文档内容
延庆区 2023-2024 学年第一学期期末试卷
初二数学
考生须知
1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题（共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【详解】A. 是轴对称图形，不合题意；
B. 是轴对称图形，不合题意；
C. 不是轴对称图形，符合题意；
D. 是轴对称图形，不合题意.
故答案选：C.
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的定义.
2. 二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得
x-3≥0，
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学科网（北京）股份有限公司解得：x≥3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是解题的关键．
3. 如图，在等边 中， 是 边上的中线，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质．
根据等边三角形的三线合一性质求解即可．
【详解】∵在等边 中， 是 边上的中线，
∴ 是 的平分线，
∴ ．
故选：D．
4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下
列事件是必然事件的是（ ）
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球 是黑球 D. 至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．
【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出
3个球，
可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，
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学科网（北京）股份有限公司∴至少有1个球是黑球，
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．
5. 现有四根木条，长度分别为 ．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一
共有几种不同的组法（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6；
根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6；共2组能组成
三角形．
故选：B
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简A，C，D，再根据同类二次根式计算判断B．
【详解】因为 ，所以A不正确；
因为 和 不是同类二次根式，不能合并，所以B不正确；
因为 ，所以C正确；
因为 ，所以D不正确．
故选：C．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透
明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这
些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
的
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据在一个不透明 盒子中装了6张关于“二十四节气”
的卡片，其中有2张“立秋”，进行计算即可得出答案，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况
数之比．
【详解】解： 在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”，
从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为 ，
故选：B．
8. 如图，在 的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如
为格点三角形，与 成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出
对应的图形是解此题的关键．
【详解】解：如图，与 成轴对称的格点三角形可以画出 个，
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学科网（北京）股份有限公司，
故选：D．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若分式 的值为0，则 的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
10. 计算： =_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法运算将式子展开，然后进行加减运算即可.
【详解】原式=3-1=2．
故答案为：2．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查二次根式的基本运算，属于比较容易的题目.
11. 如图，在 中， 是 边上的高线， 的平分线交 于点E，当 ， 的
面积为3时， 的长为______________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点E作 于F，根据三角形面积
计算公式求出 ，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到 ．
【详解】解：如图所示，过点E作 于F，
∵ ， 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的高线， 的平分线交 于点E，
∴ ，
故答案为：1．
12. 如图，在 中， 的平分线交于点D，过点D作 ，分别交 于点
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学科网（北京）股份有限公司E，F．当 时， 的长为______________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得
，根据平行线的性质可得 ，进一步
可得 ，可得 ，进一步可得 的长．
【详解】解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
13. 已知 是无理数，且 ，写出一个满足条件的 的值是______________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据 是无理数，且 ，得出 ，从而即可得出答案，
准确进行估算是解此题的关键．
【详解】解： 是无理数，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
的
满足条件 的值是 （答案不唯一）．
14. 计算： ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可，熟练掌握
运算法则是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
15. 如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为 ， 的两个正方形所拼成的．若直角三角
形的斜边长为 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理与正方形的面积计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得， ， ，四边形 都
是正方形，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查图形与面积的计算方法，掌握勾股定理，正方形的面积计算方法是解题的关键．
16. 如图所示的网格是正方形网格，则 ____________ ．（点 是网格线交
点）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长 交格
点于 ，连接 ，证明出 是等腰直角三角形，得出 ，再根据三角形外角的定义及
性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：延长 交格点于 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17-19题，每小题5分，第20-23题，每小题6分，第24-26题，每
小题5分，第27-28题，每小题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂计算即可得出答案，
熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：
．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据同分母的分式的加减，进行计算，再约分即可得出答案，熟练
掌握运算法则是解此题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
.
