专题3-3二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题 01 题型·解读 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减） 南通·中考真题 2023·山东泰安·中考真题 【题型2】作平行线解决面积问题 例2－1山东省临沂市·中考真题 2023·四川甘孜·中考真题 四川凉山州·中考真题 连云港·中考真题 2023·黑龙江·中考真题 江苏徐州·中考真题 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式 例3－1内蒙古通辽市·中考真题 2023·辽宁盘锦·中考真题 2022·福建·统考模拟预测 【题型4】面积比例问题的转化为线段比 例4－1 深圳市中考真题 牡丹江中考真题 2022·四川内江中考真题 2023·四川泸州中考真题 2022·四川内江中考真题 【题型5】 米勒角（最大张角问题） 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例题5-1 山东烟台中考真题 2023·四川宜宾中考真题 02 满分·技巧 一、面积定值与等值问题 1 .定值问题 【问题描述】 yx2 2x3 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标． y P C A O B x 思路1：铅垂法列方程解．  m,m2 2m3  根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为 ， 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3）， 1 PQ  m2 2m3  m3  m23m ， S PBC  2 3 m2 3m 3 ，分类讨论去绝对值解方 程即可得m的值． 思路2：构造等积变形 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y Q P 1 1 C P 2 A B C P 3 Q 2 A O B x P Q P 4 同底等高三角形面积相等． 取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2， 在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点． x2 2x3x5 当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程： ，解之即可． x2 2x3x1 当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程： ，解之即可． 2 . 等值问题 【问题描述】 yx2 2x3 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接 BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标． y C P A O B x 思路1：铅垂法 计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点， 另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点． 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标． y C P A O B x 二、面积比例问题 1、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析， 往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比． A B D C S :S BD:CD 转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则 ABD ACD ． A B C D H 更一般地，对于共边的两三角形 △ABD 和△ACD，连接 BC，与 AD 交于点 E，则 S :S BM :CN BE:CE ABD ACD 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 S :S BM :CN BE:CE ABD ACD ． A N E C B D M 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常 见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比． S :S BD:CDBA:AM “A”字型线段比： ABD ACD ． “8”字型线段比：S :S BD:CD AB:CM ． ABD ACD A M A D B C B C D M S :S BD:CDBM :CN 转化为垂线：共底，面积之比化为高之比： ABD ACD ． A N B C D M 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行． 三、米勒角问题（最大张角） 【问题描述】 1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置． l P A B 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． P C D O A B 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． P C D O A B ABCD 如图，PACBPBC  ． 2 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大． 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 l M P O A B 证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM， ∠AMB即为圆O的圆外角， ∴∠APB>∠AMB，∠APB最大． ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大． 特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP2 OAOB．（切割线定理） P O A B 证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理） OA OP ∴△AOP∽△POB，∴  ，∴ ． OP OB OP2 OAOB 即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置． 03 核心·题型 03 核心·题型 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 1．