文档内容
大兴区 2022～2023 学年度第一学期期末检测试卷
初三数学
考生须知：
1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。
2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域。
3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效。
4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．练习结束，请将答题纸交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 在标准大气压下，通常加热到 时，水沸腾
C. 任意画一个三角形，其内角和等于 D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从
空中落下
【答案】A
【解析】
【分析】在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可
能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据随机事件、必然事件和不可能
事件的概念逐项分析判断即可．
【详解】A. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B. 在标准大气压下，通常加热到 时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
是
C. 任意画一个三角形，其内角和等于 ， 必然事件，不符合题意；
D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件和不可能事件的判断，理解并掌握相关概念是解题关键．
2. 如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，即可得出 ．
【详解】∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
3. 如图，点 为正五边形 的中心，连接 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正五边形的性质得出 即可求解．【详解】解：∵点 为正五边形 的中心，
∴ ，
故选：D
【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多
边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键.
4. 将二次函数 化成 的形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法将二次函数 的一般式化成顶点式即可．
【详解】解：
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
5. 把一副普通扑克牌中的5张洗匀后，正面向下放在桌子上，其中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张
“红桃”，从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵5张普通扑克牌中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张“红桃”，
∴从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是 ，
故选：C．【点睛】本题考查了估计概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：
“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比
宽多 尺 寸，门的对角线长 丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈 尺，1尺 寸），若设门宽
为 尺，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设门宽为 尺，则根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设门宽为 尺，则高为 尺，根据题意得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键．
7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 在半圆上点 ， 的读数分别为 ， ．
则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】设半圆圆心为 ，连 ，则 ，根据圆周角定理得 ，即可
得到 的大小．
【详解】解：如图，设半圆圆心为 ，连 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．
8. 下列关于二次函数 有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到 轴的距离为 ；
③图象的对称轴为直线 ；④当 时， 随 的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式，得出 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，在对称轴左侧， 随
的增大而减小，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵ ， ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，在对称轴左侧，
随 的增大而减小，
∴①图象的开口向上；故①正确；②图象最低点到 轴的距离为 ，故②不正确；
③图象的对称轴为直线 ，故③正确，
④当 时， 随 的增大而减小，故④不正确．
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握 的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ，请写出一个满足条件的二次函数的解析式
_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出 ，且 的一个二次函数解析式即可求解．
【详解】解：依题意，一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线 的二次函数解析式为 ，
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图， 为 的直径，弦 于点 ，连接 ，若 ， ，则弦 的长度
为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据 为圆 的直径，弦 可知 ，再根据 ， 可求出的长，利用勾股定理可求出 的长，进而可求出答案．
【详解】解：∵ 为圆 的直径，弦 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
11. 已知 ， 两点都在抛物线 上，那么 ___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
12. 如图，一次函数 与二次函数 的图象分别交于点 ， ．则关于 的方程 的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程 的解就是二次函数 与一次函数 两个函
数交点的横坐标，
∵二次函数 与一次函数 的图象相交于点 ， ．
∴ 的解为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的
解是本题的关键．
13. 水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到85%以上，保证成苗率，现
