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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年度第一学期初三年级数学练习 2
考生须知
1.本试卷共6页，共两部分，28道题.满分100分.考试时间110分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3，1，5 B. 3，1， C. 3， ，5 D. 3， ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般式求解；
【详解】解：二次项系数3，一次项系数1，常数项 ；
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、一般式；理解一般式是解题的关键．
2. 将抛物线 向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线 的顶点坐标为（0，0），从而得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，
1），即可求解．
【详解】解：根据题意得：抛物线 的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线 向上平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴得到的抛物线的解析式是 ．
故选：A
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【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
3. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗
产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键．
根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转 后与自身重合，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
4. 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，即 ，
故选：C．
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【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，以原点 为圆心，5为半径作 ，则（ ）
A. 点 在 上 B. 点 在 内
C. 点 在 外 D. 点 与 的位置关系无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点 到圆心 的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．
【详解】由勾股定理得 ，
的半径为5，
∵
点 在 上．
∴
故选A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 ，点到圆心的距离为 ，则有：
当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用．
6. 如图，在正方形网格中，将 绕某一点旋转某一角度得到 ，则旋转中心是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ， ，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心．
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【详解】解：连接 ， ，
分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示：
则交点D即为旋转中心，
故答案选：D．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．
7. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点 为旋转
中心，顺时针（或逆时针）旋转角 ，依次旋转若干次形成，则旋转角 的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正
整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，
为
∴ （ 且 正整数），
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
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∴不可能是 ，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．
8. 已知抛物线 上的两点 ， 满足 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将 代入解析式可得的值，通过抛物线
的对称性及 求出最终结论．
【详解】解： ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
令
当 时，
若 ，则 ，故C错误
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若 ，则 ，故A错误
，
，
，
，
，
当 时， ， ，
， ，
，故B正确，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次
函数与方程的关系．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 点 关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出
答案．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
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故答案为： ．
10. 方程 的解是____________．
【答案】
【解析】
【分析】把方程两边开方得到 即可求解．
【详解】解： ，
开方得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根：形如 或 的方程可采用开平方的方法求解．
11. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式， ，构建方程求解．
【详解】解：∵ 有两个相等的实数根，
，
∴ ．
故答案为：9
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式定理是解题的关键．
12. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
【答案】答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）
【解析】
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．
【详解】解：∵顶点在坐标原点，
∴可设抛物线解析式为y=ax2，
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∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2，
故答案为：答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
13. 如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为 ________．
【答案】 ##35度
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半”，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 在△ABC中， ， ，将 绕点A逆时针旋转后能与 重合，若
，则 ___________．
【答案】
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【解析】
【分析】根据旋转的性质，得到 ， ，即可解答．
【详解】解：根据旋转的性质，可得 ， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟知对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角和对应点到旋转中心
的距离相等，是解题的关键．
15. 抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … 0 1 …
y … 0 4 6 6 …
据此我们可以推知一元二次方程 的根是_________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据表格中的数据得出抛物线的对称轴为直线 ，根据对称性得出 关于直线 的
对称点为 ，从而得出一元二次方程 的根．
【详解】解：∵ 时， ， 时， ，
∴ 与 是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
∵ 关于直线 的对称点为 ，
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∴一元二次方程 的根是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质，解题的关键是根据表格中数据得出抛物线的对称轴为：直
线 ．
16. 在 中， ， ，将 绕点A顺时针旋转 ，直线
与直线 交于点 ，点 ， 间的距离记为 ，点 ， 间的距离记为 ．给出下面四个结论：
① 的值一直变大；② 的值先变小再变大；③当 时， 的值一直变小；④
当 时， 的值保持不变．上述结论中，所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】如图，由旋转可知， 增大过程中， 的值一直变大； 的值先变小再变大；故①②正确；
当 时，连接 ,由旋转知， ，可推知 ，得 ．于是
，为定值．故③正确；
【详解】解：如图，由旋转可知，随着 增大，点 由点 开始（不含点 ），在 的延长线上运动，
逐渐远离点 ，故 的值一直变大；故①正确；
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如下图，当 时，直线 与线段 相交于点F，随着 增大，点E逐渐向点F接近,即
逐渐变小，当 时，点 重合，即 ，
当 时，随着 的增大，点E开始远离点F， 逐渐增大；
故 的值先变小再变大，故②正确；
当 时，连接 ，
由旋转知， ，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，为定值．故④正确③错误；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查图形旋转，等腰三角形的性质和判定；添加辅助线，构
造等腰三角形是解题的关键．
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三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
方程可变为： ，
， ， ，
，
∴ ，
解得： ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
在
18. 如图， 中， ， ， 在 边上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转
得到线段 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证： ．
【答案】（1）图形见详解
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（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转过程过程画出图形即可；
（2）证明两个三角形全等即可得到对应边相等．
【小问1详解】
解：将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，如图所示：
【小问2详解】
证明：将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ．
【点睛】本题考查了图形的旋转，找出全等的两个三角形是解题的关键．
19. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
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的
【分析】由题意可得： ，即 ，根据整式乘法 相关运算法则对代数式进行
化简，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
,
将 代入得：
原式 .
