江苏省如皋中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学详细答案_A1502026各地模拟卷（超值！）_9月_2409162025江苏省如皋中学高三上学期期初考试

江苏省如皋中学2024—2025学年度高三年级测试 数学答案 1.【答案】A 【详解】因为 ， ， 所以 ，所以 ， 即图中阴影部分表示的集合为 .故选：A 2. 【答案】B 【详解】设圆锥母线长为 ，高为 ，底面半径为 ， 则由 ，得 ，所以 ， 所以 ．故选：B． 3. 【答案】C 【详解】设抛物线方程为 或 ， 依题意知 ，∴ .∴抛物线方程为 .故选：C. 4. 【答案】C 【详解】 ，所以 或 ，所以 或 ， 所以方程 的实数解有2个.故选：C. 5. 【答案】B【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，由题可知 ， ， 1 1 2 2 则 ，所以 ，即 ，解得 ， 所以 ，则 ，所以 ，故选：B． 6. 【答案】B 【详解】由圆 的方程为 可得圆心 ，半径 ， 若圆与函数 相交，则圆心到直线 的距离 ， 的 即 ，若函数 图象与圆 有四个公共点，则原点在圆的外部， 即 ，解得 ， 综上函数 的图象与圆 有四个公共点则 ， 所以“ ”是“函数 的图象与圆 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B 7. 【答案】D 【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上，所以 ．又 ， ， ，所以 ， 解得 ， ， 所以 ，所以 是直角． 在 中， ，所以 ，解得 ， 所以 ，即 ．又 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点P(x ,y )，所以 ，所以点P(x ,y )的坐标满足 ，解得 ， 0 0 0 0 所以 ，故 .故选：D． 8. A 解：试题分析：如图所示，设 ，因为 ，所以 ， ， 所以 ，解得 ，所以 ， ，在 中，由余弦定理得 ，化为 ，所以 ，化简得 ，所以 ， 9. 【答案】CD 【详解】对于A，若 ，则 可化为 ， ， ， ∴ ∴ 即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故A不正确； 对于B，若 ，则 可化为 ，此时曲线C表示圆心在原点，半 径为 的圆，故B不正确；对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线C表示双曲线，由 可得 ，故C正确； 对于D，若 ， ，则 可化为 ， ，此时曲线C表示平行 于x轴的两条直线，故D正确． 故选： CD. 10. 【答案】BC 【详解】对于A，在正方体 中，可得 平面 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以二面角 的平面角为 ，其中 ，所以A错误； 对于B，如图所示，当M为 中点， 为 中点时， 在正方体 中，可得 ， 因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又因为 ，且 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，所以B正确； 对于C，如图所示，取 中点 ，连接 ， ， ， 在正方体 中， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，可得 ，则 ， 则点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心、半径为2的劣弧， 分别交 ， 于 ，如图所示，则 ， 结合对称性可知， ， 则 ，劣弧 的长为 ，所以C正确； 对于D，当 为 中点时，可得 为等腰直角三角形，且平面 平面 ， 连接 与 交于点 ，可得 ， 所以四棱锥 外接球的球心即为 与 的交点 ， 所以四棱锥 外接球的半径为 ，其外接球的体积为 ，所以 D错误.故选：BC. 11. 【答案】ACD 【详解】由抛物线 ，可得焦点坐标 ，准线方程为 ， 因为抛物线 上存在一点 到其焦点的距离为 ， 由抛物线的定义可得 ，可得 ， 所以抛物线的方程为 ，所以A正确；设 ，显然直线 的斜率存在且不为0，设斜率为 ， 可得 的方程为 ， 联立方程组 ，整理得 ， 因为 是抛物线的切线，所以 ，即 ， 且点 的纵坐标为 ，代入抛物线方程，可得 横坐标为 ，即 ， 设直线 的斜率存在且不为0，设斜率为 ， 同理可得： ，且 ， 所以 是方程 的两个不等式的实数根，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以D正确； 由 ，且 ，可得 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 又由 ，可得 ， 所以 ，即 ， 所以直线 一定过定点 ，该点不是抛物线的焦点，所以B不正确. 由直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，且 ，联立方程组 ，整理得 ，所以 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立， 即 的最小值为 ，所以C正确.故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 过点 的等轴双曲线的方程为 . 13. 过点 的直线l与曲线 有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围 为 ． 