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2023届高考数学三轮冲刺卷：均值不等式及其应用
一、选择题（共20小题；）
1. 设正实数 a，b 满足 a+λb=2（其中 λ 为正常数）．若 ab 的最大值为 3，则 λ= ()
3 2 1
A. 3 B. C. D.
2 3 3
2. 若 x>0，y>0，且 x+ y=18，则 √xy 的最大值为 ()
A. 9 B. 18 C. 36 D. 81
3. 已知 x>0，y>0，且 x+2y=2，则 xy ()
1 1
A. 有最大值为 1 B. 有最小值为 1 C. 有最大值为 D. 有最小值为
2 2
4. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y（单位：
10 万元）与营运年数 x(x∈N) 为二次函数关系，如图．当每辆客车营运的年平均利润最大时，
营运年数为 ()
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，半圆的直径为 2，A 为直径 MN 的延长线上一点，且 OA=2，B 为半圆上任意一点，
以 AB 为边作等边三角形 ABC．当 ∠AOB=x 时，S 等于 ()
四边形OACB
5√3
A. sinx B. sinx−√3cosx+
4
5√3 5√3
C. −√3cosx+ D. sinx+√3cosx−
4 4
6. 若 x,y,a∈R ，且 √x+√y≤a√x+ y 恒成立，则 a 的最小值是 ()
+
√2 1
A. B. √2 C. 1 D.
2 21 2
7. 已知正实数 a，b 满足 + =√ab，则 ab 的最小值为 ()
a b
A. √2 B. 2 C. 2√2 D. 4
8. 在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是 ()
1 1 ( π)
A. y=x+ B. y=cosx+ 00，b>0，且 a+b=4，则下列不等式恒成立的是 ()
1 1 1 1 1 1
A. > B. + ≤1 C. √ab≥2 D. ≤
ab 2 a b a2+b2 815. 不等式 a+1≥2√a(a>0) 中，等号成立的条件是 ()
1
A. a=0 B. a= C. a=1 D. a=2
2
16. 若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 ()
1 1 2 b a
A. a2+b2>2ab B. a+b≥2√ab C. + > D. + ≥2
a b √ab a b
17. 若动点 A，B 分别在直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到
1 2
原点的距离的最小值为 ()
A. 3√2 B. 2√2 C. 3√3 D. 4√2
2x
18. 一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数 y= (x>0) 的图象上，如图所示，则此矩形
1+x2
绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ()
π π π
A. π B. C. D.
3 4 2
19. 过点 A(2021,a) 和 B(2020,b) 的直线与直线 l：x+ y+m=0 垂直，则 ∣AB∣ 的值为
()
A. 4 B. 2
C. √2 D. 与 m 的取值有关
20. 若正数 x，y 满足 2x2−xy+2y2=x+ y+1，则 x+ y 的取值范围是 ()
[ 2 ] (1 ]
A. − ,2 B. (0,2] C. ,2 D. (1,2]
3 2
二、填空题（共5小题；）
t2−4t+1
21. 已知 t>0，则函数 y= 的最小值为 ．
t
22. 函数 y=log (x+3)−1 (a>0,且a≠1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0
a
1 2
上，其中 mn>0，则 + 的最小值为 ．
m n
23. 已知 x>0，y>0，且 2x+8 y−xy=0，则 x+ y 的最小值为 ．
24. 记 t=x+ y−a(x+2√2xy)，x>0，y>0．已知对任意的 x>0，y>0，恒有 t≥0，则实数 a
的取值范围为 ．25. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若 ⃗AD=x⃗AB+ y⃗AC，则 x=
，y= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 若实数 x，y，m 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣，则称 x 比 y 远离 m．
（1）若 x2−1 比 1 远离 0，求 x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 a，b，求证：a3+b3 比 a2b+ab2 远离 2ab√ab．
27. 已知 f (x)=∣x−a∣(x−2)+∣x−2∣(x−a)．
（1）当 a=2 时，求不等式 f (x)<0 的解集；
（2）当 x∈(−∞,a) 时，f (x)<0，求 a 的取值范围．
28. 如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，
D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB=3 米，AD=2 米．
（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内?
