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燕山地区 2022—2023 学年第二学期八年级期末质量监测
数学试卷
满分100分，考试时间120分钟
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算 的结果为（ ）
A. 3 B. C. D. －3
【答案】A
【解析】
【分析】根据 化简即可．
【详解】解： ．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
2. 如图， 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到 ，进而得到 ，即可求出结果.
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握 是解题的关键.
3. 点 在正比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】把 代入 求解即可．
【详解】∵点 在正比例函数 的图象上，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适应此函数
的解析式是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法法则计算即可．
【详解】A． ，故不正确；
B． 与2不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C． ，正确；
D． ，故不正确；故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 在 中， 的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定 是直角三角形的
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A、∵
∴ 是直角三角形，
故A不符合题意；
B、
∴ 不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵
∴设
∴
∴ 是直角三角形
故C不符合题意；D、∵
∴
∴ 是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内
角和定理是解题的关键．
6. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7
分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
.
A 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【详解】 分．
故选B．
【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解
《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾 ，弦 ，则小正方形的面积为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出 ，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】∵勾 ，弦 ，
∴
∴小正方形的面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：①三角形的高一定，三角形的面积y与底边长x；②将泳池中的水匀
速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；③一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，
观光船与景区间的距离y与行驶时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示
的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】图象为y随x增大而减小的一次函数，据此判断即可．
【详解】解：图中 为一次函数，且 ，y随x增大而减小，
设三角形的高为k，且 ，
∴ ，故①错；
将泳池中的水匀速放出，直至放完，根据泳池中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②正确；
一艘观光船沿直线从码头匀速行驶到某景区，观光船与景区间的距离y随行驶时间x增大而减小，故③正
确；故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能
够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
10. 直线 向上平移2个单位长度后得到的直线的解析式为______．
【答案】y＝3x＋2
【解析】
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．
【详解】解：将直线y＝3x向上平移2个单位长度，得到直线的解析式为：y＝3x＋2．
故答案是：y＝3x＋2．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
11. 已知点 ， 在一次函数 的图象上，且 ，则 的值可以
是______（写出一个条件即可）．
【答案】
（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由 时， ，根据一次函数的增减性，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点 ， 在一次函数 的图象上，且 ，∴y随着x的增大而减小，
∴ ，
∴k可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．
12. 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，再添加一个条件，使得四边形 是正方形，
这个条件可以是__________（写出一个条件即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：这个条件可以是 （答案不唯一），
理由： 四边形 是矩形， ，
四边形 是正方形，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，以点O为圆心， 长为半径画弧，交x轴的正半
轴于点B，则点B的横坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 的长，即可解决问题．【详解】解：∵点 ，
∴ ，
∵点A、B均在以点O为圆心， 长为半径的弧上，
∴ ,
∵点B交于x轴的正半轴，
∴点B的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理以及坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边
长为c，那么 ．
14. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为边 的中点，连接 ．若
， ，则 的长为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】由菱形的性质得到 ， ， ，由勾股定理求出
，由直角三角形斜边中线的性质即可求出 的长．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ， ，， ，
， ，
，
点 为边 的中点，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质，勾股定理求出
的长，由直角三角形斜边中线的性质即可求出 长．
15. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高y
（单位： ）是指距x（单位： ）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：
指距x
16 18 20 22
/
身高y/
133 151 169 187
小明的身高是 ，一般情况下，他的指距约是___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当 时 的值即可．
