文档内容
2022-2023 学年度第一学期九年级期中质量监测
初三数学
班级：____________________ 姓名：____________________ 学号：
____________________
一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个）
1. 抛物线 的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，解题关键是明确顶点式 的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ．
2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人
工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心
对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转 180°，与自身重合，这样的图形叫做中
心对称图形．逐一进行判断即可．【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不 是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．
3. 若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则m的值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】把 代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二
次方程的根．
4. 在平面内，已知 ，若点P在 上，那么点Q与 的位置关系是（ ）
A. 点Q在 内 B. 点Q在⊙O上 C. 点Q在 外 D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得出 的半径 ，再根据 得出点Q与 的位置关系．
【详解】解：∵ ，点P在 上，
∴ 的半径 ，
∵ ，∴点Q与 的位置关系是点Q在 外，
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意：已知 的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当
时，点P在 内，②当 时，点P在 上，③当 时，点P在 外．
5. 如图， ， 是⊙ 的半径，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及圆周角定理可直接进行排除选项．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6. 如图，在正方形 中，点E在边 上，且 ，将 绕点A逆时针旋转
至 ，使点B与点D重合，则点E，F之间的距离为（ ）A. B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出 ，进而可得 和 ，然后利用
勾股定理求出 即可．
【详解】解：连接 ，
∵在正方形 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针旋转至 ，使点B与点D重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合
运算，求出正方形 的边长是解题的关键．
7. 二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象得对称轴为 ，然后可得点 关于 的对称点的坐标，进而可得答案．
【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为 ，
∴点 关于 的对称点的坐标为 ，
∴关于x的不等式 的解集是
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
8. 在一次足球比赛小组赛中，每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛，主办方共投入使用 个球场，每天每个球场共安排 场比赛，若连续 天才能保证小组赛全部比完，则本次小组赛参赛球
队有（ ）
A. 15支 B. 16支 C. 17支 D. 18支
【答案】B
【解析】
【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有 个足球队，比
赛场次共有 场，再根据共有 场比赛活动来列出方程，从而求解．
【详解】解：设有x个足球队参加，依题意，
，
整理，得 ，
，
解得： ， 舍去 ；
即：共有 个足球队参加比赛．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 将抛物线 向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ；
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．10. 设 分别是一元二次方程 的两个不相等的实数根，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．
【详解】解： ， 是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．一元二次
方程 的根与系数的关系为： ， ．
11. 如图， 是 的直径，C是 的中点，若 ，则 的度数为___________．
【答案】 ##40度
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出 的度数，进而可得 的度数．
【详解】解：∵C是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
12. 请写出一个开口向下，且经过点 的抛物线的表达式为___________．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】
【分析】可以把点 作为抛物线的顶点，根据开口向下可知二次项系数取一个负数即可．
【详解】解：写出一个开口向下，且经过点 的抛物线的表达式为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方
向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知 为等腰直角三角形， ，旋转的性质可得 ， ，
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知 为等腰直角三角形，
的
由旋转 性质可得， 为旋转角， ，旋转角的度数为连接 ，如下图：
则 ，
由勾股定理可得：
故答案为 ，
【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．
14. 如图，点O为线段 的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接 ， ．请写出图中任意一
组互补的角为___________和___________（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先判断出点A，B，C，D四点共圆，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案．
【详解】解：∵点B，C，D到点O的距离相等，且 ，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴ ， ，
∴图中互补的角为 和 ， 和 ，
故答案为： ， （或 ， ）．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
15. 关于x的方程 有两个不相等的实根，则k的取值范围是__________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数k的最小值为___________．
