文档内容
北京新学道临川学校 2021—2022 年度第一学期期末试卷
初二数学
一．选择题（本题共6道小题，每题3分，共18分）
1. 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：由轴对称图形的概念可得：第一、二个图案是轴对称图形，第三、四个图案不是轴对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、幂 的乘方与积的乘方的法则判断即可．
【详解】解：A、 ，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项不合题意；
D、 ，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握相对应运算法则是解决本题的关键．3. 如果点 和点 关于 轴对称，则 的值是（ ）
A. 1 B. C. 5 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出 a，b的值，进而得出答
案．
【详解】解：∵ 和点 关于x轴对称，
∴ ， ，
则 ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A. x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10
C. x2-8x+16=（x-4）2 D. x2＋1＝x（x＋ ）
【答案】C
【解析】
【分析】因式分解是将多项式写成整式的乘积形式，左边是多项式，右边是整式的乘积。符合这个定义的
便是因式分解．
【详解】解：A、 x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x 右边不是乘积形式，故错误．
B. （x+5）（x-2）=x2+3x-10 右边不是乘积形式，故错误．
C. x2-8x+16=（x-4）2 符合因式分解定义，故正确．
D. x2＋1＝x（x＋ ）因式分解要写成整式的乘积形式，而 是分式，故错误．
综上，本题应该选择C．
【点睛】本题考查因式分解的定义，关键在于正确理解因式分解。
5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在( )A. 的三条中线的交点 B. 三边的中垂线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质判断即可．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择在 三条角平分线的交点．
故选：C
【点睛】本题考查角平分线的性质在实际生活中的应用，掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
6. 如图，在 中， ，点E，F分别是 的边 、 的中点，边 分别与
、 相交于点H，G，且 ， ，连接 、 、 ，现在下列四个结论；①
，② 平分 ，③ ，④ ．则其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】①四边形 中，由四边形的内角和求 即可；
②由题意可知 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，连接 ， ，推导出， ，再由 ，即可证明 是 的角平分线；
③ 先 求 出 ， 再 推 导 出 ， 在 直 角 中 ，
；
④由题意可知 ， ，又由当 时，
，可知 不是等边三角形，则 ．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，故①符合题意；
连接 ， ，
是 的中点， ，
是 的垂直平分线，
是 的中点， ，
是 的垂直平分线，
， ， ，
， ， ， ，
， ，
，，
，
平分 ，故②符合题意；
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，故③符合题意；
， ，
， ，
当 时， ，
，
，
，
不是等边三角形，
，故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，线段垂直平分线
的性质是解题的关键．
二．填空（本题共6道小题，每题3分，共18分）
7. 若 成立，则x的取值范围是________．
【答案】【解析】
【分析】根据任何不为零的数的零次幂都等于1进行求解即可．
【详解】解：∵ 成立，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了零指数幂定义，熟记定义是解题的关键．
8. 使分式 有意义的条件为________
【答案】
【解析】
【分析】使分式的分母不等于 即可求解．
【详解】解：要使分式 有意义，
则 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解决本题的关键．
9. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式m后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案 为：
【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是明确将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有
没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑
用公式法继续分解因式．
10. 正五边形每个内角的度数为 _____．
【答案】 ##108度
【解析】
【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式 求出内角和，然后除以5即可；
方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列
式计算即可得解．
【详解】解：方法一： ，
；
方法二： ，
，
所以，正五边形每个内角的度数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角
的关系先求外角的度数更简单一些．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，在y轴取一点C，使△ABC
为等腰三角形，符合条件的点C有_____________个．
【答案】【解析】
【分析】分三种情况讨论，以 分别为顶点，以 为圆心， 的长为半径交 轴于点 ，有3
个，作 的垂直平分线，交 轴于 ，有1个点，即可求解．
【详解】解：如图，以 分别为顶点，以 为圆心， 的长为半径交 轴于点 ，有3个，作
的垂直平分线，交 轴于 ，有1个点
∴使 为等腰三角形，符合条件的点 有 个，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握三角形的性质是解题的关键．
12. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使 AMN
周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． △
【答案】120°
【解析】
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得
△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方
程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形
内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
三．（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）
（2）【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先进行乘方、立方根及算术平方根、绝对值和零指数幂的计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算及多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握乘方、立方根、算术平
方根、绝对值和零指数幂的运算，及多项式除以单项式运算法则．
14. （1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）按照分式的乘法法则运算即可；
（2）按照异分母分式的加减法法则运算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
【点睛】本题考查分式的化简，掌握分式的运算法则和公式是解题的关键．
15. 解分式方程．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）无解 （2） 3
【解析】
【分析】（1）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分
式方程的最简公分母为0；
（2）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分式方程的
最简公分母为0；
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
经检验 不是原方程的解，所以原方程的解无解；
【小问2详解】
，
，
，
，
经检验 是原方程的解，
所以原方程的解为： ．
【点睛】本题考查分式方程的解法，解题时注意要检验．
16. 先化简，再求值： ，其中x=2,y=-1．
【答案】2x+y；3．
【解析】
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进行计算
即可．
【详解】解：[（2x+y）2-（2x-y）（2x+y）]÷（2y），
=[4x2+4xy+y2-4x2+y2]÷（2y），
=（4xy+2y2）÷（2y），
=2x+y，
当x=2，y=-1时，
原式=2×2+（-1）=3．
【点睛】本题主要考查对整式的加减、除法，完全平方公式，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练
地运用性质进行计算是解此题的关键．
17. 如图， 是等腰三角形， ， ．（1）尺规作图：作 的角平分线 ，交 点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断 是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】（1）见详解，
（2） 是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线的定义求出 ，再利用三角形
内角和定理求出 ，可得 ，则 是等腰三角形．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
是等腰三角形；
理由：∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ ，∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 是等腰三角形．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线
的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键．
四．（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
【答案】（1）∠DCB＝30°；（2）27．
【解析】
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线
段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过等量代换即可求得
△ABC的周长．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB 70°，∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB= AC+BC+BD+DA＝AC +BC+BD+DC＝10+17＝27．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解
题关键．
19. 如图，在 中， ， ， ，垂足为 ， ，垂足为 .
