2023届高考数学三轮冲刺卷：均值不等式的应用
一、选择题（共20小题；）
1. 设正实数 a，b 满足 a+λb=2（其中 λ 为正常数）．若 ab 的最大值为 3，则 λ= ()
3 2 1
A. 3 B. C. D.
2 3 3
1 1 1 4
2. 若正数 a，b 满足 + =1，则 + 的最小值为 ()
a b a−1 b−1
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
1 4
3. 已知正数 x，y 满足 x+ y=1，则 + 的最小值为 ()
x 1+ y
9 14
A. 2 B. C. D. 5
2 3
1 2
4. 已知 m，n 是正实数，且 m+n=1，则 + 的最小值是 ()
m n
9
A. 3+√2 B. 3+2√2 C. D. 5
2
5. 若 0<a<b 且 a+b=1，则下列四个数中最大的是 ()
1
A. B. a2+b2 C. 2ab D. a
2
6. 若 a,b∈R，且 ab>0，则下列不等式成立的是 ()
1 1 2 b a
A. a2+b2>2ab B. a+b≥2√ab C. + > D. + ≥2
a b √ab a b
1 2
7. 已知正实数 a，b 满足 + =√ab，则 ab 的最小值为 ()
a b
A. √2 B. 2 C. 2√2 D. 4
8. 在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是 ()
1 1 ( π)
A. y=x+ B. y=cosx+ 0<x<
x cosx 2
x2+3 4
C. y= D. y=ex+ −2
√x2+2 ex
4 9
9. 设正数 m，n 满足 + =1，则 m+n 的最小值为 ()
m n
A. 26 B. 25 C. 16 D. 9
10. 已知 f (c)=(c−a)(c−b)，其中 a+b=1−c 且 c≥0，a≥0，b≥0，则 f (c) 的取值范围为
()
[ 1 ] [ 1] [ 1 ]
A. − ,1 B. [0,1] C. 0, D. − ,1
8 4 91 1
11. 已知实数 a>0，b>0， + =1，则 a+2b 的最小值是 ()
a+1 b+1
A. 3√2 B. 2√2 C. 3 D. 2
1 4 y
12. 若两个正实数 x，y 满足 + =1，且存在这样的 x，y 使不等式 x+ <m3+3m 有解，
x y 4
则实数 m 的取值范围是 ()
A. {m∣−1<m<4¿¿ B. {m∣−4<m<1¿¿
C. {m∣m<−4或m>1¿¿ D. {m∣m<−3或m>0¿¿
1
13. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b2=a2+ c2 ，AB 边上的中线长为 2，
2
则 △ABC 面积的最大值为 ()
A. 2 B. 2√2 C. 2√3 D. 4
a b
14. 已知 a>0，b>0，且满足 + =1，则 ab 的最大值是 ()
3 4
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
1 8 n2
15. 设 a>b>c，n∈N，且 + ≥ 恒成立，则 n 的最大值是 ()
a−b b−c a−c
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1 1 2
16. 当 0<m< 时，若 + ≥k2−2k 恒成立，则实数 k 的取值范围为 ()
2 m 1−2m
A. [−2,0)∪(0,4] B. [−4,0)∪(0,2]
C. [−4,2] D. [−2,4]
17. 圆 C:x2+ y2+2x−4 y−4=0 关于直线 x−y−1=0 对称的圆的方程是 ()
A. (x−3) 2+(y+2) 2=3 B. (x−3) 2+(y+2) 2=9
C. (x+3) 2+(y−2) 2=3 D. (x+3) 2+(y−2) 2=9
18. 若动点 A，B 分别在直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到
1 2
原点的距离的最小值为 ()
A. 3√2 B. 2√2 C. 3√3 D. 4√2
19. 若正数 x，y 满足 2x2−xy+2y2=x+ y+1，则 x+ y 的取值范围是 ()
[ 2 ] (1 ]