抛物线L：yx2 bxc经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线 ykxk4k 0 与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于 1，求k的值． y B M A O x N 【分析】 （1）解析式：yx2 2x1； （2）考虑到直线过定点Q（1，4），且M、N均为动点，故考虑用割补法． S S S ，分别过M、N作对称轴的垂线，垂足分别记为G、H， BMN QBN QBM 1 1 1 1 S  QBNH  QBMG QBNH MG QBx x  ， BMN 2 2 2 2 N M 考虑x x ：联立方程：x2 2x1kxk4，化简得x2 k2xk30， N M 1 x N x M  k22 4k3  k2 8 ，∴S BMN  2 2 k2 81， 解得：k 3，k 3（舍）． 1 2 故k的值为－3． y Q B M A G O x H N 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减） 2．如图，抛物线 上的点A，C坐标分别为 ， ，抛物线与x轴负半轴交于 点B，点M为y轴负半轴上一点，且 ，连接 ， ，点P是抛物线位于第一象限图 象上的动点，连接 ， ，当 时，求点P的坐标 【答案】 【分析】过点P作 轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为 ，设点 P 的横坐标为 ，则 ， ，故 ，先求得 ，从而得到 ，解出 p 的值，从而得出点P的坐标； 【详解】解：过点P作 轴于点F，交线段AC于点E， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 ，得 ，解得 ，∴直线AC的解析式为 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设点P的横坐标为 则 ， ， ∴ ∵ ，∴ ，解得 ，∴ 南通·中考真题 3．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”． 1 1 例如，点 是函数y x 的图象的“等值点”． (1,1) 2 2 （1）分别判断函数 yx2， yx2 x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值 点”的坐标；如果不存在，说明理由； 3 （2）设函数y (x0)， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴， x yxb A B B BC x 垂足为C．当ABC 的面积为3时，求b的值； 解：（1）在yx2中，令xx2，得02不成立， 函数yx2的图象上不存在“等值点”； 在yx2 x中，令x2 xx， 解得：x 0，x 2， 1 2 函数yx2 x的图象上有两个“等值点” (0,0)或(2,2)； 3 3 （2）在函数y (x0)中，令x ， x x 解得：x 3， A( 3 ， 3)， 在函数yxb中，令xxb， 1 解得：x b， 2 1 1 B( b， b)， 2 2  BC x轴， 1 C( b， ， 2 0) 1 BC  |b|， 2 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ABC的面积为3， 1 1 1  |b|| 3 b|3，  2 2 2 当b0时，b2 2 3b240， 解得b2 3， 当0�b2 3时，b2 2 3b240， △(2 3)2 4124840， 方程b2 2 3b240没有实数根， 当b�2 3时，b2 2 3b240， 解得：b4 3，综上所述，b的值为2 3或4 3 2023·山东泰安·中考真题 4．如图1，二次函数 的图象经过点 ． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P在二次函数对称轴上，当 面积为5时，求P坐标； (3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使 ；请判断小明的说法是否正 确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线 解析式，然后通过设 点坐标，并表示对应 点坐标，从而利用“割补法” 计算 的面积表达式并建立方程求解即可； 【详解】（1）解：将 代入 得： 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，解得： ，∴抛物线解析式为： ； （2）解：由抛物线 可知，其对称轴为直线 ， ， 设直线 解析式为： ，将 ， 代入解得： ， ∴直线 解析式为： ，此时，如图所示，作 轴，交 于点 ， ∵点P在二次函数对称轴上，∴设 ，则 ， ∴ ，∴ ， ∵要使得 面积为5，∴ ，解得： 或 ， ∴ 的坐标为 或 【题型2】作平行线解决面积问题 例2－1山东省临沂市·中考真题 5．在平面直角坐标系中，直线 yx2与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，抛物线 yax2 bxc(a0)经过点A、B． （1）求a、b满足的关系式及c的值． （2）如图，当a1时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条 件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y B A O x 【分析】 （1）点A坐标为（－2，0），点B坐标为（0，2）， 代入解析式可得：c＝2，4a－2b+2＝0 （2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1． 当a＝－1时，可得b＝－1，抛物线解析式为y＝－x²－x+2． 取点C（0，3）作AB的平行线，其解析式为：y＝x+3， 联立方程－x²－x+2＝x+3，解得x＝－1，故点P坐标为（－1，2） 1 取点D（0，1）作AB的平行线，其解析式为：y＝x+1， 联立方程－x²－x+2＝x+1，解得x 1 2，x 1 2 ． 1 2     点P 坐标为 1 2, 2 、点P 坐标为 1 2, 2 ． 2 3 y Q 1 P 1 B P 2 Q 2 A O x P 3 2023·四川甘孜·中考真题 6．已知抛物线 与x轴相交于 ，B两点，与y轴相交于点 ． 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求b，c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点， 的面积与 的面积相等，求直线 的解析式 【答案】(1) ，(2) (3)存在，点 的坐标为 或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2） 得到 ，即可求解； （3）由题意的： ，即可求解． 【详解】（1）由题意，得 （2）由（1）得抛物线的解析式为 ． 令 ，则 ，得 ． ∴B点的坐标为 ． ， ∴ ． ∵ ， ∴直线 的解析式为 ． ∵ ， ∴可设直线 的解析式为 ． ∵ 在直线 上， ∴ ． ∴ ． ∴直线 的解析式为 ． 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四川凉山州·中考真题 7．