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海南中学 2025 届高三年级第一次月考数学试题卷
时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：余书胜 潘小芳
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有 一项是符合题目要求的.
1 ．【详解】 由集合 A = {x | 0 < x < 3}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} ，可得 A∩ B = {1, 2} .故选：A.
2. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为p ，
所以由抛物线y2 = 4x 可得p = 2 ，则焦点到其准线的距离为 2.故选：C
3 ．【详解】对于选项 A：因为 ，则
又因为a > b ，则b- a < 0 ，可得ab < 0 ，故 A 为真命题；
对于选项 B ：若 a < b < 0 ，则 a2 > ab, ab > b2 ，即 a2 > ab > b2 ，故 B 为真命题；
对于选项 C ：若 a > b > 0 ，则 a2 > b2 > 0 ，可得 < ，
c c
因为c < 0 ，所以 > ，故 C 为真命题；
a2 b2
对于选项 D ：例如c = 0 ，则ac2 = bc2 = 0 ，故 D 为假命
题； 故选：D.
4．【详解】直线l : x + my + 2 = 0 和l : mx + 9y + 6 = 0 互相平行,显然m = 0 不合题意，则 = ≠ .解得m
1 2
= -3 . 故选：B.
5 ．【详解】双曲线4x 2 - y 2 = 4a 即 故渐近线方程为 x = ±2x .故选：B
6 ．【详解】因为函数f (x) 满足对任意实数x ≠ x ，都有 < 0 成立，
1 2
不妨假设x < x ，则x - x > 0 ，可得f (x ) -f (x ) < 0 ，即f (x ) > f (x ) ，
1 2 2 1 2 1 1 2
可知函数 f (x) 在 R 上递减，则 -a + 6 ≥ ，解得： 2 ≤ a ≤ 3 ，
a
l
所以a 的取值范围是[2, 3] .故选：D.
7 ．【详解】 f (x) = = 1+ ，
: 2x > 0 , :1+ 2x > 1 , 0 < < 1 ，则1 < 1+ < 5 ，即1 < f (x) < 5 ，
当1 < f (x) < 2 时， f (x ) = 1 ；当2 ≤ f (x) < 3 时， f (x) = 2 ；
试卷第 1页，共 7页
学科网（北京）股份有限公司当3 ≤ f (x) < 4 时， f (x ) = 3 ；当4 ≤ f (x) < 5 时， f (x)
= 4 ， 综上，函数y = f (x ) 的值域为{1, 2, 3, 4} .
故选：C.
8 ．【详解】 由y = f(x) - 4ex 是奇函数，得f(-x) - 4e-x = -f(x)+ 4ex
， 由y = f(x) + 2ex 是偶函数，得f(-x)+ 2e-x = f(x)+ 2ex ，
联立解得 f(x) = ex + 3e-x ≥ 2 · = 2 ·i3 ，当且仅当ex = 3e-x ，即x = ln 3 时取等
号， 所以 f (x) 的最小值是2 故选：A
.
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多 项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的部分给分.
9．【详解】对于 A ，由a < a +1 ，a +1 < b ，得a < b ；反之若a < b ，而a < a +1 ，不能判断a +1 与b 的
大小， 因此 a +1 ，C 错
误；
对于 D ，由M ∩ N = N ，得 N 二 M ，由M = {1, 3} ，得M 有 4 个子集，因此集合 N 的个数为 4 ，D
正确. 故选：AD
10 ．【详解】因为a > 0 ，b > 0 且a + b = 1 ， 2a + 2b ≥ 2 · = 2 ·
= 2 · , 当且仅当 a = b = 时取“ = ” ，故 A 正确；
( )
因为sab ≤ = ， 所以 + 2 = a + b + 2 ·iab = 1+
2vab ≤ 2 ， 所以 ·ia + ≤ ·i2 ，当且仅当a = b = 时，等号成
立，故 B 正确；
+ ≥ 2 · × = 2 · = ·、i2 ，当且仅当a = b = 时取“ =
”
，
由 B 选项可知， ·ia + ≤ ·i2 ，所以 + ≥ 、ia +
， 当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 D 正确；
2 2
) )
a 2 + b = a 2 +1 - a = (| a - + ，当 a = b = 时， (| a - + 有最小值 ，
( , ( ,
试卷第 2页，共 7页
学科网（北京）股份有限公司即a2 + b ≥ , 故 C 错误.