【答案】 ①. 且 ， ②. 2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义列式求出k的值，然后根据两个实根均为有理数得
出 是有理数，进而可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∵该方程的两个实根均为有理数，
∴ 是有理数，
∵ ， ，
∴整数k的最小值为2，
故答案为： 且 ；2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的意义，公式法解一元二次方程，熟练掌握方程解
的情况与判别式 的关系是解题的关键．
16. 我们将满足等式 的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的
“心形”图形．下面三个结论中，①“心形”图形是轴对称图形；
②“心形”图形所围成的面积一定大于2；
③“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于 ，
所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①根据等式的特点，用 代替 ，计算后可知“心形”图形关于y轴对称；②如图，求
出点A、B、C、D、F的坐标，可得四边形 是矩形，求出矩形 的面积为2可得结论正确；③
当 时 ， 求 出 ， 可 得 ， 则 ，
，可得“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，再根据对称性
可得结论．
【详解】解：①在 中，用 代替 得 ，
即 ，
所以“心形”图形关于y轴对称，故①正确；
②如图，“心形”图形与x轴交于A、D，与y轴交于点F，过A作 轴交“心形”于点B，过点D
作 轴交“心形”于点C，
令 时，可得 ，即 ，∴ ，
令 ，可得 ，即 ，
∴ ， ，
令 ，可得 ，则 或 ，
∴ ，
令 ，可得 ，则 或 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴“心形”图形的面积 ，故②正确；
③当 时，∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，∵“心形”图形关于y轴对称，
∴“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过 ，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，坐标与图形，矩形的判定和性质，完全平方式的应用以及勾股定
理的应用，对学生的数形结合能力要求较高，属于综合题．
三、解答题（本题共52分，17-18题每题4分，19-23题每题5分，2425题每题6分，26题7
分）
17. 解方程： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】用因式分解法解一元二次方程即可
【详解】解：因式分解得 ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
18. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】首先提取公因式 ，得到 ，再解两个一元一次方程即可．
【详解】解： ，，
或 ，
， ．
【点睛】本题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤．
19. 若a是关于x的一元二次方程 的根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】将a代入方程 可得： ，再将代数式化简，整体代入求值即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程 的根，
∴ ，整理可得： ，
，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值，注意整体代入思想的应用，一元二次方程的根是
指满足方程成立的未知数的值．
20. 如图， 是 的内接三角形， 于点D．
下面是借助直尺，画出 中 的平分线的步骤：①延长OD交 于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以 ．
即线段AN为所求 中 的平分线．
（1）依据题意，补全图形：
（2）请回答，得到 的两个主要依据是___________．（填写序号）
①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；
③直径所对的圆周角是直角； ④等弧所对的圆周角相等．
【答案】（1）见解析；
（2）①④．
【解析】
【分析】（1）根据所给步骤补全图形即可；
（2）根据垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧可得 ，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等可得 ，据此可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：延长OD交 于点M，
∵ ，垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧，
∴ ，
∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴ ，
∴线段 为所求 中 的平分线．
即得到 的两个主要依据是：①垂直于弦的直径平分弦所对的劣弧；④等弧所对的圆周角
相等；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了基本作图，垂径定理的推论，圆周角定理，解题的关键在于掌握垂直于弦（非直径）
的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
21. 如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________．
（2）将 绕点B顺时针旋转得到 ，其中点A与点D对应，点D在线段 上，请在图中画出
；
（3）经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”）
【答案】（1） ；
（2）见解析； （3）不能．
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质可得答案；
（2）先作出 ，由旋转后点D在线段 上可知绕点B顺时针旋转 ，根据旋转的性质确定点
D、E的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据A、B、E三点共线可得答案．
【小问1详解】解：∵ ，
∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；
【小问3详解】
解：由图可得，A、B、E三点共线，
∴经过A，B，E三点不能确定一个圆，
故答案为：不能．
【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，
作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键．
22. 已知抛物线 ，
（1）直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为___________．
（2）求该抛物线的顶点坐标；
（3）画出它的图象；（4）若 在抛物线上，且 ，直接写出m的取值范围是___________．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）见解析； （4） ．
【解析】
【分析】（1）根据交点式可直接得出与x轴的交点坐标；
（2）将交点式化为顶点式可得答案；
（3）先列表，然后画出函数图象即可；
（4）根据函数图象可得点 和 是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2，进而可得答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线 ，
