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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
昌平区 2023—2024 学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷
本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填
涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡．
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个
1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直
的
线 位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直
接根据图形进行求解即可．
【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交；
故选：C．
2. 如果 ，那么下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了考查比例的性质．根据等式的性质，两边同除以6、 ，即可得出．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
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故选：B．
3. 将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移．根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式
为 ．
故选：D．
4. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB的度数，再由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，根据圆周角
定理即可得出∠D的度数．
【详解】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°-40°=50°，
∵∠D与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠D=∠ACB=50°．
故选B.
【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
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5. 在平面直角坐标系xOy中，若点 和 在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．根据反比例
函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 ，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小，
∴点 和 中， ，
∴ ，
故选：A．
6. 如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继
续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则 的距离可表示为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，首先由方向角的定义及已知条件得出 ，
， 海里， ，解 ，得出 海里．
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【详解】解：如图，由题意可知， ，
在 中，
， ， 海里，
∴ 海里．
海里．
故选：A．
7. 如图，在等腰 中， 于点 ，则 的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由 ，易得 ，由 可得 ，进而用勾股定理分别将
BD、BC长用AB表示出来，再根据 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适
中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
8. 如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且 ，连接 ， 相交于
点F，则下列说法正确的是（ ）
① ； ② ；③ ；④若 ，则
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌
握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得
，则有 ，然后可得 ，进而根据三角
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形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ 不成立，故③错误；
过点E作 ，交 于点H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个开口向下且过 的抛物线的表达式______．
【答案】答案不唯一，例如：
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可
知 ，且过点 ，然后问题可求解．
【详解】解：由抛物线开口向下可知 ，且与y轴交于点 ，因此符合条件的抛物线表达式可以为
；
故答案为 （答案不唯一）．
10. 如图，M为反比例函数 的图象上的一点， 轴，垂足为A， 的面积为3，则k的
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值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】由反比例函数k的几何意义可得 ，再结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵M为反比例函数 的图象上的一点， 轴， 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：6
【点睛】本题考查的是反比例函数中比例系数k的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键．
11. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，
让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形 ）的外接圆，已知正六
边形 的边长是4，则 长为______．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式，先根据中心角定义求出 的度数，然后证明
是等边三角形，可求出圆的半径，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解∶如图，
∵正六边形 的边长是4，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12. 如图，在平行四边形 中，E为 的中点， ， 交于点F，则 和 的面积
比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似
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三角形的性质与 判定是解题的关键；由题意 易得 ， ，则有
，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
13. 如图，在 中，半径 垂直弦 于点D，若 ， ，则 的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．
连接 ，由 垂直 ，求出 的长，在直角三角形 中，利用垂径定理求出 的长，即可
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确定出 的长．
【详解】解：连接 ，
在 中，半径 垂直弦 于点D， ，
，
，
，
在直角 中， ，
，
故答案为：2．
14. 小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，
三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是______cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质、三角函数及角平分线的判定定理，熟练掌握切线的性质及三角函数是
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解题的关键；如图，由题意易得 ，
，则有 平分 ，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
∵零件与直尺，三角板均相切，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，即这个零件的半径为 ；
故答案为 ．
15. 如图， 是 直径，点C是 上一点， 且 ，点D是 的中点，点P是
直径 上一动点，则 的最小值为______．
【答案】
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【解析】
【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，等腰直角三角