【点睛】此题考查了一元二次方程根的含义及整式乘法运算，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，
正确对代数式进行运算．
20. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，若 平分 ， ， ，
求 度数及线段 的长度．
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【答案】 ，
【解析】
【分析】利用直径所对的圆周角是直角证明 ，再利用
得到 ，利用勾股定理求出 ，
进一步可求出 ．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
【点睛】本题考查直径所对的圆周角等于直角，同圆中相等的圆周角所对的弦相等，勾股定理等知识，熟
练掌握以上相关知识是解题关键．
21. 如图，小明同学用一张长为 ，宽为 的矩形纸板制作一个底面积为 的无盖长方体纸盒，
他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．求剪去的正方形的
边长．
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【答案】
【解析】
【分析】设剪去的正方形的边长为 ，根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是 ，
宽为 ，然后根据长方形的面积公式列方程，再求解即可．
【详解】解：设剪去的正方形的边长为 ，根据题意得，
，
解得 （舍）， ，
答：剪去的正方形的边长 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据图形和题意写出裁剪后的底面的长和宽是解题的关键．
22. 已知关于x的方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，求m的取值范围．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式的值进行判断即可；
（2）根据求根公式可得 ， ，再根据该方程的两个实数根
中有且仅有一个正根及二次根式的性质求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
当 时， ，则方程有两个相等的实数根，
当 时， ，则方程有两个不相等的实数根，
∴该方程总有两个实数根；
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【
小问2详解】
解： ∵ ，
∴ ， ，
当 时，即 ，
，
∵该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时，即 ，
∴ ，
∵该方程的两个实数根中有且仅有一个正根，
∴ ，即 ，
∴m无解，
综上所述，m的取值范围是 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式及求根公式、二次根式的性质和解一元一次不等式，熟练掌握一
元二次方程的判别式是解题的关键．
23. 已知二次函数 的图象经过点 ，点 ．
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（1）求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于函数 的值
且不大于5，求 的取值范围．
【答案】（1） ，图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可；
（2）根据图象列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：将点 ，点 代入 中得到：
，
解得： ，
∴该二次函数的解析式为： ，
列表如下：
x … 0 1 2 3 …
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y … 1 1 …
画图如下：
【小问2详解】
根据题意，作图如下：
∵函数 的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当 时，对于 的每一个值，函数
的值都大于函数 的值且不大于5，
∴只需保证当 时， ，且当 时， ，
即
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解得： ．
【点睛】本题考查二次函数 的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键．
24. 如图， 是 的直径，点 是 的中点，过 作弦 ，连接 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若点 是 的中点，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，若 的半径为2，求线段
的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理的推论证明 垂直平分 ，得到 ，再证明 即可推出是
等边三角形；
(2)利用等边三角形的性质和勾股定理求出 ，再由圆和等边三角形的性质再求出 ，
最后由直角三角形的性质即可求解.
【小问1详解】
证明：如图，连接 、 ,
∵ 是 的直径， ，
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∴ ,
∴ ,
∵点 是 的中点， ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
∵ 的半径为 ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
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∴ ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
即 ，
则 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是能够
掌握圆的相关性质并能灵活运用所学知识求解．
25. 篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是 ，小明站在距篮圈中心
水平距离 处的点A练习定点投篮，篮球从小明正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以
看作是抛物线的一部分．
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当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）.小明进行了多次定
点投篮练习，并做了记录：
（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6
竖直距离
2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2
①结合表中数据，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；
②判断小明第一次投篮练习是否投进篮筐，并说明理由；
（2）将小明第i次投篮后，篮球运行到最高点时，篮球运行的水平距离记为 .小明第二次训练时将球投
进了篮筐，已知第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直
高度也相同，则 _______ （填“>”，“<”或“=”）．
【答案】（1）① ， ；②小明第一层投篮没能投进
（2）<
【解析】
【分析】（1）①根据表格数据可得篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，设抛物线解析式为
，然后利用待定系数求解析式即可；
②当 时，求出y的值与3.05比较即可；
（2）根据第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度
也相同，可得第二次投篮训练y与x满足的函数解析式为 ，把 代入求
得 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
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【小问1详解】
解：①根据表格数据可得，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为 ，