有 ， 两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的
种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 100 500 1000 2000 3000
发芽率 0.97 0.96 0.98 0.97 0.97
发芽率 0.98 0.96 0.94 0.96 0.95
下面有两个推断：①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以 ， 两种新水稻种子
发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加， 种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可
以估计 种子发芽的概率是0.97．其中合理的是___________．
【答案】②【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计频率，这个固定的近似值就是这个事件的频率，据此解
答可得．
【详解】①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种
子数量为500，数量太少，不可用于估计频率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加， 种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 种子发
芽的概率是0.97．故②推断合理．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．
14. 如图，圆心角为 的扇形 的半径为 1，点 为 的中点，则图中的阴影部分面积是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得可得 ， ，则 ，再利
用扇形面积公式即可求得答案．
【详解】解：由题意可知
，
则
π故答案为：
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，同时涉及全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题关键．
15. 如图所示，将一把刻度尺，含 角的直角三角板和圆形卡片如图摆放，使三角板的一条直角边与刻度
尺重合，圆形卡片与刻度尺和三角板分别都有唯一的公共点，测得圆形卡片与刻度尺的公共点 到三角板
顶点 的距离 ，则圆形卡片的半径为___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】设圆形卡片的圆心为 ，过点 作 垂直直角三角板的斜边，垂足为 ，根据切线长定理得出
，继而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设圆形卡片的圆心为 ，过点 作 垂直直角三角板的斜边，垂足为 ，
依题意， 与 、 相切，
∴ ，∵ 与 相切，
∴ ，
在 中， ，
即圆形卡片的半径为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握切线长定理是解
题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，若抛物线 与线段 有公
共点，则 的取值范围是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】分别把A、B点的坐标代入 得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：把 代入 得 ；
把 代入 得 ，
∴a的取值范围为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，
每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
【答案】x＝4，x＝2
1 2
【解析】
【分析】原方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x＝4，x＝2
1 2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公
式及代数式的值是解题的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，求方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据m的范围可知 ，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【小问1详解】
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵m为正整数，且 ，
∴ ．
当 时，方程为 ，
∴
∴ ．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的
解法．
20. 已知：如图， 中， ．
求作：射线 ，使得 平分 ．
作法：
①作 的垂直平分线 交 于点 ；
②以 为圆心， 为半径画圆， 与直线 的一个交点为 （点 与点 在 的异侧）；
③作射线 ．
所以射线 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
直线 为 的垂直平分线，
．
，
．
点A， ， 都在 上．
又 点 在 上， 于点 ，
，__________，
（_______________________）（填推理的依据）．
射线 平分 ．
【答案】（1）图见解析
（2） ；等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理证明即可．
【小问1详解】
如图，射线 即为所求．
【小问2详解】
证明：连接 ．
直线 为 的垂直平分线，
．
，
．
点A， ， 都在 上．
又 点 在 上， 于点 ，
，，
（等弧所对的圆周角相等），
射线 平分 ，
故答案为： ；等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查了作图—垂直平分线，圆周角定理，灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．
21. 如图， 是 的直径，点A， 在 上， ， 交 于点 ．若 ，
求 的度数．
【答案】 的度数为
【解析】
【分析】 根据圆周角定理得到 ， ，再由 得到
，然后根据三角形外角性质计算 的度数．
【详解】解：∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦
是直径．
22. 已知二次函数图象的顶点坐标是 ，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设该二次函数的解析式为 （ ），根据图像经过点 得 ，
继而即可求解；
（2）列表、描点、连线即可得．
【小问1详解】
解：设该二次函数的解析式为 （ ），
∵图像经过点 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ，
即 ．
【小问2详解】
解：
则该二次函数的图像如图所示．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
23. 不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、
“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为___________；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个
是“大”，一个是“兴”的概率．【答案】（1）
（2）一个是“大”，一个是“兴”的概率为
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接得到解答；
（2）根据题意列出所有情况即可求解．
【小问1详解】
