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北京市第四十四中学 2020-2021 学年度第一学期期中练习
初二数学试卷
（100分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 某地区开展“二十四节气”标识系统设计活动，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗
产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图
形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点 关于 轴的对称点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出答案．【详解】解：点 关于y轴的对称点的坐标为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
3. 如果等腰三角形的一个内角等于 ，则它的底角是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分顶角为 和底角为 两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角．
【详解】解：当顶角为 时，则底角 ；
当底角为 时，则顶角为 ，符合题意；
综上，它的底角是 或 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关
键，注意分类讨论．
4. 一个正多边形的内角和是 ，则这个正多边形是（ ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形
【答案】B
【解析】
【分析】利用 边形的内角和公式 即可求出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，由题意，
可得 ，
解得 ，
故这个多边形是正六边形．
故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和公式，解题的关键是理解并掌握多边形内角和公式．
5. 如图，通过尺规作图得到 的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程利用 可以证明 ，进而可得结论．
【详解】解：根据作图过程可知，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ （全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
6. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则以及单项式乘单项式法则逐项分析运算即可．
【详解】解：A. ，该选项运算错误，不符合题意；
B. ，该选项运算错误，不符合题意；C. ，该选项运算错误，不符合题意；
D. ，该选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20
【答案】C
【解析】
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4<8<8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况分析是解题的关键．
8. 根据下列已知条件，能确定△ABC的大小和形状的是_________
①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ②AB＝4，BC＝3，∠A＝30º
③∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝4 ④∠C＝90º，AB＝6，AC=5
【答案】①③④
【解析】
【详解】①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ，是勾股数，所以是直角三角形.
②AB＝4，BC＝3，∠A＝30º,不能,如图有多解情况.
③∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝4, 如图利用特殊三角形，AB=4,所以BD=2，AD=2 ，所以DC=2 ,所
以AC=2 ，所以可以确定三角形.④∠C＝90º，AB＝6，AC=5,利用HL可确定三角形.
故答案为①③④.
9. 如图，在 中， ， 平分 ， 于D，如果
的
，那么 周长等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先证明 ，得 ， ，则 ，再
由 的周长 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，，
， ，
，
∴ 的周长 ．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10. 如图，在第 1 个 中， ；在边 上任取一点 D，延长 到 A ，使
2
，得到第2个 ；在边 上任取一点E，延长 到A ，使 ，得到第3
3
个 ；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以 为顶点的内角度数是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分
别求出 ， 及 的度数，找出规律即可得出第 个三角形中以 为顶点的底角度数．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
， 是△ 的外角，；
同理可得 ， ，
第 个三角形中以 为顶点的底角度数是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出 ， 及
的度数，找出规律是解答此题的关键．
二、填空题（8个小题，每空2分，共20分）
11. 计算：（﹣ xy）3＝_____．
【答案】﹣ x3y3，
【解析】
【分析】根据积的乘方的计算方法进行计算即可．
【详解】解：（﹣ xy）3＝﹣ x3y3，
故答案是：﹣ x3y3．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，准确记住计算规则是解题关键．
12. 如图，在五边形ABCDE中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______°．
【答案】 .
【解析】
【分析】根据任意多边形外角和为 解答本题.【详解】根据多边形的外角和为 ，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ .
故答案为 .
【点睛】本题考查了任意多边形外角和为 知识点，掌握该知识点是解答本题的关键.
13. 如图，AB=AC，要使 ABE≌ ACD，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）．
【答案】AE=AD
【解析】
【详解】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
14. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，
用到的数学道理是______．
【答案】 ①. ②， ②. ASA
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等的即可.
【详解】解：观察可知，只有②有完整的两个角与一条边，可以根据“角边角”配出一块全等的三角形，
故是带②去，全等的依据是ASA．
故答案为：②；ASA
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．【答案】9
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解.
【详解】∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠C=30°，
又∵AD⊥AC，AD=3
∴∠DAC=90°，CD=6
勾股定理得AC=AB=3 ，
由图可知△ABD∽△BCA，
∴BC=9
【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键.