【答案】 ． 【分析】根据题意，将曲线 ，变形为 ， ，分析可得其为圆的上部 分， 结合直线与圆的位置关系即可． 【详解】由题意可设直线 ，又曲线 可化为 ， ， 作出直线l与曲线 的图象如图所示： 设图中直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ， 则 ， ， ， 又直线 的方程为 ， 圆心 到直线 的距离为 ，解得 （舍去）或 ，要使两图象有两个不同的交点，则 ．故答案为： 14. 已知过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 ，设点 为曲线 的切点， 则切线方程为 ，整理得 ， 将点 代入可得 ． 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减． 又 ， ， 当 时，方程 有3个不同的实数根， 即当 时，有3个不同的 满足方程 ， 即过点 可作三条直线与曲线 相切． 故答案为： . 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 ． (1)求函数 的极值； (2)求函数 在区间 上的最小值 ．【详解】（1） ， 由 ，得 ；由 ，得 ． 在 上单调递增，在 上单调递减． 的极小值为 ，无极大值． （2）由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减． ， ． ①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， ②当 时， 在 上单调递增， ． . 16. 【详解】（1）依题意设点 ，因 ，且 ， 由对称性知抛物线的准线 方程为 ，则 ，解得 ， ， ， 于是 ． 从而得椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ． （2）由于准线 方程为 ，依题意设 ，则 ． 因 ，则 ，得直线 方程为 ①， 将①式代入 中化简，得 ， 设 ，由韦达定理得 ，则 ，即 ，则 ，于是得直线 方程为 ， 令 ，解得 ，即 ．则 ， 于是 ，化简得 ，即得 ， 代入①式化简，得直线 方程为 ，或 . 17. 【详解】（1）直三棱柱 的体积为： ， 则 ，四边形 为正方形， 法一：在直棱柱 中， 面 ， ， 又 平面 ，则 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 在正方形 中，有 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ． 法二：直棱柱 ， 平面 ，又 ，以 为原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ． （2）由（1）得 ， 设 ，在 中，过 作 于 ，连接 ， 因为 ， ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ， 所以 为二面角 的平面角， 因为 ， ，得 ， 又在 中， ，得 ， ， 所以二面角 的余弦值为 ． 法二： ， ， ， ， ，， ，设平面 的法向量： ， 则 ，取 ，得 ， ， ，设面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， 设二面角 的大小为 ，则： ， 因为 为锐角，所以二面角 余弦值为 ． 18.解：因为拋物线 的焦点为 ，所以直线 的斜率 ， 因为双曲线 的一条渐近线与 平行，所以 ，即 .又因为双曲线 的焦距为 ，即 ， 所以 ，所以双曲线 的方程为 . 【小问2详解】 双曲线 的右焦点为 ， 由题意知直线 的斜率存在且不为0， 设直线 的方程为 ，联立 ，消去 得 ， 且 ，所以 ， 将 代入 得 ，所以 . 直线 方程为 ，与直线 联立， 可得 ， 因为 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以 为 的中点，即 . 19. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数． (1)讨论 的单调性； (2)若方程 有两个不同的根 ． (i)求 的取值范围； (ii)证明： ． 【详解】（1）由题意得 ， ，则 ， 由 ，解得 ．显然 ， 若 ，则当 时， 单调递增，当 时， 单调递减；若 ，则当 时， 单调递减，当 时， 单调递增． 综上，当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减； 当 时， 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增． （2）（i）由 ，得 ， 设 ，由(1)得 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减， 又 ，当 时， ，且当 时， ， 所以当 时，方程 有两个不同的根，即方程 有两个不同的根，故 的取值范围是 ． （ii）不妨设 ，则 ，且 ． 解法一： 当 时， ，即 ； 当 时， ． 设 则 所以 在区间 内单调递增， 则 ，即 ，所以 又 在区间 内单调递减， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ， 故 ，所以 ，得证． 解法二： 设 ， ， 则 ， 所以 在区间 内单调递增， 又 ， 所以 ，即 ． 又 ，所以 ， 又 在区间 内单调递减． 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，得证．