，则小明的成绩为______米．（填具体数值）这样做蕴含的数学原理是
______ ．【答案】 ①. 3.15 ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】根据跳远的距离应该是起跳板到P点的垂线段的长度进行求解即可
【详解】解：由图形可知，PN⊥MN，
∴小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
这样做蕴含的数学原理是：垂线段最短
故答案为：3.15；垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
10. 如图，三条直线 ， ， 相交于点 ，若 ，则 ______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据对顶角相等求出∠3=∠4，再根据平角求出答案即可．
【详解】如图，
∵∠4=∠3，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4=180°．
∵
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，根据对顶角相等，把三个角转化为一个平角是解题的关键．
11. 如图，下列能判定AB∥CD的条件有____________ 个．
(1) (2) (3) (4) ．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】(1) ，根据同旁内角互补，两直线平行可判定 ，故符合题意；
(2) ，根据内错角相等，两直线平行可判定 ，故不符合题意；
(3) ，根据内错角相等，两直线平行可判定 ，故符合题意；
(4) ，根据同位角相等，两直线平行可判定 ，故符合题意；．
∴能判定 的条件有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，线段AB x轴，且 ，则点 的坐标为______．【答案】(4，4)或(0，4)
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相
当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【详解】解：∵AB∥x轴，A(2，4)，
为
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， 4，
又∵AB＝2，可能右移，横坐标为2＋2＝4；可能左移横坐标为2−2＝0，
∴B点坐标为(4，4)或(0，4)，
故答案为：(4，4)或(0，4)
【点睛】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
13. 要判定命题“同旁内角互补”是假命题，请你画图举出一个反例______ ．
【答案】图形见解析
【解析】
【分析】直接根据题意画出同旁内角不互补的图形即可．
【详解】解：如图所示，∠1与∠2是同旁内角，但是∠1与∠2不互补，
∴命题“同旁内角互补”是假命题．
故答案为：
【点睛】本题考查命题的真假，判断一件事情的句子，叫做命题，正确的命题，叫真命题；错误的命题，
叫假命题．
14. 在用平移作画的活动中，小辰仿照书上的例子（图1）设计了一幅画（图2）．首先他画出很多边长是
5cm的小正方形，然后画出图2中的曲线，并沿着正方形的边向上或者向右平移相应曲线，得到了“飞
马”的样子．请你计算一匹“飞马”部分的面积为______ cm2．【答案】25
【解析】
【分析】观察图形可得一匹飞马的面积正好是边长是5cm的小正方形的面积．
【详解】解：由平移规律可得，一匹“飞马”部分的面积为 (cm2)，
故答案为：25
【点睛】本题考查了图形的平移，认真观察图形的形成过程是解题的关键．
15. 如图，若以 米为单位长度建立数轴，线段AB=17米，点A在原点，点B在数轴的正半轴，估计点B
位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是______．
【答案】9和10
【解析】
【分析】先计算17里面有几个 即可求解．
【详解】 ，
∵ ，
∴
∴这两个相邻整数是9和10．
故答案为：9和10．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确估算出 的大小是解题的关键．16. 对于平面内的 及其内部的一点 ，设点 到直线 ， 的距离分别为 ， ，称
和 这两个数中较大的一个为点 关于 的“偏率” 在平面直角坐标系 中，点 ， 分别
为 轴正半轴， 轴正半轴上的两个点．
（1）若点 的坐标为 ，则点 关于 的“偏率”为______；
（2）若第一象限内点 关于 的“偏率”为1，则 ， 满足的关系为______；
（3）若第一象限内点 关于 的“偏率”为2．在平面直角坐标系上，画出所有点E形成的
图形．
【答案】（1）5 （2）a＝b
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“偏率”的定义，求点P到OM（即x轴）的距离和点P到ON（即y轴）的距离，用