（2）当 DN 的长度是多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值．
29. 已知 a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c=1．证明：
1 1
（1）∣a− ∣+∣b+c−1∣≥ ；
2 2
（2）(a3+b3+c3) ( 1 + 1 + 1 ) ≥3．
a2 b2 c2
30. 已知函数 f (x)=∣x+a∣+∣x−b∣．
（1）当 a=1，b=2 时，求不等式 f (x)≥5 的解集；
1 1 4
（2）设 a>0，b>0，若 f (x) 的最小值为 2，证明： + ≥ ．
a b+1 3答案
1 1 (a+λb) 2 1
1. D 【解析】由题意得 ab= ×a×(λb)≤ × = ，当且仅当 a=λb=1 时，等号成立，
λ λ 2 λ
1 1
所以 =3，即 λ= ．
λ 3
x+ y
2. A 【解析】因为 x+ y=18，所以 √xy≤ =9，当且仅当 x= y=9 时，等号成立．
2
3. C 【解析】因为 x>0，y>0，x+2y=2，
1
所以 x+2y≥2√x⋅2y，即 2≥2√2xy，xy≤ ，
2
1
当且仅当 x=2y，即 x=1，y= 时，等号成立．
2
1
所以 xy 有最大值，且最大值为 ．
2
4. C 【解析】提示：y=−x2+12x−25 ，记年平均利润为 z ，有
−x2+12x−25 ( 25)
z= =− x+ +12，所以当 x=5 时，每辆客车营运的年平均利润最大．
x x
5. B
【解析】因为 ∠AOB=x，
则 △ABC 的面积为
1
S = AB⋅AC⋅sin60∘
2
√3
¿ = (OB2+OA2−2OB⋅OA⋅cosx)
4
¿ ¿
1 1
又因为 S = OA⋅OB⋅sinx= ⋅2⋅1⋅sinx=sinx，
△OAB 2 2
5√3
所以四边形 OACB 的面积为 S +S = −√3cosx+sinx，
△ABC △OAB 4
故选B．
√x+√y
6. B 【解析】因为 √x+√y≤a⋅√x+ y 恒成立，所以 ≤a 恒成立．
√x+ y
2√x⋅y
两边同时平方，整理后得 1+ ≤a2 恒成立，即不等式左边的最大值 ≤ 不等式右边的最小值．
x+ y
因为 x+ y≥2√x⋅y（当且仅当" x= y "时取" = "），所以不等式左边的最大值为 2，所以 a2≥2，所
以 a≥√2．
7. C
8. D 【解析】对于选项A：当 x<0 时，A显然不满足条件；1
选项B：y=cosx+ ≥2，当 cosx=1 时取等号，
cosx
π
当 00，所以 ex+ −2≥2 ex ⋅ −2=2，
ex ex
故只有D满足条件．
9. D 【解析】化圆 x2+ y2−4x+2y−4=0 为 (x−2) 2+(y+1) 2=9，可得圆心 M 的坐标为
(2,−1)，半径为 3，
由圆的弦的性质可得，最长的弦即为圆的直径，
所以 AC 的长为 6，
因为点 O(0,0)，
所以 ∣MO∣=√5，
当弦 BD 最短时，弦 BD 和 MO 垂直，且经过点 O，
此时 ∣BD∣=2√9−5=4，
1 1
所以四边形 ABCD 的面积为 ∣AC∣⋅∣BD∣= ×6×4=12．
2 2
故选D．
10. D
【解析】在 △ABC 中，
因为 C，F，D 三点共线，
所以
⃗AF =μ⃗AC+(1−μ)⃗AD(0≤μ≤1)
1−μ
¿ =μ⃗b+ ⃗a,
2
{ μ= y,
所以 1−μ
=x,
2
所以1 4 2 4
+ = +
x y+1 1−μ 1+μ
6−2μ
¿ =
1−μ2
¿ ¿
因为 0≤μ≤1，
所以 μ−3≤0，
所以
1
原式 ≥2⋅
6−2√8
¿ ¿
11. D 【解析】因为 O 为 AB 的中点，所以 ⃗PA+⃗PB=2⃗PO，从而
(⃗PA+⃗PB)⋅⃗PC=2⃗PO⋅⃗PC=−2∣⃗PO∣⋅∣⃗PC∣．
又 ∣⃗PO∣+∣⃗PC∣=∣⃗OC∣=2 为定值，所以当且仅当 ∣⃗PO∣=∣⃗PC∣=1，即 P 为
OC 的中点时，(⃗PA+⃗PB)⋅⃗PC 取得最小值，是 −2．
12. B
13. B 【解析】方法一：
(a+b) 2 1 1
因为 ab< ，所以 ab< ，2ab< ，
2 4 2
因为
√a2+b2
>
a+b