如图，抛物线yax2 bxc的图象过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标 及PAC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x轴上方的抛物线上是否存在点 M （不与C点重合），使得 S S ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． PAM PAC y C A O B x 【分析】 （1）抛物线解析式为：y＝－x²+2x+3； （2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2，3），连接AC’，与对称轴交点即为所求 P点，可得P点坐标为（1，2），△PAC的周长亦可求． 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y C C' P A O B x （3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解； 记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D， 过点D作AP的平行线，与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点， 联立方程得解． y M 1 C P M 2 Q A O B x D 连云港·中考真题 8．如图，抛物线 ymx2 (m2 3)x(6m9)与 x轴交于点 A、 B，与 y轴交于点 C，已知 B(3,0)． （1）求m的值和直线BC对应的函数表达式； （2）P为抛物线上一点，若S S ，请直接写出点P的坐标； PBC ABC 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：（1）将B(3,0)代入ymx2 (m2 3)x(6m9)，化简得，m2 m0， 则m0（舍)或m1，m1，yx2 4x3． C(0,3)，设直线BC的函数表达式为ykxb， 03kb k 1 将 ， 代入表达式，可得， ，解得， ， B(3,0) C(0,3) 3b b3 直线BC的函数表达式为yx3． （2）如图，过点A作AP //BC ，设直线AP交y轴于点G ，将直线BC向下平移GC个单位，得到 1 1 直线PP． 2 3 由（1）得直线BC的表达式为yx3，A(1,0)， 直线AG的表达式为yx1， yx1 x1 x2 联立 ，解得 ，或 ， yx2 4x3 y0 y1 P(2,1)或(1,0)， 1 由直线AG的表达式可得G(0,1)， GC 2，CH 2， 直线PP的表达式为：yx5， 2 3 yx5 联立 ， yx2 4x3 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载  3 17  3 17 x x  2  2 解得， ，或， ，  7 17  7 17 y y    2  2 3 17 7 17 3 17 7 17 P( ， )，P( ， )，； 2 2 2 3 2 2 3 17 7 17 3 17 综上可得，符合题意的点 的坐标为： ， ， ( ， )， ( ， P (2,1) (1,0) 2 2 2 7 17 ) 2 2023·黑龙江·中考真题 9．如图，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ． (1)求抛物线的解析式． (2)拋物线上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点 的坐标为 或 【分析】（1）采用待定系数法，将点 和点 坐标直接代入抛物线 ，即可求得抛物 线的解析式． （2）过线段 的中点 ，且与 平行的直线上的点与点 ，点 连线组成的三角形的面积都等 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 于 ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可 求得答案． 【详解】（1）解：因为抛物线 经过点 和点 两点，所以 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为： ． （2）解：如图，设线段 的中点为 ，可知点 的坐标为 ，过点 作与 平行的直线 ， 假设与抛物线交于点 ， （ 在 的左边），（ 在图中未能显示）． 设直线 的函数解析式为 ． 因为直线 经过点 和 ，所以 ， 解得 ， 所以，直线 的函数解析式为： ． 又 ， 可设直线 的函数解析式为 ， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 因为直线 经过点 ，所以 ． 解得 ． 所以，直线 的函数解析式为 ． 根据题意可知， ． 又 ， 所以，直线 上任意一点 与点 ，点 连线组成的 的面积都满足 ． 所以，直线 与抛物线 的交点 ， 即为所求，可得 ， 化简，得 ， 解得 ， 所以，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 故答案为：存在，点 的坐标为 或 ． 江苏徐州·中考真题 1 10．如图，点 、 在y x2 的图象上．已知 、 的横坐标分别为 、4，直线 与 轴交 A B 4 A B 2 AB y 于点C，连接OA、OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求AOB的面积； 1 （3）若函数y x2的图象上存在点 ，使 的面积等于 的面积的一半，则这样的点 4 P PAB AOB P 共有 个． 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 解：（1） 点 、 在y x2的图象上， 、 的横坐标分别为 、4，  A B 4 A B 2 A(2,1)，B(4,4)， 设直线AB的解析式为ykxb，  1 k  2kb1 ，解得 2，  4kb4  b2 1 直线 为y x2；  AB 2 1 （2）在y x2中，令 ，则 ， 2 x0 y2 C 的坐标为(0,2)， OC 2， 1 1 S S S  22 246． AOB AOC BOC 2 2 （3）过OC 的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P、P ，此时△PAB的面积和△PAB的面 1 2 1 2 积等于AOB的面积的一半， 作直线PP 关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P 、P ，此时△PAB的面积和△PAB的 1 2 3 4 3 4 面积等于AOB的面积的一半， 所以这样的点P共有4个， 故答案为4． 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式 例3－1内蒙古通辽市·中考真题 11．已知，如图，抛物线 yax2 bxc(a0)的顶点为M(1,9)，经过抛物线上的两点A(3,7)和 B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式． （2）在抛物线上 A、 M 两点之间的部分（不包含 A、 M 两点），是否存在点 D，使得 S 2S D DAC DCM 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 S 2S D DAC DCM ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． y M B C O x A 【分析】 （1）设顶点式，代入A点坐标，可得解析式为：yx2 2x8． 