求证：（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠CEB=90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCE=∠CAD，
再利用“角角边”证明 ACD和△CBE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵ ，
∴
∴∴
在 中
∴ (AAS)
（2）证明：∵
∴ ，
∵
∴
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定
与性质.
20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），
在直线 的左侧，其三个顶点 ， ， 分别在网格的格点上.
（1）请你在所给的网格中画出 ，使 和 关于直线 对称；
（2）在直线 上找一点 ，使得 最小，请画出点 ；（用虚线保留画图痕迹）
（3）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出 的面积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】（1）分别作出 ， ， 关于直线 的对称点 ，顺次连接即可；
（2）连接 与直线 交于点 ，此时 最小；
的
（3） 面积等于矩形的面积减去三个三角形的面积.
【详解】解：（1）如图所示， 和 关于直线 对称；
（2）如图，连接 与直线 交于点 ，此时 最小；
（3） 的面积= = .
【点睛】本题考查了轴对称的有关知识，掌握轴对称的作图及性质是解题的关键.
五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，等边△ABC的边长为12cm，点P、Q分别是边BC、CA上的动点，点P、Q分别从顶点B、C
同时出发，且它们的速度都为3cm/s．
（1）如图1，连接PQ，求经过多少秒后，△PCQ是直角三角形；（2）如图2，连接AP、BQ交于点M，在点P、Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？若变化，请
说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）经过 秒或 秒，△PCQ是直角三角形（2）∠AMQ的大小不变
【解析】
【分析】（1）分两种情形分别求解即可解决问题；
（2）由 AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝
∠ABC＝△60°即可．
【详解】（1）设经过t秒后， PCQ是直角三角形．
由题意：PC＝（12﹣3t）cm，△CQ＝3t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
当∠PQC＝90°时，∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴12﹣3t＝6t，
解得t＝ ；
当∠QPC＝90°时，∠PQC＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴3t＝2（12﹣3t），
解得t＝ ，
∴经过 秒或 秒， PCQ是直角三角形；
△（2）结论：∠AMQ的大小不变．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
∵点P，Q的速度相等，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△AB≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
思想思考问题，属于中考常考题型．
22. 为了帮助湖北省武汉市防控新冠肺炎，某爱心组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物资共
2000件送往灾区，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件
数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同．
（1）求甲、乙两种救灾物资每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对甲种物资的需求量不少于乙种物资的1.5倍，该爱心组织共需要购买2000件物资，
请问乙种物资最多能购买多少件？
【答案】（1）甲每件70元，乙每件60元
（2）乙种物资最多能购买800件
【解析】
【分析】（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，由题意列出分式方程，
即可得出结果；
为
（2）设购买乙种物品件数 m件，由题意列出不等式，即可得出结果．
【小问1详解】
解：设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得： ，
解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，
∴x+10=60+10=70，
答：甲、乙两种救灾物资每件的价格分别为70元、60元；
【小问2详解】
解：设购买乙种物品件数为m件，
根据题意得：2000-m≥1.5m，
解得：m≤800，
∴乙种物资最多能购买800件．
答：乙种物资最多能购买800件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的分式方程和不等式，注意分式方程要检验．
六．（本大题共12分）
23. 如图、等腰 中， ，E点为射线 上一动点，连接 ，作
且 ．
（1）如图1，过F点作 交 于G点，则 与 的数量关系是_____________．
（2）如图2，连接 交 于G点，若 ，求证：E点为 中点；
（3）如图3，当E点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于D点，若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等得到 ，证明 ，根据全等三角形的性
质可得结论；
（2）过点F作 于D，证明 ，得到 ，进而求出 ，证明
结论；
（3）过点F作 交 的延长线于H，由（1）（2）可知， ，
根据全等三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
证明：如图2，过点F作 于D，
∵ ，∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即E点为 中点；
【小问3详解】
解：如图3，过点F作 交 的延长线于H，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）（2）可知， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
