文档内容
2024~2025 学年度上学期高三期初试卷
数 学
2024.9
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，则A∩B＝
A．{3，4} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{2，3，4}
3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为
A．4 B．4 C．6 D．8
4．由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为
A． B． C． D．
5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为
A．3 B． C． D．
6．随机变量X服从N(μ，σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，则下列选项一定正确的是
A．P(X|≥3)＝1 B．σ＝1
C．μ＝2 D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝1
7．已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，点N为侧面四边形CDD C 的中心，则四面
1 1 1 1 1 1
体NCB C 的外接球的体积为
1 1
A．2π B．4π C．2π D．
8．已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)＝
0，则以下选项错误的是
A．f(1)＝0 B．f(x)图象关于(2，0)对称C．f(x)图象关于(1，0)对称 D．f(x)为偶函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列求导运算正确的是
A．(e3x)′＝3ex B．()′＝x
C．(2sinx－3)′＝2cosx D．(ln)′＝
10．已知P(A)＝，P(B)＝，则下列说法正确的是
A．P(AB)＝ B．P(A|B)＞ C．P(A＋B)＝ D．≤(B|A)≤1
11．函数y＝f(x)的定义域为I，区间D I，对于任意x ，x∈D(x≠x)，恒满足f()≥，则称
1 2 1 2
函数f(x)在区间D上为“凸函数”⊆．下列函数在定义域上为凸函数的是
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝ex C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题
的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 ▲ ．
13．已知二次函数f(x)从1到1＋x的平均变化率为2x＋3，请写出满足条件的一个二次
函数的表达式f(x)＝ ▲ ．
14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由
滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图)．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶
点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成
勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内
放入一个球，则该球的球半径最大值是 ▲ ．
第14题(图)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有 8折、8.5折、9折的奖券各
2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按
照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及
数学期望E(X)．
16．(15分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA＝2，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面 PAB，
PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．
(1)证明：DF∥平面ACE；
(2)求二面角A－CE－B的正弦值．
(第16题图)
17．(15分)
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，
b∈R)，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab等号成立．
(1)证明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，＋∞)) ．
(2)已知函数f(x)＝x2＋．
①解不等式f(x)≥5；
②对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求实数m的取值范围．18．(17分)
在如图所示的平行六面体 ABCD－ABC D 中，∠AAB＝∠AAD＝45°，∠BAD＝
1 1 1 1 1 1
60°，AB＝1，AD＝2，AA＝2．
1
(1)求AC 的长度；
1
(2)求二面角B－AA－D的大小；
1
(3)求平行六面体ABCD－ABC D 的体积．
1 1 1 1
(第18题图)
19．(17分)
已知函数f(x)＝＋ax．
(1)函数y＝f(x)是否具有奇偶性?为什么?
(2)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)有两个不同极值点x，x，证明：f(x)＋f(x)＜．
1 2 1 2