当x＝3时，y＝5，故点B坐标为（3，5），∴直线AB的解析式为：y＝2x－1． （2）铅垂法表示△ACD的面积： 设点D坐标为  m,m2 2m8  ，过点D作DP⊥x轴交AB于P点， 则P点坐标为 m,2m1 ，线段DP＝－m²+9， 1 S  4  m2 9  2m2 18， ACD 2 面积公式表示△MCD的面积： 过点D作DQ⊥MC交MC于点Q，则DQ＝1－m， 1 1 S  MCDQ 81m4m4 MCD 2 2 S 2S ，2m2 1824m4 DAC DCM 解得：m＝5或－1．考虑D点在A、M之间的抛物线上，故m＝－1． D点坐标为（－1，5）． 2023·辽宁盘锦·中考真题 12．如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ． 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点 是第一象限内一点，连接 交 轴于点 ， 的延长线交抛物线于点 ，点 在 线段 上，且 ，连接 ，若 ，求 面积． 【答案】(1) ，(2) ，(3) 【分析】（1）将点 ， 代入抛物线 得到 ，解方程组即可 得到答案； （2）设 ， ，则 ，则 ， ，从而表示出点 的 坐标为 ，代入抛物线解析式，求出 的值即可得到答案； （3）求出直线 的表达式，利用 ，得到 ，求出点 的坐标， 再根据 进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于点 ， ， ，解得： ， 抛物线的解析式为： ； （2）解：设点 ，直线 的解析式为 ， ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ，当 时， ， ， ， ， 在抛物线 中，当 时， ， ， ， ， 设点 的坐标为 ， ， ， ， ， ， ， 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得： ， 点 的坐标为 ， ． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛 物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标 【答案】(1) ，(2)存在， 或（3，4） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为 ，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB 于 点 N ． 过 点 B 作 BE⊥ PM ， 垂 足 为 E ． 可 得 ， 设 ，则 ．由 ，解 方程求得 的值，进而即可求解； 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入 ， 得 ，解得 ．所以抛物线的解析式为 ． （2）设直线AB的解析式为 ， 将A（4，0），B（1，4）代入 ， 得 ，解得 ．所以直线AB的解析式为 ． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以 ． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，所以 ， ． 设 ，则 ． 所以 ，即 ， 解得 ， ．所以点P的坐标为 或（3，4）．zz 2022·福建·统考模拟预测 14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛 物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； 【答案】(1) 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)存在， 或（3，4） 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线 AB的解析式为 ，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交 AB 于 点 N ． 过 点 B 作 BE⊥ PM ， 垂 足 为 E ． 可 得 ， 设 ，则 ．由 ，解 方程求得 的值，进而即可求解； 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入 ， 得 ，解得 ．所以抛物线的解析式为 ． （2）设直线AB的解析式为 ， 将A（4，0），B（1，4）代入 ， 得 ， 解得 ． 所以直线AB的解析式为 ． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以 ． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 所以 ， ． 设 ，则 ． 所以 ， 即 ， 解得 ， ． 所以点P的坐标为 或（3，4）． 【题型4】面积比例问题的转化为线段比 例4－1 15．如图，抛物线 yax2 2xc(a0)与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点 的右侧），与 y 轴交于点C，OBOC 3． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F ， 当S :S 3:2时，求点D的坐标． COF CDF y C D F A O B x 【分析】 （1）解析式：yx2 2x3 （2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比． OF:DF S :S 3:2， COF CDF 思路1：转化底边之比为“A”字型线段比 在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE＝3：2） 过点E作BC的平行线交x轴于G点， 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y E D 1 C D 2 F A O B G x EG与抛物线交点即为所求D点， 根据平行线分线段成比例，OF：FD＝OC：CE＝3：2． 直线EG解析式为：y＝－x+5， 与抛物线联立方程，得：x2 2x3x5， 解得：x 1，x 2． 1 2 故D点坐标为（1，4）或（2，3）． 思路2：转化底边之比为“8”字型线段比 y C D F G A O B x OF OC 过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则  ，又OC＝3，故点G满足DG＝2即可．这个问题 FD DG 设D点坐标即可求解． OF OB 也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则  ，又OB＝3，∴DG＝2即 FD DG 可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议． y C D G F A O B x 其实本题分析点的位置也能解： 思路3：设点D坐标为  m,m2 2m3  ， 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 3 6 9 根据OF：DF＝3：2，可得F点坐标为 m, m2  m ， 5 5 5 5 点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y＝－x+3， 3 6 9 3  m2+ m  m3， 5 5 5 5 解得m 1，m 2， 1 2 故D点坐标为（1，4）或（2，3）． 