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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
延庆区 2023-2024 学年第二学期期末试卷
七年级数学
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题：（共16分，每小题2分）
第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 碳纳米管是一维纳米材料，六边形结构连接完美，具有许多特殊的力学、电学和化学性能．中国科学院
的科学家成功地研制出直径 纳米的碳纳米管， 纳米相当于 毫米，将 用科学
记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键．
根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其
所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】 ，
故选：B．
2. 不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据 的解集为 ，实心圆圈，且方向向右，判断选择即可．
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴实心圆圈，且方向向右，
故选D．
【点睛】本题考查了解不等式，数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键．
3. 以下四个有关调查的说法中，正确的是（ ）
A. 为了解妫河的水质情况，选择抽样调查
为
B. 了解某班学生身高情况，选择抽样调查
C. 为了解某种型号的图形计算器的使用寿命，选择全面调查
D. 为了解某种奶制品中蛋白质的含量，选择全面调查
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了普查和抽样调查和的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活
选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对
于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．熟练掌握调查知识是解题的关键
本题根据所要考查的对象的逐一判断即可
【详解】A. 调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故符合题意；
B. 调查范围较小，宜采用普查，故不符合题意；
C. 调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故不符合题意；
D. 调查范围大，不宜采用普查，而应采用抽样调查，故不符合题意.
故选：A
4. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质；解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
根据不等式得性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除
以）同一个大于0的整式，不等号方向不变 ；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等
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号方向改变，解答即可．
【详解】A． ，两边同时加3得 ；故本选项符合题意；
B． ，两边同时减去4得 ，原式不等号变方向，错误，故本选项不符合题意；
C． ，两边同时乘 得 ，原式不等号没有改变方向，错误，故本选项不符合题意；
D． ，两边同时乘6得 ，原式不等号改变方向，错误，故本选项不符合题意
5. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此
题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，故不符合题意；
的
B. 平行于同一条直线 两条直线互相平行是真命题，故不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题，故不符合题意；
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故选：C
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理解平行线的性质与判定是解题关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握整式
的相关运算法则是解题的关键．利用整式的相关运算法则计算即可．
【详解】解：A中、 与 不是同类项，故不能合并，故 ，故选项A不符合题意；
B中、 ，故选项B符合题意；
C中、 ，故选项C不符合题意；
D中、 ，故选项D不符合题意；
故选：B．
8. 如图， ， ， ， 相交于点O，下列结论：① ； ②
；③ ；④ ．其中正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查平行四边形的性质，对顶角性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键，
根据平行四边形的性质和对顶角相等即可解题．
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【详解】 ，
，故①正确；
，
无条件得 故 不成立，故②错误；
和 是对顶角，
，故③正确；
，
，故④正确；
故正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题 （共16分，每小题2分）
9. 计算：3﹣2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据负指数幂的定义直接计算即可．
【详解】解：3﹣2＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是负指数幂的计算，任何不等于零的数的﹣n(n为正整数)次幂，等于这个数的
n次幂的倒数，在这个幂的意义中，强调底数不等于零，否则无意义．
10. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行分解即可
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【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 如图，直线 ， 相交于点O， 于点O，如果 ，那么 的度数是
__________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对顶角，根据 得 ，根据 得 ，即
可得；掌握对顶角是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
12. 若 是关于x，y的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a的值为____________
【答案】4
【解析】
【分析】根据二元一次方程的解的定义把 代入到 得到关于a的方程即可求解．