较大的数除以较小的数即为“偏率”；
（2）根据“偏率”定义，可知点Q到OM、ON距离相等，且Q在第一象限，所以其横纵坐标相等；
（3）根据“偏率”定义，可知点E到OM、ON距离之比为2，且E在第一象限，所以其图像如图所示．
【小问1详解】
解：∵点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，
∴点P（1，5）到OM距离d＝5，到ON距离d＝1，
1 2
∴点P关于∠MON的“偏率”为： 5；
故答案为：5；【小问2详解】
∵点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d＝b，到ON距离d＝a，
1 2
∴点Q关于∠MON的“偏率”为： 1或 1，
∴a＝b，
故答案为：a＝b；
【小问3详解】
∵点 在第一象限，
∴点E到OM距离d＝y，到ON距离d＝x，
1 2
又∵点E关于 的“偏率”为2，
∴点E关于∠MON的“偏率”为： 2或 ，
即点E在函数 或 的图象上，
点E形成的图形如图所示：
【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，解题关键是新定义的理解
和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题．
三、解答题（本大题共11小题，共66分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】【分析】首先进行开平方和立方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得．
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了求一个数的平方根及立方根，根据二次根式的性质化简，熟练掌握和运用各运算法则
是解决本题的关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质及二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=
= .
【点睛】本题考查绝对值的性质，二次根式估算及二次根式混合运算，正确掌握这些知识点是解题的关键．
19. 求出下列等式中 的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
【小问1详解】解： ，
，
；
【小问2详解】
解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
20. 如图，已知直线 与 相交于点 ， 于点 ， 平分 ，且 ，求
的度数．
【答案】
【解析】
【分析】依据垂线以及邻补角，即可得到∠AOC的度数，再根据角平分线即可得出∠AOF的度数，进而得
出∠COF的度数．
【详解】解： ，
，
，
，，
，
又 平分 ，
，
.
【点睛】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的定义、角的和差关系的运用，解题的关键
是结合题意和图形准确找到相关角的关系．
21. 完成下面的证明，如图， ， ，求证： ．
证明：∵ （已知），
∴ （ ）
∵ （已知），
∴ （ ）．
∴ （ ）．
∴ （等量代换）．
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【解析】
【分析】由平行线的性质得出∠A=∠3，由内错角相等得出ED∥AC，由平行线的性质得出∠E=∠3，即可
得出结论．
【详解】证明：∵AD∥BE
∵∠A=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠E．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相
等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意它们的
区别．
22. 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点 、 、 、 均在格点上，其中
为坐标原点， ．
（1）点 的坐标为______ ；
（2）将 向_____平移后得到对应的 ，其中点A的对应点是 ，请在图中画出平移后
的 ；
（3）求 的面积；
（4）在 轴上有一点 ，使得 的面积等于 的面积，直接写出点 坐标．
【答案】（1）（-1，5）
（2）向右平移6个单位，向下平移1个单位
（3）3 （4）P（1，0）或（7，0）
【解析】
【分析】1）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；（2）分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可得到△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△ABC 的面积；
1 1 1
（4）设P（m，0）．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【小问1详解】