形的性质和判定，勾股定理等，确定最小值是解题的关键．作点D关于 的对称点 ，则 的
最小值是 ，再根据 的边角关系求出解即可．
【详解】解：作点D关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ．
可知 ，根据“两点之间线段最短”得当C，P， 三点共线时， 最小，即
．
∵点C在 上， ，点D是 的中点，
∴ ，
∵点D关于 的对称点 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
16. 已知抛物线 （a，b，c为常数， ）的对称轴是直线 ，其部分图象如图，则
以下四个结论中：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的序号
是______．
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【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得 ，对称轴在y轴右侧，
得 ，抛物线与y轴正半轴相交，得 ，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线 ，即
，可得 进而可以判断；③当 时， ，即 ，根据 ,可得
，即可判断；④根据顶点坐标和 进而可以判断．
【详解】解：①根据抛物线开口向下可知： ，
∵对称轴在y轴右侧，即： ，
∴ ，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴ ，
∴ ，
∴①错误；
②∵抛物线对称轴是直线 ，即 ，
∴
∴ ，故②正确；
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③由图象知， 与 关于对称轴对称，
当 时， ，
即 ，
∵ ,
∴ ，故③正确；
④∵ ,
∴ ，
如果 ,
那么 ,
∵ ，
∴ ,
根据抛物线与y轴的交点，可知 ，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每
小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三
角函数值进行求解即可．
【详解】解：
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．
18. 如图， 中，点D是边AB上一点，点E为 外一点， ，连接BE．从下列条件中：
① ；② ．选择一个作为添加的条件，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加 根据有
两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加 利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等
的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
或选择②
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ．
19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如下表：
x … 1 3 …
y … 0 1 0 …
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为______时， ．
【答案】（1） ；
（2）见解析 （3） ．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的画法以及根据图象求自变量的取值范围等
知识，
（1）从表格中选取图象上的三个点，然后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在已知的坐标系中根据二次函数图象的画法解答即可；
（3）根据图象，所求的结果是二次函数在直线 以上的对应的x的取值范围，据此解答即可．
【小问1详解】
解：把点 代入二次函数 中，
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得： ，
解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；
【小问2详解】
解：二次函数的图象如图所示：
；
【小问3详解】
解：由图象可得：当 时，x的取值范围是 ．
20. 如图，在 中， ， 于点D， ， ，求 及 的
长．
【答案】 ，
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【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，由 ， ， ，利用勾股定理求出
，即可求 ，在 中，求出 ，再利用在 中，
，即可求出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ，
在 中， ，
∴ ．
21. 已知：如图，在 中， ．
求作：射线 ，使得 ．
作法：①以点A为圆心， 长为半径画圆；
②延长 交 于点D，以点D为圆心， 长为半径画弧，与 交于点P（点C，P在线段 的同
侧）；
③作射线 ．
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为
射线 即 所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 ．
∵ ，
∴点C在 上．
∵ ，
∴ （____________）（填推理依据）．
∵ ，
∴ ______．
∴ ．
【答案】（1）见解析 （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理：
（1）按照所给作法利用尺规作图即可；
（2）利用圆周角定理证明相关角的大小关系，通过等量代换可得结论．
【小问1详解】
解：画图．
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【小问2详解】
解：补全后证明过程如下：
证明：连接 ．
∵ ，
∴点C在 上．
∵ ，
∴ （一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，点B在双曲线
上，且满足 ，连接 ．
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（1）求双曲线 的表达式；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明 ，得出 ，
根据 中， ，得出 ，求出 ， ，求
出B的坐标为 ，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：
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则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵A的坐标为 ，
∴ ， ．
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
∴B的坐标为 ，
∴将 代入 得 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，解直角三角形，相似三角形的判定和
性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定方法．
23. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 ，其
中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 测得塔顶A的仰角为
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，然后沿 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 ．请根据他们的测量数据求
塔高 的长度大约是多少．（参考数据： ， ， ， ，
， ．）
【答案】塔高 的长约为22.5m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，由题意，得 ，
， ， ，结合等角对等边，得 ， ，
代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：根据题意，得 ， ， ， ．
∴ ， ， ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
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设AG为 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
答：塔高 的长约为22.5m．
24. 如图， 是 的直径，点 在 上，点 为 的中点，过点 作 的切线，交 延长线
于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）作射线 交 的延长线于点F，若 ， ，求 的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆、矩形的判定和性质、切线的性质；
（1）连接OC，由垂径定理证明 ，由直径所对圆周角等于90°，以及切线性质可以等到四边形
DECP的三个内角等于90°，由三个角是直角的四边形是矩形得出结论．
（2）解 中， ， ，在 中，求出 ，进而求出 ，平行
线分线段成比例定理可得 ，由此得出 ．
【小问1详解】
证明：连接OC
∵AB为 直径，C为 上一点，