故选：ABD
11 ．【详解】令g(x) = f (x +1) ，因为f (x +1) 是奇函数，
所以g (-x ) = f (-x + 1) = -g (x ) = -f(x + 1) ，
即f (-x +1) = -f (x +1) , f (x ) 的图象关于点(1, 0) 对
称. 令h (x) = f (x + 2) ，因为f (x + 2) 是偶函数，
所以h ( -x ) = f ( -x + 2 ) = h ( x ) = f ( x + 2 ) ，
即f (-x + 2) = f (x + 2) , f (x ) 的图象关于直线x = 2 对称.
A 选项，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = 0 ，可得f (1) = -f (1) → f (1)
= 0 ， 由f (-x + 2) = -f (x + 2) ，令x = 1 ，可得f (1) = f (3) = 0 ，故 A
正确.
B 选项，由f (-x + 2) = f (x + 2) ，令x = 2 ，可得f (0) = f (4) ，故 B 正确.
C 选项，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = ，可得 ，故 C 正确.
D 选项，由 f (x )在[1, 2]上单调递减，结合f (x ) 的图象关于点(1, 0) 对称，可知f (x )在[0, 1]上单调递
减， 由f (1) = 0 可知f (x )在[0, 2]上单调递减，又f (x ) 的图象关于直线x = 2 对称，则f (x )在[2, 4] 上
单调递增， 故 D 错误.
故选:ABC .
第 II 卷 (非选择题 共 90 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置.
12 ．【详解】等价于 x(x +1) > 0 ，解集为 (-∞ , -1) u (0, +∞) .
13 ．【详解】 ∵ -1 ≤ x ≤ 3 ， ∴ -1 ≤ 2x +1≤ 7 ， ∴ f (x ) 的定义域为[-1, 7] ．故答案为： [-1, 7] .
14 ．【详解】 由P 为圆 A : (x -1)2 + y2 = 4 上一动点，得A(1，0)，AP
= 2 ， 由Q 为圆B : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 1上一动点，得B(3, 4), BQ =
1，
又iAOi = 1, iACi = 4 . 因为 上ACP = 上ACP ，所以△ACP ∽△APO ，
于是| PC |= 2 | PO | . 当P, Q, B 共线且PQ < PB 时 PQ + PB 取得最小值，即 PQ + PB ≥ 2PB -1 .
试卷第3页，共 7页
学科网（北京）股份有限公司所以PC + PQ + PB ≥ 2PO + 2PB -1 ≥ 2OB -1 = 2 (3 - 0)2 + (4 - 0)2 -1 = 9 ，
当O, P, B 共线时等号成
立. 故答案为：9 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 ．【详解】（1）因函数y = f (x ) 满足f (x + 3) = -f (x ) ，且当x ∈[0, 3) 时， f (x) = x ，
所以 f(4) = -f(1) = -1 ， f(6) = -f(3) = f(0) = 0 ， f(8) = -f(5) = f(2) = 2 .
（2）函数y = f (x ) 的一个周期T = 6 ，
因函数y = f (x ) 满足f (x + 3) = -f (x ) ，则f(x + 6) = -f(x + 3) = - [-f(x)] =
f(x) ， 所以函数y = f (x ) 的一个周期T = 6 .
16 ．【详解】（1） 由题意可得
即ax2 + bx + c = -ax2 + bx - c ，即ax2 + c = 0 ，故a = 0 ， c = 0 ，
又f (1) = = = ，故b = 1 ，即f (x ) = ；
（2） f (x )在[-2,2] 上单调递增，证明如下：
设-2 ≤ x < x ≤ 2 ，
1 2
则f (x
1
)-f (x
2
) = - =
x
1
( x
( +
4
4
)
)
-
(
x
x
4 )
x x 2 x 1 - x - x (x )( x )
= 1 2
4) (x 4
2 =
(
1
x
-
2
2
4)
1
4
，
1 1
由-2 ≤ x < x ≤ 2 ，则x - x < 0 ， 4 - xx > 0 ， ( x 2 + 4 )( x 2 + 4 ) > 0 ，
1 2 1 2 1 2 1 2
故f (x )-f (x ) < 0 ，
1 2
故f (x )在[-2,2] 上单调递增；
（3） 由函数f (x ) 为奇函数，故f (x -1) < -f (x) = f (-x)，
≤
2
又函数f (x ) 在[-2,2] 上单调递增，故有 ，解得x ∈
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学科网（北京）股份有限公司所以不等式的解集为 .