19 如图， 平分 ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义可得
，证明 ，即可得出 ，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解此题的关键．
【详解】证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再计算乘法，约分即可化简，再代入值进行计算即
可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
将 代入 中，原式 ．
21. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以 得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以原方程的解是 ．
22. 如图，在 和 中，点A、C、E在同一直线上， ， ， ．求
证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明出 是解题
关键．由平行线的性质可证 ，得出 ，即可得出结论．
【详解】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
23. 在学习了全等三角形和尺规作图知识以后，老师布置了一道关于作角平分线的思考题．要求不用书中
作角平分线的方法，使用直尺和圆规再设计几种作角平分线的方法．并说明其中的数学原理．
以下是某小组交流讨论之后，小组代表汇报本组的两种方法．
方法1：
已知： ．
求作：射线 ，使它平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司作法：如图，
（1）以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；
（2）连接 ；
（3）分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；
（4）作射线 ．
所以射线 即为 的平分线．
方法2：
已知： ．
求作：射线 ，使它平分 ．
作法：如图，
（1）在射线 上分别截取 ，使 ；
（2）分别过点 作 的垂线，两垂线交于点 ；
（3）作射线 ．
所以射线 即为 的平分线．
请你根据以上小组汇报的尺规作图的过程完成下面问题：
（1）请证明方法1中的 是 的平分线；
（2）①依照方法2补全图形（保留作图痕迹）；
②写出方法2中 是 的平分线的依据．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析； 判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了全等三角形 的判定与性质、作图—基本作图、角平分线的判定，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用“ ”证明 ，得出 ，即可得证；
（2）①根据题意，补全图形即可；②根据全等三角形的判定与性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
平分 ，
【小问2详解】
解：①如图，射线 即为所作，
②由作图可得： ， ，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
平分
故依据是： 判定定理；全等三角形对应角相等；角平分线定义等．
24. 列方程解应用题：
为响应绿色出行，低碳减排号召，助力“双碳”目标不断实现，小华家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动
汽车，原来驾驶燃油汽车从 地到 地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行
驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千
米所需的电费．
【答案】新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元
【解析】
【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为 元，则燃油
汽车所需油费 元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正
确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为 元，则燃油汽车所需油费 元，
由题意列方程得： ，
解方程得， ，
经检验， 是原方程得解，且符合实际意义，
答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．
25. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度 是2.2米．一架梯子 斜靠在左墙时，梯子顶
端 与地面点 距离是2.4米．如果保持梯子底端 位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端 与地面
点 距离是2米．求此时梯子底端 到右墙角点 的距离是多少米．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离 长是 米，根据 ，结
合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离 长是 米，
由题意列方程为： ，
解方程得 ，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
26. 在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都
在格点上）．
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学科网（北京）股份有限公司（1）在网格中画出 关于直线l对称的 ．（要求：A与 ，B与 ，C与 是对称点）；
（2）若直线l和线段 相交于点M，线段 ，则线段 ________；
（3） 的面积是________．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）5
【解析】
【分析】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称的性质，割补法求三角形面积，作轴对称后的图形的依据
是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点
的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）根据对称的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
∵点A和点 关于直线l对称
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
【小问3详解】
的面积 ．
27. 在 中， 于点D，E为 的中点，连接 ，与 交于点F，过点E作 ，
与 的延长线交于点N，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段 、 、 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等
三角形是解题关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（2）延长 至M使 ，连接 、 ，证明 ，得到 ，
，再证明 是直角三角形，由垂直平分线的性质，得到 ，最后利用勾股
定理，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，补全图形如下：
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解： ，证明如下：
如图，延长 至M使 ，连接 、 ，
为 中点，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司是直角三角形，
，E为 中点，
，
在直角三角形 中， ，
．
28. 【阅读学习】
阅读 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这
条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（ ）判断：在 中， ， ，则 ________“可两分三角形”．（填“是”或
“不是”）
（ ）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角
形的底角的度数．
阅读 如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作
这个三角形的“三分线”．如图 ，线段 将顶角为 的等腰 分成了
三个等腰三角形，则线段 是 的“三分线”．
（ ）画图和计算：请你在图 中，画出顶角为 的等腰 的“三分线”，并标出每个等腰三角形
顶角的度数．
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学科网（北京）股份有限公司（ ）画图和计算：在 中， ， 和 是 的“三分线”，点 在 边上，点
在 边上，且 ， ．设 ，试画出示意图，并求出 的值．
【答案】（ ）是；（ ）图见解析；（ ）图见解析 ；（ ）图见解析， 的值为 或 ．
【解析】
【分析】（ ）根据新定义画出图形即可判断；
（ ）根据新定义画出图形即可求解；
（ ）根据新定义画出图形即可求解；
（ ）根据新定义画出图形即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题
的关键．
【详解】解（1 ）如图， 可以分割成两个小的等腰三角形，
∴ 是“可两分三角形”，
故答案为：是；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）如图所示；
（ ）如图所示；
（ ）如图所示，
由图可得 的值为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
