文档内容
2024~2025 学年度上学期高三期初试卷
数学
2024.9
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】借助百分位数定义计算即可得.
【详解】由 ，故这组数据的中位数为 .
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，则 .
故选：B.
3. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A. 4 B. C. 6 D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由于 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，故
的最小值为 .
故选：B
4. 由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将 组成没有重复数字的三位数，共有 种，
而其中偶数有两种情况：
①以 为个位数的三位数，是 ，共有2种
②以 为个位数的三位数，是 ，共有2种
所以，这个三位数是偶数的情况共有 种，
所以，这个三位数是偶数的概率为事件 ，则 .
故选：A.
5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，正三棱锥 ， ，
取 中点 ，连接 ，取等边三角形 的中心 ，连接 ，
由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，
∴ 平面
即三棱锥 的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：C
6. 随机变量 服从 若
则下列选项一定正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为
由正态分布的对称性，可得 ，正态分布方差无法判断，
， ，
所以ABD错误.
故选:：C
7. 已知正方体 的棱长为 ，点 为侧面四边形 的中心，则四面体 的外
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学科网（北京）股份有限公司接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图：取 中点 ，连结 ，
因为 的棱长为 的正方体，
所以 ，且 ，
所以四面体 的外接球的球心为为 ，且外接球半径 ，
所以四面体 的外接球的体积 .
故选：D.
8. 已知定义域为R的函数 ，满足 ，且
，则以下选项错误的是（ ）
A. B. 图象关于 对称
C. 图象关于 对称 D. 为偶函数
【答案】B
【解析】对于A，令 ，则 ，所以f (1)=0，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，令 ，则 ，即 ，
解得： 或 ，因为 ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
所以 图象不关于(2,0)对称，故B错误；
对于C，令 ，则有
即 ，故 图象关于(1,0)对称，故C正确.
对于D，令 ，则有
即 ，即 ，
即 ，因为函数 的定义域为R，
所以 为偶函数，故D正确.
故选：B.公众号：高中试卷君
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】对于A选项， ，A错误；
对于B选项， ，B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C选项， ，C正确；
对于D选项， ，D正确.
故选：CD.
10. 已知事件A与B发生的概率分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以 ，不一定成立，故A错误；
对于B，由于 ，则 ，
则 ，故B正确；
对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以 ，也不一定成立，故C错误；
对于D， ，故 ，故D正确；
故选：BD.
11. 函 数 y=f (x)的 定 义 域 为 ， 区 间 ， 对 于 任 意 ， ， 恒 满 足
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学科网（北京）股份有限公司，则称函数 在区间 上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的
是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】AD
【解析】对A： ， ，
，
由 在(0,+∞)上单调递增，故其等价于 ，
化简可得 ，故满足题意，故A正确；
对B： ， ， ，
取 ， ，可得 ， ，
又 ，故此时不满足题意，故B错误；
对C： ， ， ，
化简得 恒成立，不满足题意，故C错误；
对D： ， ， ，
左右平方后化简可得 ，故满足题意，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，
并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
【答案】
【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数 满足二项分布 ，
所以
故答案为：
13. 已知二次函数 从1到 的平均变化率为 ，请写出满足条件的一个二次函数的表达式
_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设f (x)=ax2+bx+c，
则 ，
由题意知 ，解之得 ，
显然c的取值不改变结果，不妨取 ，则 .
故答案为：
14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持
与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半
径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空
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学科网（北京）股份有限公司心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．
【答案】
【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，
由对称性知，勒洛四面体 内切球球心是正四面体 的内切球、外接球球心 ，
正 外接圆半径 ，正四面体 的高 ，
设正四面体 的外接球半径为 ，在 中， ，解得 ，
因此，勒洛四面体 内切球半径为 .
故答案为： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券
的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行
结算．
（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望 ．
【答案】（1） （2）答案见详解
【解析】【小问1详解】
从6张奖券中，任取2张奖券共有 种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，
所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为 .
【小问2详解】
的所有可能取值为80，85，90，
，
，
，
的分布列为：
80 85 90
.
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 平面
， ，E，F分别是棱 ， 的中点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】【小问1详解】
如图，连接 ，因为 分别为 的中点，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ， 是平面 内两条相交直线，
平面 ，又 平面 ，
，
所以 两两互相垂直，
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系．
则A(0,0,0)， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，即 ，令 ，得 ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
设二面角 的平面角为 ，
，则 .
所以二面角 的正弦值为 .
17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”： ，当且仅当
时， 等号成立．公众号：高中试卷君
（1）证明“三元不等式”： ．
（2）已知函数 ．
①解不等式 ；
②对任意x∈(0,+∞)， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② .
【
【解析】 小问1详解】
因为 ，
则
（当且仅当 时取等），
所以 （当且仅当 时取等），
同理 （当且仅当 时取等），
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学科网（北京）股份有限公司（当且仅当 时取等），
三式相加可得：
，
又因为 ，
所以 ，
所以 （当且仅当 时取等）.
【小问2详解】
①由 可得： ，
所以 ，即 ，
即 ，则 ，
所以 ，
.
解得：
②因为当x∈(0,+∞)时， ，
当且仅当 ，即 时取等，
所以当x∈(0,+∞)时， ，
对任意x∈(0,+∞)， 恒成立，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得： .
所以实数 的取值范围为： .
18. 在 如 图 所 示 的 平 行 六 面 体 中 ， ，
．
（1）求 的长度；
（2）求二面角 的大小；
（3）求平行六面体 的体积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【小问1详解】
根据图形可知： ，
则
；
【小问2详解】公众号：高中试卷君
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学科网（北京）股份有限公司作 ，则 等于二面角 的一个平面角，
因为 ， ，
则 ，
易知
，
所以 ，所以 ，
即二面角 的大小为 ；
【小问3详解】
由（2）知 平面 ，而四边形 的面积 ，
则平行六面体 的体积 .
19. 已知函数 ．
（1）函数 是否具有奇偶性?为什么?
（2）当 时，求 的单调区间；
（3）若 有两个不同极值点 ， ，证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）函数 不具有奇偶性
（2） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（3）证明见解析
【解析】【小问1详解】
，而 ，
显然 ，且 ，
所以 既不是奇函数，也不是偶函数，故函数y=f (x)不具有奇偶性.
【小问2详解】
时， ，
，
故当 时，f′(x)>0， 在 上单调递增，
当 时，f′(x)<0， 在(0,+∞)上单调递减，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为(0,+∞)
【小问3详解】
，
因为 有两个不同极值点 ， ，故 即 有两个不等的实根，
令 ，所以 有两个不等的正数根 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，得 ，且 ，
所以
，
设 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据题意转化为 有两个不等的正数根 ，进
而得 ，且 ，再得
，利用单调性可证 .
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学科网（北京）股份有限公司