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【详解】解：∵ 是关于 、 的二元一次方程 的一个解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题
的关键．
13. 如果关于 的方程 的解为负数，那么 的取值范围是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得出 ，再结合题意得出
，解不等式即可得出答案．
【详解】解：
，
，
∵关于 的方程 的解为负数，
，
解得： ，
故答案为： ．
14. 已知二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
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【分析】方程组中两方程相加，求出x-y的值即可．
【详解】解： ，
①+②得：3x−3y=3．
得x−y=1
故答案为1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，本题注意观察方程组中两方程系数之间的关系，利用加减法求出
结果是解题关键．
15. 如表是关于x，y的二元一次方程 的部分解，那么关于x的不等式 的解集为
__________．
x … 0 1 2 …
y … 4 2 0 …
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，先得到当 时， ，然后利用表格得到y随
x的增大而减小，，继而得到不等式的解集即可．
【
详解】解：由表格可知当 时， ，
根据表中数据可得y随x的增大而减小，
∴不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
16. 如表是某面包店的价目表：
全麦面 切片面
面包品种 芒果面包 手撕面包 奶香面包
包 包
单 价 5元 6元 8元 11元 12元
小明原本拿了4个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有优惠活动，优惠方式为每买5个面包，其
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中1个价格最低的面包就免费．因此，小明又去拿了一个面包，这次，小明选择了一个手撕面包．
（1）如果小明买的5个面包均不相同，那么小明需要支付____________________元；
（2）如果小明原本的结账金额为n元，那么小明后来的结账金额为____________元．（用含n的式子表
示）
【答案】 ①. 37 ②. n或 或
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，
（1）根据题意得：全麦面包免费，即可求解；
（2）分三种情况：当4个面包中有全麦面包时；当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时；当 4个
面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：全麦面包免费，
小明需要支付 元；
故答案为：37
（2）当4个面包中有全麦面包时，小明后来的结账金额为 元；
当4个面包中没有全麦面包，且含有芒果面包时，小明后来的结账金额为 元；
当4个面包中既没有全麦面包，也没有芒果面包时，小明后来的结账金额为 元；
综上所述，小明后来的结账金额为n元或 元或 元；
故答案为：n或 或
三、解答题（共68分，17-18题，每小题6分；19题10分；20-22题，每小题5分；23-24题，
每小题4分；25-26题，每小题5分；27题7分；28题6分）
17. 因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
（1）提取公因式 即可得到答案；
（2）先提取公因式2，再用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、多项式除单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的
关键．
（1）直接运用整式的混合运算法则计算即可；
（2）直接运用多项式除单项式的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
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．
【小问2详解】
解：
．
19. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法
消去一个未知数．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可；
【小问1详解】
解：把①代入②，得 ，
，
，
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把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为 ；
【小问2详解】
解： ，得 ③
，得 ， ，
把 代入①得，
所以方程组的解为
20. 解不等式：2 （3x－1）≤x+3，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】利用不等式的性质求出一元一次不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去括号，得： ．
移项，得： ．
合并同类项，得： ．
化系数为1，得： ．
∴原不等式的解集为 ．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤，
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会在数轴上表示不等式的解集是解答的关键，特别注意不等号的方向和端点的空（实）心．
21. 解不等式组： 并写出它的所有整数解．
【答案】 ，整数解是： ， ， ．
【解析】
【分析】正确求解两个一元一次不等式，并准确找到它们的解集的交集，即为不等式组的解集，再把解集
中包含的整数写出即可．
【详解】解：
解不等式①得， ．
解不等式②得， ．
∴原不等式组的解集是： ．
∴原不等式组的整数解是： ， ， ．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，不等式组的整数解．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求
两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小
小无解．
22. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了整式的乘法计算公式，整式的混合运算，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，
多项式乘以多项式公式分别化简，再代入式子进行整体计算，熟练掌握整式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：
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∵
∴
∴原式 ．
23. 完成下面的证明．
已知：如图， 是 的角平分线，点D在射线 上，点E在射线 上， 且 ．
求证： ．