从袋子随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为 ，
故答案为： ；
【
小问2详解】
从袋子随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，如下，
“大”和“大”、 “大”和“兴”、 “大”和“创”、 “大”和“城”；
“兴”和“大”、 “兴”和“兴”、 “兴”和“创”、 “兴”和“城”；
“创”和“大”、 “创”和“兴”、 “创”和“创”、 “创”和“城”；
“城”和“大”、 “城”和“兴”、 “城”和“创”、 “城”和“城”，
由上可得共有16种情况，而一个是“大”，一个是“兴”的情况有2种情况，
∴ ．
【点睛】本题考查了列举法求概率，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
24. 如图，点 ， 在 上，且 ，点 为 的中点，过点 作 交 的延长
线于点 ．（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 的半径为4，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 是等边三角形，得出 ，根据 ，可得
，即可得证；
（2）过点 作 于点 ，得出四边形 是矩形，进而得出 ，根据（1）可得
，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∵∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质
与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
25. 抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱
桥的截面图．以水面 所在直线为 轴， 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点 到点
的距离 （单位： ），点 到桥拱顶面的竖直距离 （单位： ）． ， 近似满足函数
关系 ．通过取点，测量，得到 与 的几组对应值，如下表：
0 1 2 3 4
0 2 2
（1）桥拱顶面离水面 的最大高度为___________ ；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系 和水面宽度 的长．
【答案】（1）
（2） 米
【解析】
【分析】（1）把 ， 分别代入 ，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解；
（2）令 ，解方程即可求解．
【小问1详解】解：把 ， 分别代入 得
解得：
即抛物线的解析式为：
即
∴桥拱顶面离水面 的最大高度为 米，
故答案为：
【小问2详解】
由（1）得
令 ，即
解得：
∴ （米）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 都在抛物线 上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线 ，使得平移后抛物线的顶点为 ，已知点 在
原抛物线上，点 在平移后的抛物线上，且 ， 两点都位于直线 的右侧．当时，若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点 ， 代入 待定系数法求解析式即可求解；
的
（2）根据 ，得出 ，根据图象，当 点在 时，求得 值，结合函数图象，
可知在对称轴右侧都有 ，即可求得 的范围．
【小问1详解】
解：将点 ， 代入 ，得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图，∵ ，则 ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
当 点在 时， ，
此时 ，
根据图象可知，当 时，对于 ，都有 ，
如图，当 时，∴当 时，对于 ，都有 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，二次函数图象的性质，数形结合是解题
的关键．
27. 如图，在 中， ， ， 于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 交 于点 ．
（1）依题意补全图形；（2）求 的度数；
（3）求证： ．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意补画图形即可；
（2）由旋转的性质，可得 ， ，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形
内角和定理可得 ，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得
，借助“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由
即可获得答案；
（3）过点 作 ，交 延长线于点 ，由等腰直角三角形的性质可知 ，再证明
，由全等三角形的性质可得 ，即可证明 ．
【小问1详解】
解：补画图形如下；
【小问2详解】
由旋转的性质，可得 ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形
外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质并灵
活运用是解题关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 1．给出如下定义： 为 上一点，过点 作直线
，交 轴于点 ，称点 为点 的“关联点”．
（1）如图， ， ，若点 在 上，且 的长为 ，则 _________ ，点 的
“关联点”点 的坐标是__________；（2）求点 的“关联点”点 的横坐标的最小值；
（3）若线段 的长为 ，直接写出这时点 的“关联点”点 的横坐标的最大值和最小值．
【答案】（1）45；
（2）点Q横坐标最小值为
（3）点Q横坐标最大值 ，最小值为
为
【解析】
【分析】（1）设 ，根据 的长为 ，求得 ，过点P作 交 于点
C，根据特殊三角函数值进行求解即可；
（2）当直线 与 相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接 ，则有 ，证明
为等腰直角三角形，即可得到解答；
（3）过点P作 轴，根据特殊的三角函数值计算出点P到x轴的垂直距离为 ，由此可分析得，符
合情况的点P有4个位置，如图所示， ，则点Q的位置也有4个， ，而
在 处取最大值，在 处取最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，过点P作 交 于点C，如图，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将点P代入 中，得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时，得 ，
解得 ，∴ ，
故答案为：45； ；
【小问2详解】
当直线 与 相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接 ，则有 ，
∵ 的直线解析式为 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴点Q横坐标最小值为 ，
【小问3详解】
过点P作 轴，
∵ 的直线解析式为 ，
∴ ，∴在 中， ，
∴ ，
即点P到x轴的垂直距离为 ，
符合情况的点P有4个位置，如图所示， ，则点Q的位置也有4个， ，
∴在 处取最大值，在 处取最小值，
由以上计算可知 ，
连接 ，在 中， ，
∴ ，
连接 ，在 中， ，
∵
∴ ，
∴点Q横坐标最大值为 ，最小值为 ．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合题，勾股定理的应用，特殊的三角函数值和等腰直角三角的判定
和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
