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北京市朝阳区 2023~2024 学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）
（考试时间120分钟 满分100分）
考生须知
1．本试卷共8页，28道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
2. 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有 的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 通常温度降到 以下，纯净的水结冰
D. 在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
3. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个
数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图， 是 的弦，若 的半径 ，圆心 到弦 的距离 ，则弦 的长为（
）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片
有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）
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A. B. C. D.
6. 把抛物线 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A. B. C. D.
7. 在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形 （所有顶点都
是网格线交点），在网格线交点 中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8. 用一个圆心角为 （ 为常数， ）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为 ，所作的圆锥
的底面圆的周长为 ，侧面积为 ，当 在一定范围内变化时， 与 都随 的变化而变化，则 与 与
满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
的
9. 方程 根是_________．
10. 的直径为 ，若圆心 与直线 的距离为 ，则 与 的位置关系是______（填“相
交”、“相切”或“相离”）．
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的
11. 抛物线 顶点坐标是__________．
12. 如图，在 中，弦 相交于点 ，则 的度数为______ ．
13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是
检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率
0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为______．
14. 如图， 是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转 ，点B的对应点为 ，连接 ，若
，则图中阴影部分的面积是 ________．
15. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度 ，初速度 ，抛出后所经历的时间 ，这三
个量之间有如下关系： （其中 是重力加速度， 取 ）．将一物体以 的
初速度向上抛，当物体处在离抛出点 高的地方时， 的值为______．
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16. 已知函数 （ 是常数， ）， （ 是常数， ），在同一
平面直角坐标系中，若无论 为何值，函数 和 的图象总有公共点，则 的取值范围是______．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程 ．
18. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一根小于0，求 的取值范围．
19. 已知一次函数 和二次函数 ，下表给出了 与自变量
的几组对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）求 的解析式；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集．
20. 如图，在等腰直角 中， 是 边上任意一点（不与 重合），将线段
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求 的度数；
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（2）若 ，求 的长．
21. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车
经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．
（1）列举出所有可能的情况；
（2）求出至少有一辆车向左转的概率．
22. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的
四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形 中， ．
求证：点 在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点 的 ，
再证明第四个顶点 也在 上．
具体过程如下：
步骤一 作出过 三点的 ．
如图1，分别作出线段 的垂直平分线 ，
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设它们的交点为 ，以 为圆心， 的长为半径作 ．
连接 ，
（①______）．（填推理依据）
．
点 在 上．
在
步骤二 用反证法证明点 也 上．
假设点 不在 上，则点 在 内或 外．
ⅰ．如图2，假设点 在 内．
延长 交 于点 ，连接 ．
（②______）．（填推理依据）
是 的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件 矛盾．
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假设不成立．即点 不在 内．
ⅱ．如图3，假设点 在 外．
设 与 交于点 ，连接 ．
．
是 的外角，
．
．
．
这与已知条件 矛盾．
假设不成立．即点 不在 外．
综上所述，点 在 上．
点 在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
23. 某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场
比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束
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后部分队员的积分表：
比赛场
队员号码 胜场 负场 积分
次
1 10 8 2 18
2 10 10 0 20
3 8 7 1 15
4 8 6 2 14
5 7 0 7 7
（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？
的
（2）如果有一名队员在本次比赛中 积分不低于34分，那么他最多负______场．
24. 如图， 是圆内接四边形 的对角线， 于点 平分 ．
（1）求 的度数；
（2）点 在 的延长线上， 是该圆的切线．
①求证： 是该圆的切线；
②若 ，直接写出 的长．
25. 如图 所示，草坪上的喷水装置 高 ，喷头 一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流
在与喷水装置 的水平距离为 处，达到最高点 ，点 距离地面 ．
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（1）请建立适当的平面直角坐标系 ，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头 能旋转 ，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪
的面积（ 取 ，结果保留整数）．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴
为 ．
（1）若对于 ， ，有 ，求 的值；
（2）若对于 ， ，存在 ，求 的取值范围．
27. 已知线段 和点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 为 的中点，连接 ．
（1）如图1，点 在线段 上，依题意补全图1，直接写出 的度数；
（2）如图2，点 在线段 的上方，写出一个 的度数，使得 成立，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，已知 ．
对于点 给出如下定义：若 ，则称 为线段 的“等直点”．
（1）当 时，
①在点 中，线段 的“等直点”是______；
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②点 在直线 上，若点 为线段 的“等直点”，直接写出点 的横坐标．
的
（2）当直线 上存在线段 两个“等直点”时，直接写出 的取值范围．
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