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初三线上“一起练习”（一）数学
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
.
A 有症状早就医 B. 少出门少聚集
C. 戴口罩讲卫生 D. 勤洗手勤通风
2. 如图，已知 ，点D，E分别在边 ， 的反向延长线上，且 ．若 ，
， ，则AB为( )
A. 5 B. 8 C. 10 D. 15
3. 把抛物线 先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解
析式是( )
A. B. C. D.
4. 如图， 内接于 ，BD是 的直径．若 ，则 等于( )
.
A 40° B. 43° C. 45° D. 53°
5. 已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为( )
A. 1 B. 2 C. D.6. 近年来，盲盒受到越来越多人关注．某公司生产一种盲盒，在自动售卖机销售，物价局规定，这种盲盒
的市场销售单价不得高于 元，不得低于 元．经市场调查发现，当盲盒的销售单价不高于 元和高于
元时，每月销售量与销售单价分别满足某种函数关系．下表是部分市场调查数据：
销售单价/元
月销售量/盒
设该种盲盒的月销售量为y盒，销售单价为x元，则y与x之间满足的函数关系式可以为( )
A. B.
C. D.
7. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A. 点B在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切 D. 直线BC与⊙A相离
8. 四位同学在研究二次函数 时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线 ；乙
同学发现当 时， ；丙同学发现函数的最小值为 ；丁同学发现 是一元二次方程
的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是(
)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形 的面积为2，则反比例函数的解析式是
______．10. 如图， ，如果 ， ， ，则 的长为______．
11. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，则方程一定有一个根是x＝_____．
12. 在平面直角坐标系 中，若 ， ， 是二次函数 图像上的
三点，则 ， ， 的大小关系是______．（用“ ”号连接）．
13. 如图， 的周长为16， 是 的内切圆，若 ， ，则 的长为______．
14. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为 的圆弧形窗帘轨道
（如图2）需用此材料 ，则此圆弧所在圆的半径为______mm．15. 将含有 角的直角三角板 如图放置在平面直角坐标系中， 在x轴上，若 ，将三角
板绕原点旋转 得到 ，则点A的对应点 的坐标为______．
16. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段
AB及优弧AB围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所
示．此时若在B处安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是______．（填写方
案序号即可）
①在M处放置2台该型号灯光装置 ②在P处放置2台该型号灯光装置
③在M，N处各放置1台该型号灯光装置
三、解答题（共68分，第17题6分，第18－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第
27－28题，每题7分）
.
17 解方程：
（1） ；（2） ．
18. 如图，点B、C在线段 上，且 ， ， 是边长为6的等边三角形．
求证： ．
19. 关于x的一元二次方程 ．
（1）当 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
20. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点O是弧 的圆心，C为弧 上一点， ，垂
足为D．已知 ， ，求这段弯路的半径．
21. 已知二次函数 的部分图象如图所示，点O，A，B在二次函数图象上．
（1）写出此二次函数的对称轴______，并求这个二次函数的解析式；（2）关于x的一元二次方程 的根为_____；
（3）当 时，y的取值范围是_____．
22. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ，使得点C在直线l上方，且 ．
作法：
①分别以A，B为圆心， 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心， 长为半径画圆；
③在劣弧 上任取一点C（不与A，B重合），连接 ， ． 就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧 上任取一点M（不与A，B重合），连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，M在 上，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
∵四边形 内接于 ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线 与反比例函数 图象有两个交点A、B．（1）若点A的坐标为 ，
①点B的坐标为______；
②不等式 的解集为______；
（2）若 ，直接写出k的取值范围为______．
24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度 为 ．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分
别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度
．记喷出的水与喷水口的水平距离为 ，上边缘距地面的高度为 ，下边缘距地面的高
度为 ．测量得到如下数据：
0 1 2 3 4 5 6
2 0
1.
0
5
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出上边缘函数的图像；（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程 为______m，并求上边缘抛物线的函数
解析式；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离 的
取值范围为______．
的
25. 如图1， 是 直径，点 在 上，连接BC，OD， ．
（1）求证：D为弧 的中点；
（2）如图2，过点D作 的垂线与 交于点E，作直径 交 于点G．若G为 中点， 的
半径为5，求弦 的长．
26. 已知，在平面直角坐标系 中，二次函数 ．（1）若函数图象的对称轴为y轴，直接写出a的值为______；
（2）点 是抛物线上一点，当 时，n的最小值记为N．
①若 ，直接写出N的值为______；
②若 ，结合函数图象，求a的取值范围．
27. 在 中， ， ， 在线段 上，点 为直线 上一动点，连接 ．
射线 绕点 顺时针旋转 ，交直线 于点 ，连接 ．
（1）如图1，若 ，当点E在线段AB上且满足 时， ， ，请直接写出
的
长为________（用含 的式子表示）；
（2）如图2，若 为 中点，当点 在 延长线上时，设 ， ，请直接写出 的长为_________（用含 的式子表示）；
（3）如图3，若 为 中点，当点 在 延长线上时，请补全图形，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，给出如下定义：若存在 使得 ，则称
为线段PQ的“幸福三角形”，点 称为线段 的“幸福点”．
（1）已知 ．
①在点 ， ， ， 中，是线段 的“幸福点”的是______；
②若存在等腰直角三角形 是线段 的“幸福三角形”，直接写出点B的坐标为______；
③过线段 上一动点M，作直线 ．记此直线上线段 的“幸福点”为点C，直接写出点C的横
坐标m的取值范围为______；
（2）已知点D的坐标为 ， 的圆心为 ，半径为3，若 上存在线段 的“幸福点”，
直接写出t的取值范围为______．