∵点A为坐标原点，以水平地面为x轴建立坐标系，
∵当 和 时，纵坐标都是3.5，
∴抛物线对称轴为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式得， ，
解得 ，
∴y与x满足的函数解析式为 ；
②当 时， ，
∴小明第一层投篮没能投进；
【小问2详解】
解：∵第二次训练与第一次训练相比，出手高度相同，篮球运行到最高点时球心距离地面的竖直高度也相
同，
∴第二次投篮训练y与x满足的函数解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 （舍）， ，
由题意可得， ， ，
∴ ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意求二次函数的解析式是解题的关键．
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26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）①若 ，求a的值；
②若 ，比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点 ， 也在该抛物线上，若当 时，都有 ，求a的取值范围．
【答案】（1）① ； ，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①把点 ， 代入解析式得， ， ，再由 ，可得
，求解即可；
②由①可得 ， ，作差得 ，再由 ，即可得出结论；
（2）根据对称轴为 ， ，即开口向上，可得离对称轴远的点y值越大，由在当 时，都
有 ，可得P点离对称轴的M点远，即 ，Q点比P点离对称轴远，即
，N点比Q点离对称轴远， ，分别求解即可．
【小问1详解】
解：①∵点 ， 在抛物线 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
②∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴对称轴为 ， ，即开口向上，
∴离对称轴远的点y值越大，
设 ， 、 ， ，在当 时，都有 ，
则P点离对称轴的M点远，即 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，则Q点比P点离对称轴远，即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
则在 时，都满足 或 ，
∵ ，则N点比Q点离对称轴远，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，则 ，即 ，
在 时， 成立，
∴ ，即 ，
综上所述， ．
【点睛】本题考查二次函数上点的坐标特征、二次函数的性质、比较二次函数的函数值及两点间的距离公
式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 已知 是等边三角形，点 在 内部，且 ．
（1）如图1，设 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
（2）如图2，点 是 的中点，连接 ， ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】（1） 中， ， ，于是
；
（2）如图，将线段 绕点B逆时针旋转 至 ,连接 ,则 是等边三角形。可证
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，得 ， ．延长
至点G，使 ，连接 ，可得 ，得 ．求
证 ，得 ．
【小问1详解】
解： 中， ，
∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
解：如图，将线段 绕点B逆时针旋转 至 ,连接 ,
则 , 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
如图，延长 至点G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ．
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∴ ．
∴ ,
．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构建全等三角形求
证线段相等是解题的关键．
28. 对于 和 内一点 （ 与 不重合）给出如下定义：过点 可以作出无数条 的弦，若在
这些弦中，长度为正整数的弦有 条，则称点 为 的 属相关点， 为点 关于 的相关系数．在
平面直角坐标系 中，已知 的半径为3．
（1）若点 的坐标为 ，则经过点 的 的所有弦中，最短的弦长为_______，点 关于 的
相关系数为_______；
（2）若点 ，点 为 的4属相关点，求线段 长的取值范围；
（3）点 是 轴正半轴上一点， 的半径为2，点 ， 分别在 与 上，点 关于 的相关系
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数记为 ，点 关于 的相关系数记为 ．当点 在 轴正半轴上运动时，若存在点 ， ，使得
，且 ．直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1） ，3
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，弦 经过点M,当弦 时，线段 是经过点M的圆的最短弦，过点O
作 于点F， , 中， ,当 最大时， 取最小值，
,最小值为 .设经过点M的弦的弦长为 ，则 ， 可取的正
整数为5，6.故点 关于 的相关系数为3．
（2）经过点N的长度为正整数的弦长度分别为 ，经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的
的最短弦．令此弦为 ，可得点N在以 为圆心,以 为半径的圆上．于是
；
（3）根据题意 ．于是经过点 的 的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，
另一条弦长为5，如图，令弦为 ,过点 作 于点D，连接 ,可得点 在以点 为圆心，
为半径的圆上．如图，当 与以点 为圆心， 为半径的圆外切时， ，当 与以
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点 为圆心， 为半径的圆内切时， ，于是 时，存在点 ， ，使得 ，
且 ．
【小问1详解】
解：如图，弦 经过点M,当弦 时，线段 是经过点M的圆的最短弦，理由如下，
过点O作 于点F， ,
中， ,
当 最大时， 取最小值，
如图， ,当点F与点M重合时， 取最大值，即 ,
相应的， 取最小值，最小值为 .
经过点M的 的最长弦为直径，弦长为6，
∴设经过点M的弦的弦长为 ，则 ，
∵ ，
∴ 可取的正整数为5，6.
经过点M的弦长为6的弦有1条，弦长为5的弦有2条 ，故点 关于 的相关系数为3．
【小问2详解】
解：如图，点N为 的4属相关点，
∵经过点N的且弦长为6的弦有1条，为直径，经过点N的且弦长为5的弦有2条，
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∴经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的 的最短弦．
如图，令此弦为 ，由（1）知， ,
∴ .
∴点N在以 为圆心,以 为半径的圆上．
如图，连接 并延长，交半径为 的圆于点 ，
．
∴ ．
∴
【小问3详解】
解：根据题意， 的半径分别为3和2，故必存在经过 ， 的长度为正整数的弦，
∴ ．
∵ ，且 ，
∴ ．
∴经过点 的 的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，另一条弦长为5，如图，令弦为
,过点 作 于点D，连接 ,
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则 ,
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上．
当 与以点 为圆心， 为半径的圆相交，且 与 相交时，满足题意；
如图，当 与以点 为圆心， 为半径的圆外切时， ，
如图，当 与以点 为圆心， 为半径的圆内切时， ，
综上， 时，存在点 ， ，使得 ，且 ．
【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解
题的关键．
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