>0，所以
√a2+b2
>
1
，所以
a2+b2> 1
，
2 2 2 2 2
因为 b−(a2+b2)=(b−b2)−a2=b(1−b)−a2=ab−a2=a(b−a)>0，
所以 b>a2+b2，
1
综上所述，b>a2+b2> >2ab．
2
故 b 最大．
方法二：
1 2 1 2 4 1 4 5 2
不妨取 a= ,b= ，则 2ab=2× × = ，a2+b2= + = ，故 b= 最大．
3 3 3 3 9 9 9 9 3
a+b 1 1
14. D 【解析】因为 a>0，b>0，a+b=4，所以 √ab≤ =2，所以 ab≤4，所以 ≥ ，所
2 ab 4
1 1 a+b 4
以 + = = ≥1，A，B，C均错误．故选D．
a b ab ab
15. C
a+b
【解析】因为 a>0，根据基本不等式 √ab≤ ，当且仅当 a=b 时，等号成立，故 a+1≥2√a
2
中，当且仅当 a=1 时，等号成立．
16. D 【解析】利用基本不等式需注意各数必须是正数．不等式 a2+b2≥2ab 的使用条件是 a，
b∈R．对于A，当 a=b 时，应有 a2+b2=2ab，A错误；对于B，C，条件 ab>0，只能说明 a，b a
b 同号，当 a，b 都小于 0 时，B，C错误；对于D，因为 ab>0，所以 >0， >0，所以
a b
b a √b a
+ ≥2 ⋅ =2，当且仅当 a=b 时，等号成立，D正确．
a b a b
17. A 【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0
1 2
等距的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+ y+m=0，根据平行线间的距离公式得
∣m+7∣ ∣m+5∣
= ⇒∣m+7∣=∣m+5∣⇒m=−6，
√2 √2
即点 M 的轨迹方程为 x+ y−6=0，
∣−6∣
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 =3√2．
√2
18. A 【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 y=a(a>0)，C(x ,y )，D(x ,y )．
1 1 2 2
2x
联立 y=a 与 y= (x>0) 得，ax2−2x+a=0，
1+x2
2
由此可得 x +x = ，x x =1．
1 2 a 1 2
2
所以 ∣x −x ∣= √1−a2 ，
1 2 a
2
即圆柱的高为 √1−a2 ，圆柱的底面半径为 a，
a
2
a2+(1−a2)
所以其体积为 πa2× √1−a2=2π√a2−a4=2π√a2(1−a2)≤2π⋅ =π，
a 2
√2
当且仅当 a2=1−a2，即 a= 时，其体积有最大值 π．
2
19. C
20. D
5
【解析】设 x+ y=u，则 2(x+ y) 2−5xy=x+ y+1，则 2u2−u−1=5xy≤ u2 ，
4
2
即 3u2−4u−4≤0，解得 − ≤u≤2．
3
1
又注意到 xy>0，得 2u2−u−1>0，解得 u>1 或 u<− ，故得 10，所以 m>0，n>0，故
1 2 (1 2)
+ =(2m+n) + ．
n m n m
23. 18
1
24. {a∣a≤ ¿¿
2
【解析】由 t≥0，得 x+ y≥a(x+2√2xy)．
因为 x>0，y>0，
x+ y
所以 a≤ ．
x+2√2xy
因为 2√2xy≤x+2y，
x+ y x+ y 1
所以 ≥ = ，
x+2√2xy x+(x+2y) 2
当且仅当 x=2y>0 时，等号成立，
1
因为 a≤ ，
2
1
所以实数 a 的取值范围是 {a∣a≤ ¿¿．
2
√3 √3
25. 1+ ，
2 2
【解析】设斜边长为 2．由已知，得 ⃗AB+⃗BD=x⃗AB+ y⃗AC，
即 ⃗BD=(x−1)⃗AB+ y⃗AC⋯⋯①，
√2
在 ① 的两端点乘 ⃗AC，化简得 √2⋅√3⋅ = y⋅(√2) 2 ⋯⋯②，
2
( √2) √2
在 ① 的两端点乘 ⃗BC，化简得 0=(x−1)√2⋅2⋅ − + y⋅√2⋅2⋅ ⋯⋯③，
2 2
√3 √3
联立 ②③，解得 x=1+ ,y= ．
2 2
26. （1） 由题意，得 ∣x2−1∣>1，
