文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数学（一）
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， 分别是边 ， 的中点，点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为 ，则圆锥的高与底面半径之比
为（ ）
A． B． C． D．6．若函数 在 上是增函数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 在区间 上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且 在区间 上是增
函数．记 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量 （单位：克）服从正态分布 ，则（ ）
A． B． 越小， 越大
C． D．
10．已知 是函数 的极小值点，则（ ）
A．
B． 在区间 上的值域为
C．不等式 的解集为
D．当 时，
11．已知曲线 上的点满足：到定点 的距离与到定直线 ： 的距离之和为4，则（ ）
A． 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．当点 在 上时，C． 上的点到直线 的距离的最大值为12
D． 上的点与点 的距离的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ， ， 是 上关于原
点对称的两点，且 ， ，则 的离心率为_________．
13．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
_________．
14．某盒子中有12个大小相同的球，分别标号为1，2，…，12，从盒中任取3个球，取出的3个球的标号
之和能被4整除的概率为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
记 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长．
16．（本小题满分15分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求 的方程；
（2）记 的上顶点和右顶点分别为 ， ，过原点的直线 与 交于点 ， ，与直线 交于点 ，
且点 ， 均在第四象限，问是否存在直线 ，使得 的面积是 （其中 为原点）面积的
4倍？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分15分）
如图，在多面体 中， ， ，四边形 是边长为2的菱形， 为棱
上一点．（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）若 平面 ， ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的长．
18．（本小题满分17分）
已知函数 ， ．
（1）求 的最值；
（2）若 在定义域内单调递增，求 的取值范围；
（3）当 时， ，求 的取值范围．
19．（本小题满分17分）
记数列 的前 项和为 ，若对任意 ， ，则称 是“ 数列”．
（1）若 ，判断 是否是“ 数列”，并说明理由；
（2）若 是首项为1，公比为 的等比数列，且数列 和 均是“ 数列”．
（i）求 的取值范围；
（ii）当 时，若在所有数列 中随机抽取一个数列，求在 的条件下， 恰为偶数的概率．
（3）若等差数列 是首项为1的“ 数列”，且 ，求正整数 的最小值，
以及 取最小值时相应数列 的公差．