点C的坐标为（-1，5），
故答案为：（-1，5）；
【小问2详解】
由 平移到 需要向右平移6个单位，向下平移1个单位
∴将 向右平移6个单位，向下平移1个单位平移后得到对应的
图片如下：
【小问3详解】
△ABC 的面积：2×4- ×2×2- ×2×1- ×4×1=8-2-1-2=3；
1 1 1
【小问4详解】
设P（m，0）．∵B（4，0），A（3，2），
1 1
∴S = ×|m-4|×2=3，
PA1B1
△
解得：m=1或7，
∴P（1，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中
考常考题型．
23. 已知：实数a，b满足 ，
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数 的两个平方根分别为 和 时，求m的值以及x的值．
【答案】（1）-5，4；
（2）m=-3，x=1
【解析】
【分析】（1）根据题中的等式，利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数，求出m的值，即可确定出x的值．
【小问1详解】
∵ ，
∴a+5=0，b-4=0，
解得：a=-5，b=4；
故答案为：-5，4；【小问2详解】
依题意，得 ，即2m+5+4+m=0，
解得：m=-3，
则x=（m+b）2=（-3+4）2=1．
【点睛】本题考查了算术平方根和偶次方的非负数的性质，立方根，平方根，掌握一个正数有2个平方根，
这两个平方根互为相反数是解题的关键．
24. 如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°．
（1）证明：AD∥EF．
（2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行，证得AC∥DE，利用平行线的性质，可知∠2=∠ADE，结合
已知条件可得到∠ADE+∠FED=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，可证得结论．
（2）利用已知求出∠2的度数，再由AD∥EF，EF⊥BF，可得到∠BAD的度数，然后根据∠BAC=∠BAD-
∠2，代入计算可求出结果．
【详解】解：（1）∵∠1=∠BDE，
∴AC∥DE
∴∠2=∠ADE
又∵∠2+∠FED=180°，
∴∠ADE+∠FED=180°，
∴AD∥EF
（2）∵∠FED=140°，∠2+∠FED=180°
∴∠2=40°
又∵AD∥EF，EF⊥BF，
∴AD⊥BF，即∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50°
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．25. 如图，已知，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，点B（2，0），点M(m，n)是线段AB上的一个动点，
小樱同学猜想m、n满足一种固定的数量关系，她的探究方法是连接AB、OM，借助△AOM，△BOM，
△AOB的面积关系，即S +S = S （其中S 表示△AOB的面积）得到
△AOM △BOM △AOB △AOB
，化简得 ，至此小樱得到 、 满足的确定的数量关系．请你参考
小樱的思路，解决下面的问题．
（1）当点 在线段AB的延长线上时，探究 、 满足的数量关系；
（2）当点 在线段BA的延长线上时，直接写出 、 满足的数量关系是___________；
（3）通过上述探究，写出你发现的结论：__________．
（4）当点 ，点 时，点 是直线CD上的一个动点，直接写出p、q满足的数量关系
________．
【答案】（1）（2）
（3）点 的坐标满足直线 的解析式
（4）
【解析】
【分析】（1）仿照点 在线段AB上时，利用 即可求解；
（2）仿照点 在线段AB上时，利用 即可求解；
（3）根据（1）（2）可得结论；
（4）结合（3）的结论，设出直线直线 的解析式，把点C，D的坐标分别代入求得直线的解析式，再
把点P的坐标代入求得p、q满足的数量关系．
【小问1详解】
解：点 在线段AB的延长线上时，此时 ， ，如图所示，
∵点A(0，4)，点B（2，0），M(m，n)，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．【小问2详解】
解：当点 在线段BA的延长线上时，此时 ， ，如图所示，
∵点A(0，4)，点B（2，0），M(m，n)，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故答案为：【小问3详解】
解：由（1）（2）可得 ，也就是说点 的坐标满足直线 的解析式，
故答案为：点 的坐标满足直线 的解析式
【小问4详解】
解：由（3）可知，点 ( ， )在直线 上，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 ( ， )在直线 上，
∴ ，即 ，