A. − ,2 B. (0,2] C. ,2 D. (1,2]
3 2
2x
20. 一矩形的一边在 x 轴上，另两个顶点在函数 y= (x>0) 的图象上，如图所示，则此矩形
1+x2
绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是 ()π π π
A. π B. C. D.
3 4 2
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 x>0，y>0，且 2x+8 y−xy=0，则 xy 的最小值为 ．
2 1 m
22. 已知 a>0，b>0，若不等式 + ≥ 总能成立，则 m 的最大值是 ．
a b 2a+b
23. 函数 y=log (x+3)−1 (a>0,且a≠1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0
a
1 2
上，其中 mn>0，则 + 的最小值为 ．
m n
24. 已知 x>0，y>0，且 2x+8 y−xy=0，则 x+ y 的最小值为 ．
1
{ − , x<0
x
25. 已知函数 f (x)= ，若函数 g(x)=f (x)−t 有三个不同的零点 x ，x ，x ，且
x 1 2 3
, x≥0
x2+1
1 1 1
x <x <x ，则 − + + 的取值范围是 ．
1 2 3 x x x
1 2 3
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 a>0，b>0，a3+b3 ＝2，证明：a+b≤2．
27. 已知 a>0，求证：a+a3≥2a2．
28. 已知 a>0，b>0，a3+b3=2，证明：a+b≤2．
a2 b2 c2
29. 已知 a,b,c>0，求证： + + ≥a+b+c．
b c a
30. 请回答：
x2+3x+4
（1）求 y= (x>0) 的最小值；
2x
x2+2
（2）求 y= (x>1) 的最小值；
x−1
1
（3）求 y=−x+ (x>1) 的最大值．
1−x答案
1 1 (a+λb) 2 1
1. D 【解析】由题意得 ab= ×a×(λb)≤ × = ，当且仅当 a=λb=1 时，等号成立，
λ λ 2 λ
1 1
所以 =3，即 λ= ．
λ 3
2. B
3. B
1 2 ( 1 2)
+ =(m+n) +
m n m n
4. B 【解析】
√2m n
¿ ≥3+2 ⋅
n m
¿ ¿
2m n
当且仅当 = ，即 m=√2−1，n=2−√2 时取等号．
n m
故选B．
5. B
6. D
7. C
8. D 【解析】对于选项A：当 x<0 时，A显然不满足条件；
1
选项B：y=cosx+ ≥2，当 cosx=1 时取等号，
cosx
π
当 0<x< 时，cosx≠1，B显然不满足条件；
2
1
对于C：不能保证
√x2+2=
，故错；
√x2+2
4 √ 4
对于D：因为 ex>0，所以 ex+ −2≥2 ex ⋅ −2=2，
ex ex
故只有D满足条件．
9. B
10. A
【解析】f (c)=(c−a)(c−b)=c2−(a+b)c+ab，
因为 a+b=1−c，
所以 f (c)=c2−(1−c)c+ab=2c2−c+ab，
(a+b) 2
而 ab≤ ，当且仅当 a=b 时取等号，
4
所以
2c2−c+ab 2c2−c+ (1−c) 2 ¿=¿ 9 c2− 3 c+ 1 ¿=¿ 9( c2− 2 c ) + 1 ¿=¿ 9( c− 1) 2 .¿
¿ 4 4 2 4 4 3 4 4 3因为 a≥0，b≥0，
所以 1−c≥0，
所以 c≤1，
又 c≥0，
所以 0≤c≤1，
所以 f (c)≤1，而 2c2−c+ab>2c2−c=2 ( c− 1) 2 − 1 ，
4 8
1 [ 1 ]
所以 2c2−c+ab≥− ，故 f (c)∈ − ,1 ．
8 8
11. B
y
12. C 【解析】因为不等式 x+ <m2+3m 有解，
4
所以 ( x+ y) <m2+3m．
4
min
1 4
因为 x>0，y>0，且 + =1，
x y
y ( y)(1 4) 4x y √4x y
所以 x+ = x+ + = + +2≥2 ⋅ +2=4，
4 4 x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 = ，即 x=2，y=8 时取“=”，
y 4x
( y)
所以 x+ =4，故 m2+3m>4，即 (m−1)(m+4)>0，
4
min
解得 m<−4 或 m>1，
所以实数 m 的取值范围是 {m∣m<−4或m>1¿¿．
故选C．
13. D 【解析】如图，
c2 c2
4+ −b2 4+ −b2
c 4 4
根据题意可知 AD=BD= ，而 cos∠ADC= = ，
2 c 2c
2×2⋅
2
c2
4+ −a2
同理 4 ，而 ∠CDB+∠ADC=π，于是 cos∠CDB+cos∠ADC=0，即
cos∠CDB=
2c
c2 1
8+ −a2−b2=0，又因为 b2=a2+ c2 ，代入解得 a=2．过 C 作 CE 垂直于 AB 于点 E，因此
2 21
E 为 BD 的中点，故 BE= c，而
4
1 4−BE2+BE2
S = AB⋅√4−BE2=2√4−BE2 ⋅BE≤2⋅ =4，当且仅当 BE=√2 时等号成
△ABC 2 2
立．故面积最大值为 4．
a b
14. B 【解析】∵ a>0，b>0，且满足 + =1，
3 4
√a b 3
∴ 1≥2 ⋅ ，化为：ab≤3，当且仅当 a= ，b=2 时取等号，则 ab 的最大值为 3．
3 4 2
15. B
16. D
17. B 【解析】圆 C:x2+ y2+2x−4 y−4=0 可化为 (x+1) 2+(y−2) 2=9，