这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标． 深圳市中考真题 16．如图抛物线经yax2 bxc过点A(1,0)，点C(0,3)，且OBOC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的 坐标． y C O B A x P 【分析】 （1）解析式为yx2 2x3，对称轴为直线x＝1． （2）连接CP，可将四边形CBPA分为△CAP和△CBP． 即S :S 3:5或S :S 5:3． CAP CBP CAP CBP 考虑△CAP和△CBP共底边CP，记CP与x轴交于点M，则S :S  AM :BM CAP CBP y C O B A M x P 3  ①AM：BM＝5：3，点M坐标为 ,0， 2  根据C、M坐标求解直线CM解析式：y2x3， 联立方程：x2 2x32x3，解得：x 0（舍），x 4． 1 2 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故P点坐标为（4，－5）． 1  ②AM：BM＝3：5，点M坐标为 ,0， 2  根据C、M坐标求解直线CM解析式为：y6x3， 联立方程：x2 2x36x3，解得：x 0（舍），x 8． 1 2 故P点坐标为（8，－45）． y M D Q B C O x P A 牡丹江中考真题 17．抛物线yx2 bxc经过点A(3,0)和点C(0,3)． （1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）若过顶点D的直线将ACD的面积分为1:2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ． b 4acb2 注：抛物线 的顶点坐标( , ) yax2 bxc(a0) 2a 4a 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 93bc0 解：（1）把点 和点 代入 得： ， A(3,0) C(0,3) yx2 bxc c3 b2 解得： ， ， ， c3 yx2 2x3  yx2 2x3(x1)2 4 顶点D(1,4)． （2）取线段AC 的三等分点E、F ，连接DE 、DF 交x轴于点Q 、Q ，则： 1 2 S :S 1:2，S :S 2:1，点A(3,0)，点C(0,3)， DAE DEC DAF DFC E(2,1)，F(1,2)，DF x轴于点Q ，Q (1,0)， 2 2 设直线DE 的解析式为：ykxb(k 0)， kb4 k 3 把点 ， 代入，得： ，解得： ， D(1,4) E(2,1) 2kb1 b7 直线DE 的表达式为：y3x7， 7 7 当 时，x ，Q( ， ． y0 3 1 3 0) 7 故答案为：Q( ， ， ． 1 3 0) Q (1,0) 2 2022·四川内江中考真题 18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求这条抛物线所对应的函数的表达式； (2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐 标． 【答案】(1) ，(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； （2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直 线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出 DG，然后利用 得到 ，可得出关于m的二次函数，运用二次函 数的最值即可解决问题 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0， 2）． ∴ ，解得： ，∴抛物线的解析式为 ； （2）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分， 又∵S PCB：S PCA＝ ， △ △ 则EB：AE＝1：5或5：1 则AE＝5或1， 即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0）， 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2， 解得：n＝﹣2或 ， 故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝ x+2， 联立方程组 或 ， 解得：x＝6或﹣ （不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）． 2023·四川泸州中考真题 19．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A，B， 三点，其对称轴为 ． (1)求该抛物线的解析式； (2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ． ①当 时，求 的长； ②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的坐标． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据抛物线对称轴为 ，可得 ，求得 ，再将 代入抛物线， 根据待定系数法求得 ，即可解答； 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）①求出点 ，点 的坐标，即可得到直线 的解析式为 ，设 ，则 ，求得 的解析式，列方程求出点 的坐标，最后根据 列方程，即可求出 的长； ②过 分别作 的垂线段，交 于点 ，过点 D 作 的垂线段，交 于点 I，根据 ，可得 ，即 ，证明 ，设 ， 得到直线 的解析式，求出点D的坐标，即可得到点 的坐标，将点E的坐标代入 解方 程，即可解答． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为 ， 得 ， 解得 ， 将 代入抛物线可得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）解：当 时，得 ， 解得 ， ， ， ， 设 的解析式为 ，将 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， 的解析式为 ， 设 ，则 ， 设 的解析式为 ，将 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， 的解析式为 ， 联立方程 ， 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得 ， 根据 ，得 ， 解得 ， ， 经检验， ， 是方程的解， 点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点， 在 轴正半轴， ， 即 的长为 ； ②解：如图，过 分别作 的垂线段，交 于点 ，过点D作 的垂线段，交 于点 I， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ，即点D的横坐标为 ， ， 设 的解析式为 ，将 ， ， 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 代入得 ， 解得 ， 的解析式为 ， ，即 ， ， 四边形 是矩形， ， ，即 ， 将 代入 ， 得 ， 解得 ， （舍去）， ． 