2015年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2015 年高考天津市理科数学真题 一、选择题 1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A C B=（ ） I U A．2,5 B．3,6 C．2,5,6 D．2,3,5,6,8 ìx+2³0. ï 2．设变量x,y满足约束条件íx- y+3³0. 则目标函数z = x+6y的最大值为（ ） ï 2x+ y-3£0. î A．3 B．4 C．18 D．40 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） A．-10 B．6 C．14 D．18 4．设xÎR，则“|x-2|＜1”是“x2 +x-2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O中， M，N是弦 AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点 M，N，若CM =2，MD=4，CN =3，则线段NE的长为（ ） 8 10 5 A． B．3 C． D． 3 3 2 x2 y2 6．已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，3），且双曲线的一个焦点在抛物线 a2 b2 y2 =4 7x的准线上，则双曲线的方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A． - =1 B． - =1 C． - =1 D． - =1 21 28 28 21 3 4 4 3 7．已知定义在R上的函数 f(x)=2x-m -1（m为实数）为偶函数，记a = f(log 3)，b= f(log 5)， 0.5 2 c= f(2m)，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 第1页 | 共17页ì2-|x|，x£2， 8．已知函数 f(x)=í 函数g(x)=b- f(2-x)，其中bÎR，若函数y = f(x)-g(x)恰有 （ î x-2）2，x＞2， 4个零点，则b的取值范围是（ ） 7 7 7 7 A．( ，+¥) B．(-¥，) C．(0，) D．( ，2) 4 4 4 4 二、填空题 (1-2i)(a+i) 9．i是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数a的 值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的 体积为 m3． 11．曲线 y = x2与直线 y = x所围成的封闭图形的面积 为 ． 1 12．在(x- )6的展开式中，x2的系数为 ． 4x 13 ． 在 DABC中 ， 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 已 知 DABC的 面 积 为 3 15， 1 b-c=2,cosA=- ，则a的值为 ． 4 14．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,AB=2,BC =1,ÐABC =60°。动点E和F 分别在线段BC和 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur DC 上，且BE =lBC,DF = DC，则AE×AF 的最小值为 ． 9l 三、解答题 p 15．已知函数 f(x)=sin2 x-sin2(x- )，xÎR． 6 （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期； é p pù （Ⅱ）求 f(x)在区间 - ， 内的最大值和最小值． ê ú ë 3 4û 第2页 | 共17页16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名。从这8名运动员中随机选择4人参 加比赛。 （Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．如图，在四棱柱 ABCD-ABC D 中，侧棱 AA^底面 1 1 1 1 1 ABCD，AB^ AC，AB =1，AC = AA =2，AD=CD= 5， 1 且点M 和N 分别为BC和DD的中点． 1 1 （Ⅰ）求证：MN 平面ABCD； P （Ⅱ）求二面角D -AC-B 的正弦值； 1 1 1 （Ⅲ）设E 为棱AB 上的点。若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ，求线段AE的长。 1 1 3 1 18．已知数列a 满足a =qa （q为实数，且q ¹1），nÎN*，a =1，a =2，且a +a ，a +a ， n n+2 n 1 2 2 1 3 4 a +a 成等差数列。 4 5 （Ⅰ）求q的值和 a 的通项公式； n log a （Ⅱ）设b = 2 2n ，nÎN*，求数列b 的前n项和． n a n 2n-1 第3页 | 共17页x2 y2 3 19．已知椭圆 + =1(a＞b＞0)的左焦点为F(-c,0)，离心率为 ，点M 在椭圆上且位于第一象限， a2 b2 3 b2 4 3 直线FM 被圆x2 + y2 = 截得的线段的长为c，|FM |= ． 4 3 （Ⅰ）求直线FM 的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 2 ，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围。 20．已知函数 f(x)=nx-xn,xÎR,其中nÎN*，且n³2. （Ⅰ）讨论 f(x)的单调性； （Ⅱ）设曲线y = f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y = g(x)， 求证：对于任意的正实数x，都有 f(x)£ g(x)； a （Ⅲ）若关于x的方程 f(x)=a（a为实数）有两个正实数根x，x ，求证： x -x < +2． 