∴p、q满足的数量关系为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点在一次函数图形上的坐标特征，分类探究是解决问题的关键．
26. 已知：直线 ，点A是 上一个定点，点B是 上一个动点，点C在 上，且在点B左侧，点D在 上，且在点A的右侧． 点F在 上，且在点B右侧，连接AF，满足 ．过点B画AB
的垂线BE，与直线AF交于点H．在 上方，过点A画射线AG与AB垂直，画 的平分线AP，与
交于点Q．记 ．
（1）如图1，当 时，补全图形，
①直接写出 _____________（用含 的式子表示）；
②先测量 ____________，再求 ；
（2）如图2，点B从左向右运动，当 时，直接写出 的值__________．
【答案】（1）①90° α；②45°，理由见解析；
−
（2）45°
【解析】
【分析】（1）①由 得∠BAD=∠CBA=α， ，又 ，得 ，
进而得出 ；
②由题意得∠GAD=90°+α，再由角平分线的性质，得∠PAE= ∠GAD=45°+ α，进而得出∠PAF；
（2）由（1）得，∠BHA=90° α，由平行线的性质，得∠PQF=∠PAE= ∠GAD=45°+ α，当
−
时，列方程求解即可．
【
小问1详解】
解：如图所示．①∵ ，
∴∠BAD=∠CBA=α， ．
又 ，
∴ ．
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠BHA=∠ABE ∠BAF=90° α．
− −
故答案为90° α；
−
②用量角器测得∠PAF=45°，理由如下：
∵ ，
∴∠BAD=∠CBA=α．
∵AG⊥AB，
∴∠GAB=90°，
∴∠GAD=90°+α．
∵AP平分 ，
∴∠PAE= ∠GAD=45°+ α，
∴∠PAF=∠PAE ∠FAE=45°+ α α=45°．
− −
故答案为45°．
【小问2详解】
解：由（1）得，∠BHA=90° α．
−
∵ ，∴∠PQF=∠PAE=45°+ α．
∵ ，
∴90° α=45°+ α
−
解得α=45°．
故答案为45°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线以及垂线的定义，熟练地运用这些知识找到角之间的和差关系
是解决问题的关键.
27. 出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的数学家赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，
是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．在平面直角
坐标系中，定义md(P，Q)= 为两点 ，之间的“曼哈顿距离”．例如
A(2，-3)，B(5，2)，则md(A，B)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．已知点D(0，
2)，H(0，1)，点G(4，5)．
（1）求md(O，G)= ______；
（2）已知点T(t，2-t)，
①若md(H，T)=3，则T点坐标为__________；
②求md(G，T)的最小值__________；
（3）如果三个点P、Q、R之间的“曼哈顿距离”md(P，Q)、md(R，Q)、md(P，R)中，有一个是其它两个之和，称三角形PQR为“曼哈顿三角形”．已知M(0，m)，m<0，点N在第三象限，四边形DMNE为正方
形．如果在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，使得三角形YHG是曼哈顿三角形，直接写
出m的取值范围是__________
【答案】（1）9 （2）①T点坐标为 或 ；②当 时，md(G，T)的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据曼哈顿距离定义计算即可；
（2）①根据曼哈顿距离定义表示出md(H，T)，再列方程计算即可；
的
②根据曼哈顿距离定义表示出md(G，T) 值再判断即可；
（3）设 ，表示出md(Y，G)、md(Y，H)、md(G，RH)的值后观察即可．
【小问1详解】
∵点G(4，5)
∴ ，
故答案为：9
【小问2详解】
①∵T(t，2-t)，H(0，1)
∴
当 时， ，解得 ，此时T点坐标为 ；
当 时， ；
当 时， ，解得 ，此时T点坐标为 ；
综上所述，T点坐标为 或
②
∵根据绝对值的意义可得： 表示数轴上一点t到4和-3的距离之和在
∴当t 4和-3之间时和最小，
即当 时，md(G，T)的最小值为 ．
【小问3详解】
设
∵Y在正方形DMNE为内部，且D(0，2)，M(0，m)，m<0，点N在第三象限，
∴ ，
∵Y为整点
∴ ，且 a、b均为整数
∴
∴
∴正方形DMNE内部所有整点都能使三角形YHG是曼哈顿三角形，
∵在正方形DMNE内部(不包括边界)恰有16个整点Y，
∴正方形的边长范围为：
即 ，解得 ．
【点睛】本题考查直角坐标系中的坐标特征、新定义运算，理解“曼哈顿距离”的定义是解题的关键，第
（3）问需要特别注意 的横纵坐标的取值范围．