所以圆心 C 的坐标为 (−1,2)，半径为 3．
设点 C(−1,2) 关于直线 x−y−1=0 对称的点的坐标为 (a,b)，
b−2
{ =−1,
a+1
所以
a−1 b+2
− −1=0,
2 2
{ a=3,
解得
b=−2,
故所求的圆的方程为 (x−3) 2+(y+2) 2=9．
故选B．
18. A 【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l :x+ y−7=0 和 l :x+ y−5=0
1 2
等距的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+ y+m=0，根据平行线间的距离公式得
∣m+7∣ ∣m+5∣
= ⇒∣m+7∣=∣m+5∣⇒m=−6，
√2 √2
即点 M 的轨迹方程为 x+ y−6=0，
∣−6∣
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 =3√2．
√2
5
19. D 【解析】设 x+ y=u，则 2(x+ y) 2−5xy=x+ y+1，则 2u2−u−1=5xy≤ u2 ，
4
2
即 3u2−4u−4≤0，解得 − ≤u≤2．
3
1
又注意到 xy>0，得 2u2−u−1>0，解得 u>1 或 u<− ，故得 1<x+ y≤2．
2
20. A
【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．设矩形的一条边所在直线为 y=a(a>0)，C(x ,y )，D(x ,y )．
1 1 2 2
2x
联立 y=a 与 y= (x>0) 得，ax2−2x+a=0，
1+x2
2
由此可得 x +x = ，x x =1．
1 2 a 1 2
2
所以 ∣x −x ∣= √1−a2 ，
1 2 a
2
即圆柱的高为 √1−a2 ，圆柱的底面半径为 a，
a
2
a2+(1−a2)
所以其体积为 πa2× √1−a2=2π√a2−a4=2π√a2(1−a2)≤2π⋅ =π，
a 2
√2
当且仅当 a2=1−a2，即 a= 时，其体积有最大值 π．
2
21. 64
【解析】因为 2x+8 y−xy=0，
所以 xy=2x+8 y≥2√2x⋅8 y，
所以 xy≥64，当且仅当 x=16，y=4 时取等号，
所以 xy 的最小值为 64．
22. 9
4a+2b 2a+b 2b 2a ( 2b 2a)
【解析】原式变形为 m≤ + =5+ + ，即 m≤ 5+ + ．
a b a b a b
min
2b 2a
而 5+ + ≥5+2√4=9，当且仅当 a=b 时取等号，故 m≤9，m 的最大值是 9．
a b
23. 8
【解析】函数恒过 (−2,−1)，代入直线方程得 2m+n=1，又 mn>0，所以 m>0，n>0，故
1 2 (1 2)
+ =(2m+n) + ．
n m n m
24. 18
(5 )
25. ,+∞
21
{ − , x<0
x
【解析】函数 f (x)= ，图象如图，
x
, x≥0
x2+1
函数 g(x)=f (x)−t 有三个不同的零点 x ，x ，x ，且 x <x <x ，
1 2 3 1 2 3
即方程 f (x)=t 有三个不同的实数根 x ，x ，x ，且 x <x <x ，
1 2 3 1 2 3
1
f (x)=
当 x>0 时， 1，
x+
x
1
因为 x+ ≥2(x>0)，
x
1
所以 f (x)≤ ，当且仅当 x=1 时取得最大值．
2
1
当 y= 时，x =−2，x =x =1，
2 1 2 3
1 1 1 5
此时 − + + = ，
x x x 2
1 2 3
1
由函数的图象可知 x <−2；0<x < <x ，
1 2 2 3
1 1 1 1 1
可得：0<− <
；
>2；0< <
，
x 2 x x 2
1 2 3
则 − 1 + 1 + 1 的取值范围是 (5 ,+∞ ) ．
x x x 2
1 2 3
26. 因为
(a+b) 3 =a3+3a2b+3ab2+b3
3(a+b) 2
¿ ≤2+ (a+b)
4
¿ ¿
所以 (a+b) 3≤8，因此 a+b≤2 .
1+a2≥2a}
27. ⇔a+a3≥2a2（当且仅当 a=1 时，等号成立）．
a>028. 因为
(a+b) 3 =a3+3a2b+3ab2+b3
3(a+b) 2
¿ ≤2+ (a+b)
4
¿ ¿
所以 (a+b) 3≤8，
因此 a+b≤2．
29. 因为 a,b,c>0，
a2 b2 c2
所以利用基本不等式可得 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，
b c a
a2 b2 c2
所以 + + +a+b+c≥2a+2b+2c，
b c a
a2 b2 c2
故 + + ≥a+b+c，
b c a
当且仅当 a=b=c 时，等号成立．
30. （1） 当 x>0 时，
x2+3x+4
y =
2x
√x 2 3
¿ ≥2 ⋅ +
2 x 2
¿ ¿
x2+3x+4 7
当且仅当 x=2 时等号成立，即 y= (x>0) 的最小值为 ．
2x 2
x2+2
y =
x−1
（2）
3
¿ =x−1+ +2,
x−1
当 x>1 时，x−1>0，
√ 3
所以 y≥2 (x−1)⋅ +2=2√3+2，
x−1
3 x2+2
当且仅当 x−1= ，即 x=1+√3 时等号成立，即函数 y= (x>1) 的最小值为 2√3+2．
x−1 x−1
（3） 当 x>1 时，
1
y =−x+
1−x
[ 1 ]
¿ =− (x−1)+ −1
x−1
¿ =−3,
1
当且仅当 x=2 时等号成立，即 y=−x+ (x>1) 的最大值为 −3．
1−x