16. 如图，在平面直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次的图形变化（轴对称、平
移）得到的，写出一种由 得到 的过程：______．
【答案】将 关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到
【解析】
【分析】根据图形的轴对称性质和平移性质解答即可．
【详解】解：根据题意， 可以看作是先将 关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到的，
故答案为：将 关于y轴对称，再向上平移6个单位长度得到 ．【点睛】本题考查轴对称变换、平移变换，熟练掌握图形的轴对称性质和平移性质是解答的关键．
17. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 边于点 ，交 边于点 ，
在线段 上有一动点 ，连接 、 ，则 的周长最小值为______.
【答案】14
【解析】
【分析】连接BP，由DE垂直平分AB，可得AP=BP，因此 的周长即为BP+PC+AC，由于点B，
P，C在同一直线上时，BP+PC的值最小，即可得到△APC的周长最小值为BC+AC．
【详解】解：如图，连接BP，
∵DE垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴AP+PC=BP+PC，
∴ 的周长为BP+PC+AC，
由于点B，P，C三点在同一直线上时，BP+PC的值最小，
∴当点B，P，C在同一直线上时， 的周长最小，此时周长为BC+AC，
∴△APC的周长最小值为BC+AC=8+6=14，
故答案为14．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使
△AOP为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P的坐标 ；
（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．
【答案】(1)答案不唯一，如： ；(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：① AO=AP；② AO=PO；
③AP=PO；解答出即可．
【详解】(1)一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如： ；
(2) 分三种情况：①AO=AP；②AO=PO；③AP=PO；
如图所示：OA=AP ，OA=OP ，OA=OP ，AP =OP
1 3 2 4 4
∴△AOP ，△AOP ，△AOP ，△AOP 即为所求.
1 2 3 4故答案为答案不唯一，如：
【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不
要遗漏．
三、解答题（本题共50分，第19题（1）（2）（3）每题4分，20-23每题5分；24-26题6
分）
19. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先用积的乘方法则计算，再用同底数幂相乘法则计算即可；
（2）先用积的乘方法法则计算，再用单项式乘以单项式法则计算即可；
（3）先用同底数幂相乘法则和幂的乘方、积的乘方法则计算，再合并同类项即可
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式．
【点睛】本题考查幂的运算，整式混合运算，熟练掌握积的乘方、幂的乘方、同底数幂相乘的法则是解题
的关键．
在
20. 如图，点D AB上，点E在AC上， AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AD=AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
21. 如图，点 、 、 、 在一条直线上， ， ，请你在下列条件① ；②
；③ ；④ 中，选择一个条件证明： ，你选的条件的序号
是________．
证明：【答案】②，证明见解析
【解析】
【分析】由全等三角形的判定方法即可得出 ，即可得出∠A=∠D．
【详解】解：选② （答案不唯一）
证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质
是解题的关键．
22. 如图，点D、E在 的 边上， ， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】过点A作 于P，根据等腰三角形三线合一，即可得到答案．
【详解】证明：如图，过点A作 于P，
∵ ， ，∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形性质：三线合一，解题的关键是作辅助线．
23. 已知：如图， 中， ，点 是 内一点，且 ，连接 并延长，交
于点 ．
（1）请依题意作出一个符合题目要求的点 ，补全图形；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即刻；
（2）根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出A、E都在 的垂直平分线上，从而得证．
【小问1详解】
如图所示，小问2详解】
【
∵ ，
∴点A在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴点D在 的垂直平分线上，
∴A、D都在 的垂直平分线上，
∴ ．
【点睛】本题考查了到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，熟记性质是解题的关键．
24. 如图，D为△ABC外一点，∠DAB＝∠B，CD⊥AD，∠1＝∠2，若AC＝7，BC＝4，求AD的长．
【答案】5.5
【解析】
【分析】延长AD，BC交于点E，就可以得出△ADC≌△EDC，就可以得出CE＝AC，DE＝DA，就可以求出
BE的值，从而得出AE的值而得出结论．
【详解】证明：延长AD，BC交于点E．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°．
在△ADC和△EDC中，
∴△ADC≌△EDC（ASA）．
∴∠DAC＝∠DEC，AC＝EC，AD＝ED．
∵AC＝7，
∴EC＝7．
∵BC＝4
∴BE＝11
∵∠DAB＝∠B，
∴AE＝BE＝11．
∴AD＝5.5．
答：AD的长为5.5．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形．
25. 我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其
逆命题也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为 ”，
如图1，在 中， ，如果 ，那么 ．请你根据上述命题，解决下面的问题：
（1）如图2， ， 为格点，以 为圆心， 长为半径画弧交直线 于点 ，则 _____；
（2）如图3， ， 为格点，在直线 上作点 ，使 ，按要求在网格中作图（保留作图痕
迹）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）作 于F．由作图可知： ，即可推出 ．
（2）以D为圆心， 长为半径画弧交直线l于点G，连接 交直线l于E，连接 ， 即为所
求．
【小问1详解】
解：作 于F，如图1所示：
由作图可知： ， ，
∴ ,
故答案为：30°；
【小问2详解】
解：如图2所示，点E即为所求， ．
理由：过点G作 于H，如图，
由作图可知： ， ，
∴ ，
由格线互相平行，可知： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了命题与定理、含30°角的直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及作
图等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，在等边△ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点.作射线 AD ，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E .