∴该抛物线与x轴的交点坐标为 ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ；
【小问3详解】
解：列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
函数图象如图：【小问4详解】
解：由函数图象得，点 和 是抛物线上的对称点，且横坐标之差为2，
∴若 在抛物线上，且 ，则m的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的交点式，顶点式，画函数图象，二次函数与不等式等知识，会画函数图象，
并利用函数图象解决问题是解题的关键．
23. 如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车
之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A，B两点，设 所在圆的圆心为O，半径为 ．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则 ___________．
经测量， ，则 ___________ ；用含r的代数式表示 ___________
．
在 中，由勾股定理可列出关于r的方程： ___________．解得 ．
通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”）【答案】 ， ， ， ，兵车
【解析】
【分析】根据垂径定理，进行作答即可．
【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴此车轮为：兵车之轮；
故答案为： ， ， ， ，兵车．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键．
24. 已知抛物线 经过点 ．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当抛物线与x轴交于点 时，求此时a的值；
（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当 时，求a的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）把 代入抛物线解析式，整理后可得答案；（2）把 代入抛物线解析式可得 ，然后根据（1）中结论进行计算即可；
（3）令 ，求出 ， ，然后根据 得出含绝对值的不等式，解不等
式可得答案．
【小问1详解】
解：把 代入 得： ，
整理得： ；
【小问2详解】
解：把 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由（1）知， ，
∴ ，
令 ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，解不等式等知识，熟练掌握
待定系数法是解题的关键．
25. 已知 ，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在
线段BC的延长线上，且 ．过点D作 于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时 与 的数量关系是___________；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明： ；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段 ， ，
之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）作图见解析，证明见解析；
（3）能， ．
【解析】
【分析】（1）先证明 是 的垂直平分线，可得 ，求出，从而可得结论；
（2）根据题意补全图形，过 作 于 证明 ，可得 ，
再证明 ，从而可得 ， ，于是可得结论；
（3）如图，过 作 于 ，同（2）可得： ， ，可得
的
， ， ， 再根据线段 和差，等量代换得出答案．
【小问1详解】
解：当 重合时，
点 在线段 的延长线上， ， ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
补全图形如图所示，
证明：过 作 于 ，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：点 能在射线 的反向延长线上，
如图，过 作 于 ，
同理可得： ，
，
，，
即 ．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定与性质等知识，作
出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
26. 定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则
称图形M与图形N关于原点O“平衡”．
（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，
2）．
①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是 ；
②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；
（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若
⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．
【答案】（1）① C，D；② 或 ；（2） 或
．
【解析】
【分析】（1）①求出OC＝1，OD＝ ，OE＝ ，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为
3，根据“平衡”定义判断即可；②由①可得出1≤OH≤3，求出两端点的坐标即可确定范围；
（2）分圆心K在原点左侧和右侧两种情况，分别求出极值，判断范围即可．
【详解】解：（1）①∵点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．
∴OC＝1，OD＝ ，OE＝ ，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为3，
∵1＝1，1＜ ＜3， ＞3，
∴点C，D是与⊙A关于原点O“平衡”，
故答案为：C，D．
②解：若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．
当OH＝1时，点H为直线y＝﹣x上一点，则点H坐标为 ，
∴ ，
解得， ，
∴H（﹣ ， ）或（ ，﹣ ），
当OH＝3时，同理可得，H（﹣ ， ）或（ ，﹣ ）
∴点H横坐标的取值范围是 或 ．
（2）如图3﹣1中，K从原点向右平移时，当⊙K经过（﹣ ，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开
始“平衡”，此时，K（2﹣ ，0），当⊙K经过（ ，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束的
“平衡”，此时，K（2+ ，0），观察图象可知满足条件 x的值为2﹣ ≤x≤2+ ．
如图3﹣2中，K从原点向左平移时，当⊙K经过（ ，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开始“平
衡”，此时，K（﹣2+ ，0），当⊙K经过（﹣ ，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束“平
衡”，此时，K（﹣2﹣ ，0），观察图象可知满足条件的x的值为﹣2﹣ ≤x≤﹣2+ ．
综上所述，圆心K的横坐标的取值范围 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与新定义问题，解题关键是熟练运用数形结合思想，分类讨论思想，准确作
图，合理推导进行解答．
