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高三年级暑期检测
数 学
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． 或2 C． 或2 D． 或
3．函数 在 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4 ． 已 知 函 数 ， 若 对 任 意 ， 都 有
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．命题“ ”为假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的定义城为 ，且满足 ，且当 时，，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
8．已知函数 ，若对任意 ，有 成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．下面命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
10．下列命题中正确的是（ ）
A． 的最小值是2
B．当 时， 的最小值是3
C．当 时， 的最大值是5
D．若正数 满足 ，则 的最小值为3
11．已知函数 的定义域为 ，其图象关于 中心对称，若 ，则下列正
确的是（ ）
A． B．C． 为奇函数 D． 为偶函数
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数 是偶函数，则实数 ______．
13．集合 ，若 ，则实数 的取值
范围为______．
14．记 表示 个元素的有限集， 表示非空数集 中所有元素的和，
若集合 ，则 ______；若 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设集合 ． ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16．（本小题满分15分）
随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐
了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽
取了100名学生统计得到如下列联表：
使用智能辅导系 未使用智能辅导系统 合计
统
入学测试成绩优秀 20 20 40
入学测试成绩不优秀 40 20 60
合计 60 40 100
（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机
抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.70
3.841 5.024 6.635
6
17．（本小题满分15分）定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
18．（本小题满分17分）
在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形， 为线段 的中点，
为线段 上的动点， ．
（1）证明： ；
（2）求实数 的值，使得平面 与平面 所成角的余弦值最大．
19．（本题满分17分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 是 的极小值点，求 的取值范围．高三年级暑期检测
数学
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．
【答案】C 8．【答案】B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分．
9．【答案】BC 10．【答案】BCD
11．【答案】ACD
【详解】A选项， 的定义域为R，其图象关于 中心对称，故 ，故
，A正确；
B 选 项 ， 由 题 意 得 ， 又 ， 故
，令 得 ，即 ，
B错误；
C选项，由题意得 ，即 ，
令 ，则 ，所以 为奇函数，C正确；
D选项，因为 ，所以 ，
即 ，故 ，
令 ，则 ，故 为偶函数，D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
13．【答案】14．【答案】 21
【详解】当 时， 表示3个元素的有限集，
由 可知： 或 或 或 ，故 ；
由题， ，由 ，
即 ，解得 或 （舍去），
由 ，故 的最小值为21，
四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
【详解】（1） ，
当 时 ；
当 时，由 得： ，即 ；
综上， ；
（2）由题得， ，所以 ，且等号不同时成立，解得 ，所以实数 的取值范围为
．
16．【详解】（1） ，
没有 的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；
（2） 人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀，
的取值可能为0、1、2，
，
分布列为：
0 1 2．
17．解：（1） 是奇函数， ，即 ，解得 ，
又由 知： ，解得 ．
此时， ，即 是奇函数．
故 ．
【或】 是奇函数，
，即 恒成
立．
或
当 时， 的定义域为 ，舍去，
故 ．
（2）由（1）知 ，则 在 上为减函数，
又 是奇函数，由 得： ，
，即 在 上有解，
当且仅当 ，即 时等号成立，在 上的最大值为 ，
，即 ．
18．【详解】
（1）略；
（2）如图分别以 所在的直线为 轴，
不妨设 ，则 ，
，设 ，
则 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
所以 ，取 ，则 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时，即 时， ．
19．【详解】（1）当 时， ，
设 ，则 ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 取得极大值 ，所以 ，
所以 在 上单调递减；
（2） ，
设 ，则 ，
（ⅰ）当 时，二次函数 开口向上，对称轴为 ，
当 时， 单调递增，
因为 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点．当 时， ，又 ，
所以存在 ，使得 ，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（ⅱ）当 时， ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 是 的极小值点；
（ⅲ）当 时， 开口向下，对称轴为 ，此时
，故 ，使 ，
当 时， ，因此 在 上单调递增，
又 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 为 的极小值点；
（ⅳ）当 时， ，使 ，
当 时， ，因此 在 上单调递减，
又 ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 为 的极大值点；
（ⅴ）当 时，由（1）知 非极小值点．
综上所述， ．