1 2 2 1 1-n 第4页 | 共17页2015 年高考天津市理科数学真题答案 一、选择题 1．答案：A 解析过程： ð B ={2,5,8},所以A ð B ={2,5}，选A U I U 2．答案：C 解析过程： ìx+2³0. ï 不等式íx- y+3³0. 所表示的平面区域如下图所示， ï 2x+ y-3£0. î 当z = x+6y所表示直线经过点B(0,3)时，z有最大值18，选C 3．答案：B 解析过程： 输入S =20,i =1； i =2´1,S =20-2=18,2>5不成立； i =2´2=4,S =18-4=14,4>5不成立 i =2´4=8,S =14-8=6,8>5成立 输出6,选B 4．答案：A 解析过程： |x-2|＜1Û -1＜x-2＜1Û1＜x＜3，x2 +x-2＞0Û x＜-2或x＞1 第5页 | 共17页所以“|x-2|＜1”是“x2 +x-2＞0”的充分不必要条件，选A 5．答案：A 解析过程： 由相交弦定理可知， AM ×MB =CM ×MD,CN ×NE = AN ×NB， 又因为M,N 是弦AB的三等分点， 所以AM ×MB = AN ×NB\CN ×NE =CM ×MD， CM ×MD 2´4 8 所以NE = = = ，选A CN 3 3 6．答案：D 解析过程： x2 y2 b 双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y =± x， a2 b2 a b 3 由点(2，3)在渐近线上，所以 = ， a 2 双曲线的一个焦点在抛物线y2 =4 7x准线方程x=- 7 上， 所以c= 7，由此可解得a =2,b= 3， x2 y2 所以双曲线方程为 - =1，选D 4 3 7．答案：C 解析过程： 因为函数 f x=2x-m -1为偶函数，所以m=0，即 f x=2x -1， 1 æ 1ö log 所以a = f(log 3)= f ç log ÷ =2 23 -1=2log 2 3-1=3-1=2, 0.5 è 2 3ø b= f log 5=2log 2 5 -1=4,c = f 2m= f(0)=20 -1=0 2 所以c2, ïîx2, x<0 ì2- x + x2, x<0 ï 所以 y = f(x)+ f(2-x)= í4- x - 2-x , 0£ x £2， ï 2- 2-x +(x-2)2,x >2 î ìx2 +x+2, x<0 ï 即y = f(x)+ f(2-x)=í2, 0£ x£2 ï x2 -5x+8,x>2 î y = f(x)-g(x)= f(x)+ f(2-x)-b, 所以y = f x-gx恰有4个零点等价于方程 f(x)+ f(2-x)-b=0有4个不同的解， 即函数 y =b与函数 y = f(x)+ f(2-x)的图象的4个公共点， 7 由图象可知 2 ， 3(x+1)2 3 解得- < x<-1，或-1< x<0． 2 y 设直线OP的斜率为m，得m= ，即y =mx(x¹0)， x 2 2 与椭圆方程联立，整理可得m2 = - . x2 3 æ 3 ö ①当xÎ - ,-1 时，有y =t(x+1)<0， ç ÷ è 2 ø 2 2 2 2 3 因此m>0，于是m= - ，得mÎ( , ). x2 3 3 3 ②当xÎ-1,0时，有y =t(x+1)>0， 2 2 2 3 因此m<0，于是m=- - ，得mÎ(-¥,- ). x2 3 3 第14页 | 共17页2 3 2 2 3 综上，直线OP的斜率的取值范围是(-¥,- ) ( , ). U 3 3 3 20．答案：见解析 解析过程： （Ⅰ）解：由 f(x)=nx-xn， 可得 f¢(x)=n-nxn-1=n  1-xn-1 ， 其中nÎN*，且n³2. 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时. 令 f¢(x)=0，解得x=1，或x=-1. 当x变化时， f¢(x)， f(x)的变化情况如下表： x (-¥,-1) (-1,1) (1,+¥) f¢(x) - + - f(x) ↘ ↗ ↘ 所以， f(x)在 -¥,-1 ， 1,+¥ 上单调递减，在 -1,1 内单调递增。 （2）当n为偶数时. 当 f '(x)>0，即x<1时，函数 f(x)单调递增； 当 f '(x)<0，即x>1时，函数 f(x)单调递减. 所以， f(x)在 -¥,1 上单调递增，在 1,+¥ 上单调递减. （Ⅱ）证明：设点P的坐标为x ,0， 0 第15页 | 共17页1 则x = ， f¢(x )=n-n2. 0 nn-1 0 曲线y = f(x)在点P处的切线方程为y = f¢(x )x-x ， 0 0 即g(x)= f¢(x )(x-x )， 0 0 令F(x)= f(x)-gx，即F(x)= f(x) -f¢(x )(x-x )， 0 0 则F¢(x)= f¢(x) -f¢(x )． 0 由于 f¢(x)=-nxn-1+n在 0,+¥ 上单调递减， 故F¢(x)在 0,+¥ 上单调递减， 又因为F¢(x )=0， 0 所以当xÎ0,x  时，F¢(x)>0，当xÎx ,+¥ 时，F¢(x)<0， 0 0 所以F(x)在 0,x  内单调递增，在 x ,+¥ 上单调递减， 0 0 所以对于任意的正实数x，都有F(x)£ F(x )=0， 0 即对于任意的正实数x，都有 f(x) £ gx ． （Ⅲ）证明：不妨设x £ x ． 1 2 由（Ⅱ）知gx=  n-n2x-x ， 0 a 设方程gx=a的根为x '，可得x ' = +x ， 2 2 n-n2 0 当n³2时，在 -¥,+¥ 上单调递减． 又由（Ⅱ）知gx ³ f x =a= g  x ' ，可得x £ x '． 2 2 2 1 2 第16页 | 共17页类似地，设曲线y = f x 在原点处的切线方程为y =hx ， 可得hx=nx， 当xÎ0,+¥ ， f x-hx=-xn <0， 即对于任意的xÎ0,+¥ ， f x