2022·四川内江中考真题 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． (1)求这条抛物线所对应的函数的表达式； (2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐 标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）根据S PCB：S PCA＝ 即可求解． △ △ 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0， 2）． ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分， 又∵S PCB：S PCA＝ ， △ △ 则EB：AE＝1：5或5：1 则AE＝5或1， 即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0）， 将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2， 解得：n＝﹣2或 ， 故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝ x+2， 联立方程组 或 ， 解得：x＝6或﹣ （不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣ ，﹣ ）． 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型5】 米勒角（最大张角问题） 例题5-1 21．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l 上的动点，若∠APB的最大值为45°，求直线l的解析式． l y C A B x 【分析】 考虑到直线l未知但∠APB的最大值已知为45°，故构造圆． 记△ABP外接圆圆心为M点，则∠AMB=2∠APB=90°， 故可确定M点位置． y P C M A B x 根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2）， 连接MC、MP，考虑到圆M与直线CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形． ∵MC=4，MP=MA=2 2， ∴CP2 2，即△CPM是等腰直角三角形， 易求P点坐标为（1，4）， 又C点坐标为（-1，2）， 可求直线l的解析式为y=x+3． 山东烟台中考真题 yax2 bx3 x B 22．如图，抛物线 与 轴交于A（-1，0）、 两点，与y轴交于点C，过点C作 6 y x0 CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线 x 经过点D， BD． （1）求抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何 值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果） 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 y y C D C D A B A B O x O x 备用图 【分析】 （1）考虑到点D纵坐标与点C相同，为3，代入反比例解析式，可得D点坐标为（2，3）， 根据A、D坐标可得抛物线解析式：yx2 2x3． （2）求t即求P点位置． 思路2：切割线定理 延长BD交y轴于M点，则当MP2 MDMB时，∠BPD最大． y M C D P A B O x 考虑到B（3，0）、D（2，3），可得直线BD解析式：y3x9， 故直线BD与y轴交点M点坐标为（0，9）， MD2 10 ，MB3 10， ∴MP2 MDMB60， ∴MP2 15，   ∴P点坐标为 0,92 15 ， 故t的值为92 15． 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川宜宾中考真题 23．如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，且经过点 ． (1)求抛物线的表达式； (2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 、 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关 于x轴的对称点为 ，求 的面积； (3)点M是y轴上一动点，当 最大时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，代入点C的坐标，确定a值即可． （2）设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，表 示出P，Q， 的坐标，进而计算即可． （3）当M是y轴与经过A，C，M三点的圆的切点是最大计算即可. 【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于点 、 ， ∴设抛物线的解析式为 ， ∵经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． （2）如图，当点N在对称轴的右侧时， 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ， ∴ 解得 ， ∴ 直 线 的 解 析 式 为 ， 直 线 的 解 析 式 为 ， 当 时， ， ， ∴ ， ， ， 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ． 如图，当点N在对称轴的左侧时， ∵ ， ∴对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， ∴ ， ∴ ． 综上所述， ． （3）当 的外接圆与 相切，切点为M时， 最大， 设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接 ， ， 交圆于点T， 则 ，根据三角形外角性质，得 ，故 ， ∴ 最大， 设 与圆交于点H，连接 ， ，根据切线性质， ∴ ， 作直径 ，连接 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， 过点E作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，交 于点P， 根据垂径定理，得 ，四边形 是矩形， ∴ ， 根据 ，得 ， ∴ ， ∴ ， 在直角三角形 中， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， 故 ，∴当 最大时， ． 【43淘宝店铺：向阳百分百】