证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ① （ ② ）．
∵ ，
∴ ③ ．
∴ （ ④ ）．
【答案】 ；角平分线定义； ；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得 ，根据
可得 ，根据平行线的判定即可得；掌握角平分线的定义，平行线的判
定是解题的关键．
【详解】证明：∵ 是 的角平分线，
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∴ （ 角平分线的定义 ）．
∵ ，
∴ ．
∴ （ 内错角相等，两直线平行 ）．
故答案为： ；角平分线定义； ；内错角相等，两直线平行．
24. 已知：如图，点D，点E分别在三角形 的边 ， 上，连接 ， ，
直线 经过点A，且 求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定定理的综合
运用．
直接根据平行线的判定定理以及平行线的性质进行分析证明即可．
【详解】证明： ，
，
，
，
．
25. 学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发
30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求
小明、小强每小时各走多少千米．
【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米
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【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程
组求解．
设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走 小时的路程 小强走2小时的路程 千
米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解．
【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得
，
解这个方程组，得
答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米．
26. 在国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”活动．通过数学素养竞赛、数学创意展示等活动，展
现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现从七年级随机抽取了20名学生成绩
(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析．过程如下：
a．20名学生的数学素养竞赛分数：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b．整理、描述数据：
分数
人数 1 2 m 9 1
c．20名学生的数学素养竞赛分数扇形统计图：
d．20名学生的数学素养竞赛分数的平均数、中位数和众数：
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平均 中位 众
数 数 数
77.5 n t
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）在扇形统计图中，“ ”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）若该校七年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“数学之星”
的称号，请你估计该校七年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
【答案】（1）7，79，80
（2）36 （3）100人
【解析】
【分析】本题考查统计图表，求中位数和众数，利用样本估计总体：
（1）用样本容量减去其它组的数据，求出 的值，利用中位数和众数的确定方法求出 的值；
（2）360度乘以 所占的比例，求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【小问1详解】
解： ，
将数据排序后，第10个和第11个数据分别为：78，80，
∴ ，
出现次数最多的数据为80，
∴ ；
【小问2详解】
；
故答案为：36；
【小问3详解】
（人）
答：该校七年级获得“数学之星”称号的学生有100人．
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27. 如图，点F在 的内部，点D在射线 上，点E在射线 上，连接 ， ，
， ．
（1）求证： ；
（2）过点D作 交射线 于点M，连接 ，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示
与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）补全图形见解析， ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
（1）根据已知条件 ， ，等量代换即可解答；
（2）过点M作 交DF于点N，根据平行线的性质及垂线的定义得 ，再
证 得 ，即可得出结论；
【小问1详解】
证明： ， ，
，
，
【小问2详解】
依题意补全图形．
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数量关系： ，
证明：过点M作 交 于点N，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28. 我们把关于x，y的二元一次方程 ，叫作数对 的“伴随方程”；若 是关于
x，y的二元一次方程 的一个解，则称数对 是数对 的“伴随数对”．
（1）已知数对 ，在数对 中，是数对 的“伴随数对”的是
；
（2）若数对 是数对 和数对 的“伴随数对”，求数对 的“伴随
方程”；
（3）若 是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大
值是t，如果关于x的不等式组 恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解
题的关键．
（1）由题意得“伴随方程”为： ，将 分别代入验证即可；
（2）由题意得， ，解得： ，故数对 的“伴随方程”为： ；
（3）解不等式组 得： ，由n的最大值是t， 得到 ，则
，则 ，确定这2024个整数解为 ， 故 ，解得：
．
【小问1详解】
解：由题意得：“伴随方程”为：
将点 代入得 ，
将点 代入得 ，
将点 代入得 ，
将点 代入得 ，
∴点 ， 是数对 的“伴随数对”，
故答案为： ；
【小问2详解】
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解：由题意得， ，
解得： ，
∴数对 的“伴随方程”为： ；
【小问3详解】
解：解不等式组 ，
由①得， ，
由②得， ，
∴不等式组的解集为：
∵n的最大值是t，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵关于x的不等式组 恰好有2024个整数解，
∴这2024个整数解为 ，
∴ ，
解得： ．
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