连接 EC 并延长，交射线 AD 于点 F .（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段 AF 、CF 、 EF 之间的数量关系，并证
明.
【答案】（1）答案见解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）连接AE，根据对称性得到AE AB ， FAB FAE ，设FAC ，则FAB FAE 60
，故EAC 60 60 2，再根据AE AC 得到AFE 180 FAE FEA 60；
（3）作FCG 60 交 AD 于点 G，连接 BF，根据等边三角形的性质得到ACG 60 GCD
BCF，再证明△ ACG ≌△ BCF，得到AG BF，再根据对称性得到BF EF 再得到AF EF CF
【详解】（1）补全图形：
（2）连接AE，
∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB AC BC ， BAC BCA 60.
∵点B关于射线 AD 的对称点为 E ，
∴ AE AB ，FAB FAE .
设FAC ，则FAB FAE 60
∴ EAC 60 60 2， 又 AE AC .
∴ AFE 180 FAE FEA 60（3） AF EF CF
证明：如图 3，作FCG 60 交 AD 于点 G，连接 BF.
∴△ FCG 是等边三角形.
∴ GF CF GC . CGF GFC FCG 60 .
∴ACG 60 GCD BCF
在△ ACG 和△ BCF 中，
∴△ ACG ≌△ BCF .
∴ AG BF .
∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ，
∴ BF EF .
∵ AF AG GF .
∴ AF EF CF
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的根据是熟知等
边三角形的性质、全等三角形的判定定理、对称轴的性质.
2021-2022学年度第一学期期中练习附加题
一、共2题，每题5分，共10分
27. 作图题
将 的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种（约定某种划分法经过旋转、轴对称得
到的划分法与原划分法相同）．【答案】见解析
【解析】
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等
的图形．
【详解】解：如图所示，（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形
叫全等形．
28. 在同一平面内，若点 与 三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称
点 是 的巧妙点．
（1）如图1，求作 的巧妙点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，在 中， ， ，求作 的所有巧妙点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出 的度数是______．
（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）．
A．2 B．6 C．10 D．12
【答案】（1）见解析 （2）见解析； 或 或 或 ．
（3）C
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，作 、 的垂直平分线，交点 即为所求；
（2）分别以点 、 为圆心， 为半径画圆，以点 、 为圆心画圆，作出 、 的垂直平分线，
交于 ，图中 、 、 、 、 、 即为所求，根据等腰三角形的性质分别求出 的度数即可
得答案；
（3）根据（2）中作图方法画出图形，即可得答案．
【小问1详解】
如图：点P为所求，
【小问2详解】
如图：分别以点 、 为圆心， 为半径画圆，以点 、 为圆心画圆，作出 、 的垂直平分线，
交于 ，图中 、 、 、 、 、 即为所求，共 个，∵ ， ， 是 的垂直平分线，
∴ ， ， ∠，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： 的所有巧妙点 一共有 个； 的度数 或 或 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【小问3详解】
如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，
等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有 个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂直平分线 的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定
圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．