【详解】解：设身高y（单位： ）是指距x（单位： ）的一次函数解析式为 ，当 时，，当 时， ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
即小明的身高是 ，一般情况下，他的指距约是 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
16. 2023年4月，北京市每日最高气温的统计图如图所示：
根据统计图提供的信息，有下列三个结论：①若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位；
②4月7日到4月8日气温上升幅度最大；③若记4月上旬（1日至10日）的最高气温的方差为 ，中旬
(11日至20日)的最高气温的方差为 ，下旬（21日至30日）的最高气温的方差为 ，则 ．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】①根据折线统计图提供的数据作答即可；
②根据折线统计图提供的数据作答即可；
③根据方差的意义作答即可．
【详解】解：①由图可知，4月4日的最高气温在4月是最低的，所以若按每日最高气温由高到低排序，4月4日排在第30位．故本结论正确，符合题意；
②由图可知，所以4月7日到4月8日气温上升幅度约为 ，4月24日到4月25日气
温上升幅度约为 ，所以4月7日到4月8日气温上升幅度不是最大．故本结论错误，
不符合题意；
③由图可知，4月上旬 日至10日）的最高气温在 至 徘徊，中旬 日至20日）的最高气温在
至 徘徊，下旬 日至30日）的最高气温在 至 徘徊，所以上旬气温波动最大，中旬
气温波动最小，下旬气温波动在上旬与中旬之间，所以 ．故本结论正确，符合题意；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查的是折线统计图和方差．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．一组数据中各数据
与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每
题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】10
【解析】
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】分别零次幂、绝对值和化简二次根式计算，最后按照实数的运算法则运算即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了零次幂、二次根式的加减，解题的关键在于熟练相关运算法则．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】4
【解析】
【分析】将 变形后，再将a的值代入计算可得结果．
【详解】解： ．
当 时， ，
∴
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完
全平方公式．
20. 已知一次函数 的图象与两坐标轴分别交于点 ，求该一次函数的解
析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件运用待定系数法将A、B点的坐标代入 列方程组求得k和b的值即可．【详解】解：将点 的坐标分别代入 中，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式 ．
【点睛】本题考查运用待定系数法，求一次函数的解析式，将已知点代入列方程组，求得k和b的值即得
答案．
21. 下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其
中一种，完成证明．
已知：如图，四边形 中， ， ，求证：四边形
是平行四边形．
思路一：条件中已有 ，只需 思路二：条件中已有 ，只需
证明 即可． 证明 即可．
证明：如图，连接 ． 证明：如图，连接 ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】思路一：连接 ，由 ，得 ，即可根据全等三角形 的 判定定理
“SAS" 证明 ，得 ，则 ， 即可根据平行四边形的定义证明
四边形 是平行四边形；
思路二：连接 ，可证明 ，得 ，而 ，即可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形 是平行四边形；
【详解】证明：思路一：
如图，连接 ．
∵ ,
∴ .
又 ∵ ,
∴
∴ ,
∴ .
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
思路二：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形
是平行四边形是解题的关键．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1） 为直角三角形，见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据图中的数据，根据勾股定理判断三角形的形状；
（2）将四边形的面积分解为两个三角形的面积分别计算即可.
【小问1详解】
解： 为直角三角形．
理由如下：由题意，
，
，
，
∴ ，∴ ， 为直角三角形．
【小问2详解】
解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了坐标图，提高读图能力是解题的关键.
在
23. 如图， 平行四边形 中，对角线 交于点O， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，作 的平分线 交 于点E，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，根据矩形的判定定理可得结论；
（2）根据矩形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
，再根据勾股定理解题即可．【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 为矩形．
【小问2详解】
解：如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵ 为 的平分线，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查矩行的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的
关键．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质
的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数 与 进行了探究．下面是小腾的探究过程，
请补充完整：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是 与 ， 的几组对应值；
… 0 1 …
… 0 2 …
… b 5 …
其中，b=________；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点 ， 并画出
函数 ， 的图象．
（2）结合函数图象，探究函数性质
①函数 ， 的图象的交点坐标为______，则关于x，y的二元一次方程组 的解是________；
②过点 作垂直于x轴的直线与函数 ， 的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，
的取值范围是_________．【答案】（1）①6；②见解析；
（2）① ， ；② ．
【解析】
【分析】（1）①依据题意，通过解析式代入可以得解；
②依据题意，结合①可以得解；
（2）①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解；
②依据题意画出图象分析即可得解；
【小问1详解】
①当 时，
故 ；
②画出函数 ， 的图象如下图；
【小问2详解】
①由（1）中图像可知：函数 ， 的图象的交点坐标为
则方程组的解为：
故答案为： ，
②如图：显然 在A左侧时点P位于点Q下方，又
故答案为
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数
与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解．
25. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测
试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组： ）．
b．八年级学生成绩在 这一组的是：
81 83 84 84 84 86 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 83.1 88 89
八 83.5 m 84
根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；
（2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是
________（填“小亮”或“小宇”），理由是________；
（3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优
秀奖的学生人数．
【答案】（1）83.5；
（2）小宇，理由见解析；
（3）105人．
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
（3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案．
【小问1详解】
八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84
故中位数 ；
【小问2详解】
小宇；
理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；
小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所
以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
【小问3详解】
（人），
估计八年级获得优秀奖的学生有105人
【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是
解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在一次函数 的图象上．
（1）若 ， ， ，求该一次函数的解析式；
（2）已知点 ，将点A向左平移3个单位长度，得到点B．①求点B的坐标；
②若 ，一次函数 的图象与线段 有公共点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）① ；② ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①根据平移的规律即可求得；
② 把 点 和 点 代 入 得 到 ， ． 由
，可得 ，然后分别代入点A、B求得b的值，即可求得b的取值范围．
【小问1详解】
当 ， ， 时，则 和点 ，代入 中，
得
解得
∴一次函数的解析式
【小问2详解】
①∵点 ，将点A向左平移3个单位长度，得到点B
∴ ；
② ∵点 和点 在一次函数 的图象上，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ＝4，∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ．
当直线 经过点 时，
，
解得 ．
当直线 经过点 时，
，
解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，
坐标与图形的变化-平移，熟知待定系数法是解题的关键．
27. 如图，菱形 中， ，E为边 上一点，点F在 的延长线上， ，
作点F关于直线 的对称点G，连接 ．
（1）依题意补全图形，并证明 ；
（2）用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2） ，证明见进解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，根据菱形的性质结合 可推出 ，从而推出结论；
（2）方法1：连接 ，根据菱形的性质结合 推出 为等边三角形，得出
，由点F关于 的对称点G在线段 上，推出 为等边三角形，根
据 证明 得出 ，从而得出结果；
方法2：延长 到H，使 ，根据菱形的性质易证 ，再根据全等三角形的性质
及等边三角形的判定证明 为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可得证．
【小问1详解】
补全的图形如图所示；
证明：∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
之间的数量关系： ．
证明：方法1如图，连接 ．
∵菱形 ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
点F关于 的对称点G在线段 上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．证明：方法2
如图，延长 到H，使 ，
∴ ．
∵菱形 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵菱形 ， ，点F关于直线 的对称点为G，
∴点G在线段 上， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定
理是解题的关键.
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，对于直线l和点P，给出如下定义：若在线段
上存在点Q，使得点P，Q关于直线l对称，则称直线l为点P的关联直线，点P是直线l的关联点．（1）已知直线 ： ，在点 ， ， 中，直线 的关联点是___________；
（2）若在x轴上存在点P，使得点P为直线 ： 的关联点，求b的取值范围；
（3）已知点 ，若存在直线 ： 是点N的关联直线，直接写出n的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）利用网格图确定线段 关于直线 ： 对称的线段 ,点 在 上，得
出结论．
（2）如图，由题意知，点Q在线段AB上，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ，直线 经过原
点，此时b=0；当点Q与点B重合时，点P的坐标为 ，直线 经过点A，此时 ，所以 ．
（3）如图，点 在直线 上，设线段 关于 的对称线段为 ,当直线 ：
为 时，可求 ，此时，点 为满足题意的点N， ；，当 在第一、三象限内，
存在如下图情况，此时，点 落在 上， 落在x轴上，连接 ，过点A作 轴，垂足为，可求 ，此时， 为满足题意的点N， ；如图，线段 与 关于y
轴对称，可求 ，此时 为满足题意的点N， ；如图，当直线 在第二、四象限，
存在如下情况，点 在直线 上，点 在x轴上,作 ，垂足为H，可求 ，
此时 为满足题意的点N， ，得出结论．
【小问1详解】
解：如图，线段 关于直线 ： 对称的线段 ,点 在 上，故直线 的关联点是
；
【小问2详解】
解：如图，由题意知，点Q在线段AB上，
∵点P为直线 的关联点，
∴点P关于直线 的对称点为Q，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ，
是等腰直角三角形，直线 经过原点，此时b=0；
当点Q与点B重合时，点P的坐标为 ，
是等腰直角三角形，直线 经过点A，此时 ．
综上所述，b的取值范围是 ．
【小问3详解】
解：如图，点 在直线 上，设线段 关于 的 对称线段为 ,
当直线 ： 为 时，点 ， 关于直线 的对称点 , ，此时，
点 为满足题意的点N， ；随着 增大，当 在第一、三象限内，存在如下图情况，点 落在 上， 落在x轴上，连
接 ，由对称知， ，
∴
过点A作 轴，垂足为 ， 中，
∴
∵
∴ ,
∴点
的
此时， 为满足题意 点N，故 时，存在直线 ： 是点 的关联直线；
如图，线段 与 关于y轴对称， ,此时 为满足题意的点N， ；
如图，当直线 在第二、四象限，存在如下图情况，点 在直线 上，点 在x轴上,
过点 作 ，垂足为H，由对称知， ， ，
， 中，
∵
∴
∴此时 为满足题意的点N，
故 时，存在直线 ： 是点 的关联直线；
综上，若存在直线 ： 是点 的关联直线，则 ，或 ．
【点睛】本题考查直角坐标系与点的坐标，轴对称，等腰直角三角形，勾股定理，动态的理解图形，分类
对所有情况作完备的讨论是解题的关键．
