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北京育才学校九年级数学期末模拟 01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数是（ ）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（
）
A. B. C. D.
3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在 中，以C为中心，将 顺时针旋转 得到 ，边 ， 相交于点F，若
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.5. 如图， 是 的直径，弦 于E，若 ， ，则 长为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
6. 下列关于抛物线 的说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口方向向下 B. 抛物线与y轴交点的坐标为
C. 当 时，抛物线的对称轴在y轴右侧 D. 对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点
7. 投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A. 的值一定是
B. 的值一定不是
C. m越大， 的值越接近
D. 随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
8. 如图， ，O是 的中点，P是以点O为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，
B可以重合），连接 ，过P作 于点M．设 ， ，则下列图象中，能表示y
与x的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C.
D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
10. 某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价
的百分率是x，可列方程为_____________________．
11. 函数 的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
12. 如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停
止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部
分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．
13. 在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm， 的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件
的半径是_______cm．14. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是_________．
15. 在关于x的二次函数 中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组
对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… …
根据以上信息，关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
_______（结果保留小数点后一位小数）．
16. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在
一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．
若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．
三、解答题（共68分，17题6分，18−23题，每题5分，24−26题，每题6分，27，28题，
每题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
.
18 已知二次函数 ．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）利用图象回答：当x取什么值时， ．
19. 若关于x的一元二次方程x2-3x+a-2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
20. 如图，在正方形 中，点E在边 上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边
的延长线上，连接 ．
（1）判断 的形状，并证明；
（2）若 ，则 的面积为___________．
21. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．
（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛；
（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？
22. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干
套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对 的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
23. 如图， 是 的直径， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ．连接 交 于点
，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为 ， ，求 的长．
24. 如图1，斜坡与水平面夹角 ．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头
A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，
达到最高点D，D与水平线 的距离为4米．
（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越
过这棵树．
25. 下面给出六个函数解析式： ， ， ， ，
， ．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小
明的分析和研究过程，请补充完整：
的
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同 特点，可以表示为形如 _______，其中x为自
变量；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，画出了函数 的部分图象，用描点法将这个函数
的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当 （m为正数）时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是________；
的
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 方程 有一个实数根为3，则该方
程其它的实数根为_______．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）若该抛物线与直线 交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）横坐标为整数的点称为横整点．
①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作 （不含A，B两点），直接写出 上的横整点的坐标；
②抛物线 与直线 交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分
记作 （不含C，D两点），若 上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
27. 是等边三角形，点P在 的延长线上，以P为中心，将线段 逆时针旋转n°（
）得线段 ，连接 ， ．
（1）如图，若 ，画出当 时的图形，并写出此时n的值；
的
（2）M为线段 中点，连接 ．写出一个n的值，使得对于 延长线上任意一点P，总有
，并说明理由．
28. 对于点 ， 和图形 ，给出如下定义：如果图形 上存在一点 ，使 ， ，
则称点 为点 关于图形 的一个“旋垂点”， 的长称为“垂距”．在平面直角坐标系 中：
（1）已知点 ， ，
①在点 ， ， 中，点 关于点 的“旋垂点”是__________；
②若点 是点 关于线段 的“旋垂点”，求点 的横坐标 的取值范围；
（2） 的圆心为 ，半径为 ，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，若在 上存在点 ，使得点 关于 的一个“旋垂点”在线段 上存在，且“垂距”为 ，直接写
出 的取值范围．