所以，当VAOB 的面积最小时， VAOB 的周长为6 + 2 · 5 ，此时直线l 的方程为x + 2y - 4 = 0 .
17 ．【详解】（1）令CP∩ DE = G ，连接FG ，
由四边形PDCE 为矩形，得G 为PC 中点，又F 为PA 中点，则 AC / /FG ，
又FG 平面DEF ， AC 丈 平面DEF ，所以 AC / / 平面DEF .
（2） 由PD 垂直于梯形ABCD 所在平面， 上ADC = 90。，得直线DA, DC, DP 两两垂
直， 以D 为坐标原点，直线DA, DC, DP 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
则B(1, 1, 0), C(0, 2, 0), P(0, 0, ·i2 ) ，
设平面BCP 的法向量 ，则 ，令y = 1 ，得
= 0
由z 轴丄平面 ABCD ，得平面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1) ，
则| cos 所以平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值为 .
18 ．【详解】（1） 由题意知，ξ的可能取值有 0 ，1 ，2 ，3 ， P
所以ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司4 18 12 1
P
35 35 35 35
E (ξ) = 0 × +1× + 2× + 3× = .
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为X ，则X ~ B(2, P )
1
， 设乙答对题数为η , 则η~ B(2, P )，
2
设“A = 甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
则P(A) = P (X = 1)P (η = 2) + P(X = 2)P (η = 1) + P(X = 2)P
(η = 2) =C1P (1- P ) C2P2 + C2P2 C1P (1- P ) + C2P2 C2P2
2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
= 2P (1- P )P2 + 2P (1- P )P2 + P2P2
1 1 2 2 2 1 1 2
8
= -3P2 P 2 + PP
1 2 3 1 2
由0 ≤ P ≤ 1, 0 ≤ P ≤ 1 ，又p + p = ，所以 ≤ P ≤ 1 ，
1 2 1 2 1
)
则P P = P(| - P = P - P 2 ，又 ≤ P ≤ 1 ，所以P P ∈ , ，
1 2 1 1 1 1 1 1 2
( ,
设t = PP ，所以P(A) = -3t 2 + t ,t ∈ , ，由二次函数可知当t = 时取最大值 ，
1 2
16
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为
.
27
19 ．【详解】（1）在椭圆 C 中，令x = c ，可得y = ± , 故有 = 3 ，而c = 1 ， a2 = b2 + c2 ，解得
a2 = 4 ， b2 = 3 ， c2 = 1 ，故椭圆 C 的标准方程为 + = 1 .
（2）(ⅰ) 设 l： x = ty +1 ，将 l 与 C 联立可得： ( 3t2 + 4 ) y2 + 6ty -9 = 0 .
设 ( ， ) ，则y + y = ， y y = .
1 2 1 2
A ( X 1x , y 1 1 B y ) X 2 , y 2 ( x 1 y ) ( x x 1 y y ) ( x x 1 y y
则D ) - , ， E - , ，M + - , + ， N + - , + 1 .
2 2 4 4 4 ,
①当 l 与 x 轴垂直时， x = x ，此时x = - = x ，故MNⅡAB ；
1 2 M N
y y
1 - 2
②当 l 与 x 轴不垂直时k = = = = k ，也有MNⅡAB .
MN AB
4
综上，MN ⅡAB ．故 AB = · 1+ t2 y - y ，
1 2
而 MN = y - y = = AB ，故 = .
M N
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学科网（北京）股份有限公司由 可知： MN ⅡAB ，故l ： x -
MN
令y = 0 ，解得x =
l 恒过定点 ．设 到 MN 与AB 的距离分别为d 与d ， △F AB 的面积为S
MN 1 2 1 1
，则
r
因为y = 3r + 在 上单调递增，故3r + 则
. 综上所述，S 的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司试卷第 7页，共 7页
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