∴ ，∴ ，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵DP是 的切线，D为切点，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
如图补全图形，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵矩形DECP对边平行，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
25. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，
小静和小林分别站在点O和点A处，测得 距离为 ，若以点O为原点， 所在直线为x轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面 的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线 ：
的一部分，小静恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 ：
的一部分．
（1）抛物线 的最高点坐标为______；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，若小林成功接
到小静的回传沙包，则n的整数值可为______．
【答案】（1）
（2） ，
（3）4或5
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）依据题意，由抛物线 ： 可得最高点坐标，进而可以得解；
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（2）依据题意，可得 ，将 代入抛物线 ： ，从而得解析式，再令 ，
可得c的值；
（3）依据题意，根据点B的取值范围代入解析式可求解．
【小问1详解】
解：由题意，∵抛物线 ： ，
∴抛物线 的最高点坐标为的 ．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：由题可得点 ，将 代入抛物线 ： ，
得 ，
∴抛物线 ： ．
∴当 时， ；
【小问3详解】
解：∵小林在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴此时，点B的坐标范围是 ，
当经过 时， ，
解得： ．
当经过 时， ，
解得： ，
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，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
故答案为：4或5．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）当 时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大
而增大，求a的取值范围；
（3）当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的
取值范围．
【答案】（1）
（2）a的取值范围是 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和
分类讨论的思想进行解答．
（1）当 时， ， 为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把 ， 代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分 和 ，由函
数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据 确定m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ， 为抛物线上的对称点，
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∴ ，
抛物线的对称轴 ；
【小问2详解】
解：∵ 过 ， ，
∴ ， ， ，
∴对称轴 ．
①当 时，
∵ 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
∴ ．
②当 时，
的
∵ 时，y随x 增大而增大，
∴ ， ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 或 ；
【小问3详解】
解：∵点 在抛物线 上，
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，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴对称轴为直线 ，
①如图所示：
，
且 ，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，m的取值范围为 或 ．
27. 在 中， ， ，点M为 的中点，连接 ，点D为线段 上一动
点，过点D作 ，且 ，（点E在 的上方），连接 ，过点E作 的垂线交
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边于点F．
（1）如图1，当点D为 的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出 和 的数量关系为______；
（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②
（2）当点D在图2位置时，仍满足 ，见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②分别证明 ， 是等腰直角三角形，利用等腰
直角三角形的性质即可证明；
（2）设 与 交于点N，连接 ，证明 ，利用等腰三角形的性质即可
证明．
【小问1详解】
解：①补图．
②如图1，过点E作 的垂线交 边于点F．
， ，点M为 的中点，
， ，
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，
是等腰直角三角形，
点M，F重合，
，
，
是等腰直角三角形，
，且 ，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当点D在图2位置时，仍满足 ，
证明：如图，设 与 交于点N，连接 ，
∵ ， ，M为 中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
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，
∴ ，
∴ ，
在
∵ 和 中， ， ， ，
∴ （即 ），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰
三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的
关键．
28. 对于在平面直角坐标系中 和 外的点P，给出如下定义：已知 的半径为1，若 上存在点
Q，满足 ，则称点P为 的关联点．
（1）如图，若点T的坐标为 ，
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①在点 ， ， 中，是 的关联点的是______；
②直线 分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在 的关联点，求b的取值范围；
（2）已知点 ， ， ， 上的每一个点都是 的关联点，直接写出m的取
值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①求出三点到圆心的距离，通过关联点定义判断；
②分类讨论，画出临界点，求出临界点是b的值，从而求出b的取值范围；
（2）分类讨论，通过画图发现数量关系，通过解不等式求出m的取值范围．
【小问1详解】
解：①由关联点的定义可知，当 时，点P为 的关联点，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
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∴点 和点 是 的关联点；
故答案为： ；
②如图所示，点P在直线 上， ，且 ，
由直线 分别交x轴，y轴于点 ，得 ， ，
当线段 在第二象限时，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
即 ，
解得 ，
另外当 时，线段 在 内部，此时线段 上没有 的关联点，
则得 ，
当线段 在第四象限时，同理可得 ；
综上所示，当得 或 时，线段AB存在⊙T的关联点；
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【小问2详解】
解：如图所示，
由 上的每一个点都是 的关联点，可知 需在以T为圆心1和3为半径，所构成的圆环
中，
①若点T在第二象限，可得 ，点T到 距离大于1方能保证 在圆环内，
得 ，
解得 ，
②若点T在第一象限，可得 ，点T到线段 的距离大于1方能保证 在圆环内，
得 ，解得 ，
设直线 解析式为 代入点 ， 得直线 解析式为 ，
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∵ ，
∴
∴ ，
过点T作 轴，交 于点E，作 ，交 于点F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
由 ，得
解得 ，
得 ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查新定义概念的判断，解不等式，勾股定理、相似三角形的性质和判断，待定系数法求函
数解析式，难点在于分类讨论画图象并通过图象得到不等式，从而解出取值范围．
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