解得 x<−√2 或 x>√2，
（2） 因为 a,b∈R+，且 a≠b，
所以 a3+b3>2ab√ab，a2b+ab2>2ab√ab，因为
∣a3+b3−2ab√ab∣−∣a2b+ab2−2ab√ab∣ =a3+b3−2ab√ab−a2b−ab2+2ab√ab
¿
=(a−b)(a2−b2)
¿ ¿
所以 ∣a3+b3−2ab√ab∣>∣a2b+ab2−2ab√ab∣，即 a3+b3 比 a2b+ab2 远离 2ab√ab．
27. （1） 当 a=2 时，f (x)=2∣x−2∣(x−2)，
①当 x≥2 时，f (x)=2(x−2) 2<0，无解；
②当 x<2 时，f (x)=−2(x−2) 2<0，恒成立，
所以不等式 f (x)<0 的解集为 (−∞,0)．
（2） 解法一：当 f (x)=∣x−a∣(x−2)+∣x−2∣(x−a)=0 时，x=2 或 x=a，
x∈(−∞,a)．
①当 a<2 时，f (x)=(a−x)(x−2)+(2−x)(x−a)=−2(x−a)(x−2)<0 恒成立，满足题意，
②当 a=2 时，f (x)=−2(x−2) 2<0 恒成立，满足题意，
③当 a>2 时，
（ⅰ）当 x∈(−∞,2) 时，f (x)=(a−x)(x−2)+(2−x)(x−a)=−2(x−a)(x−2)<0 成立，满足题
意．
（ⅱ）当 x∈[2,a) 时，f (x)=(a−x)(x−2)+(x−2)(x−a)=0，不满足题意，
综上所述，实数 a 的取值范围是 (−∞,2]．
解法二：当 x∈(−∞,a) 时，f (x)=(a−x)(x−2)+∣x−2∣(x−a)=(x−a)[∣x−2∣−(x−2)]，
因为 x−a<0，则由 f (x)<0，可得 ∣x−2∣−(x−2)>0，∣x−2∣>x−2，
所以 x<2，即 x0) 米，则 AN=(x+2) 米，
因为 DN:AN=DC:AM，
3(x+2)
所以 AM= ，
x
3(x+2) 2
所以 S =AN⋅AM= ，
AMPN x
3(x+2) 2
由 S >32，得 >32，
AMPN
x
2
又 x>0，得 3x2−20x+12>0，解得 06，
3
( 2)
即 DN 长的取值范围是 0, ∪(6,+∞)．
3
3(x+2) 2 12 √ 12
（2） 矩形花坛 AMPN 的面积为 y= =3x+ +12≥2 3x⋅ +12=24，
x x x
12
当且仅当 3x= ，即 x=2 时，矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24．
x故 DN 的长为 2 米时，矩形 AMPN 的面积最小，最小值为 24 平方米．
29. （1） 因为 a，b，c 为正实数，且满足 a+b+c=1，所以 b+c−1=−a<0．
1 1 ( 1) 1
所以 ∣a− ∣+∣b+c−1∣=∣a− ∣+∣−a∣≥∣ a− +(−a)∣= ．
2 2 2 2
( 1) 1
当且仅当 a− (−a)≥0，即 0≤a≤ 时，等号成立．
2 2
1 1
所以 ∣a− ∣+∣b+c−1∣≥ ．
2 2
（2）
(a3+b3+c3) ( 1 + 1 + 1 ) ( 1 1 1 ) 3bc 3ac 3ab 3(2bc 2ac 2ab) 3[ (c b) (c a) (a b)] 3( √c b √c a √a b)
a2 b2 c2 3abc + + ¿=¿ + + ¿=¿ + + ¿=¿ a + +b + +c + ¿≥¿ 2a ⋅ +2b ⋅ +2c ⋅ ¿=¿3(a+b+c)¿=¿3.¿
a2 b2 c2 a b c 2 a b c 2 b c a c b a 2 b c a c b a
¿
1
当且仅当 a=b=c= 时等号成立．
3
所以 (a3+b3+c3) ( 1 + 1 + 1 ) ≥3．
a2 b2 c2
30. （1） 将 a=1，b=2 代入 f (x)≥2，
{ x≤−1, {−10，
所以 a+b=2，
8 1 8(1 6 )
+ = + (a+b+1)
a b+1 3 a b+1
4(b+1 a )
= + +2
3 a b+6
1( √b+1 a )
≥ 2 − +2
2 a b+8
4
= ,
5
b+1 a 3 8
当且仅当 = ，即当 a=b+5，即 a= ，b= ．
a b+1 2 2
