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2024年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，
空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上150℃记作+150℃，则零
下100℃记作（ ）
A．+100℃ B．﹣100℃ C．+50℃ D．﹣50℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作﹣100℃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对
具有相反意义的量．
2．（3分）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研
究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． 山西煤炭化学研究所
B． 东北地理与农业生态研究所
C． 西安光学精密机械研究所
D． 生态环境研究中心
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A中的图形是中心对称图形，符合题意；B、C、D中的图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mn B．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2 D．m2•m3＝m5
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进
行逐一计算即可．
【解答】解：A、2m与n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣mn）2＝m2n2，原计算错误，不符合题意；
D、m2•m3＝m5，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法
则是解题的关键．
4．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，
则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．
【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚
线，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线．
5．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F 的方向与
1
斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ＝25°，则摩擦力F 与重力G方向的夹角
2 2
的度数为（ ） α βA．155° B．125° C．115° D．65°
【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ +∠1＝90°，求得∠2＝
∠1＝90°﹣25°＝65°，根据平行线的性质即可得到结论． α
【解答】解：如图，∵支持力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行，
1 2
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠ +∠1＝90°，
∴∠α2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵摩擦力F 的方向与斜面平行，
2
∴∠ +∠2＝180°，
∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°，
故选β：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行线的性质，正确地识别图形是解题的
关键．
6．（3分）已知点A（x ，y ），B（x ，y ）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x ＜x ，则y 与y 的大
1 1 2 2 1 2 1 2
小关系是（ ）
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据一次函数的图象和性质即可解决问题．
【解答】解：因为正比例函数y＝3x的比例系数是3＞0，
所以y随x的增大而增大．又因为x ＜x ，
1 2
所以y ＜y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（3分）如图，已知△ABC，以AB为直径的 O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若
∠AOD＝80°，则∠C的度数为（ ） ⊙
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】先根据圆周角定理得出∠B的度数，再由 O与AC相切，得出∠BAC＝90°，据此可解决问
题． ⊙
【解答】解：∵ ，
∴∠B＝ ．
∵以AB为直径的 O与AC相切于点A，
∴∠BAC＝90°， ⊙
∴∠C＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了切线的性质及圆周角定理，熟知圆周角定理及切线的性质是解题的关键．
8．（3分）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随
机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到的球恰好有一个红球的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
红 白 绿
红 （红， （红，
白） 绿）白 （白， （白，
红） 绿）
绿 （绿， （绿，
红） 白）
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），
（白，红），（绿，红），共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为 ．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法和概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
9．（3分）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分
数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长（cm） 6 8 10
体长y（cm） 45.5 60.5 75.5
A．y＝7.5x+0.5 B．y＝7.5x﹣0.5
C．y＝15x D．y＝15x+45.5
【分析】根据题意可设y＝kx+b，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式．
【解答】解：蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，
设y＝kx+b，
把x＝6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5代入得 ，
解得 ，
∴y与x之间的关系式为y＝7.5x+0.5．
故选：A．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待
定系数法是解题的关键．
10．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点
O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【分析】根据题意画出示意图，得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题．【解答】解：如图所示，
连接BD，AC，
∵点H和点E分别是AD和AB的中点，
∴HE是△ABD的中位线，
∴HE＝ ．
同理可得，GF＝ ，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴四边形HEFG是平行四边形．
∵HE＝ ，HG＝ ，且AC＝BD，
∴HE＝HG，
∴平行四边形HEFG是菱形，
∴EG与HF互相垂直平分．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，能根据三角形的中
位线定理得出四边形ABCD的中点四边形是平行四边形及熟知菱形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： ＞ 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据 ＞ 即可推出 ＞2．
【解答】解：∵ ＞ ，
∴ ＞2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力．12．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、
舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画
“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且 ，若NP＝2cm，则BC的长为 （ ）
cm（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得出四边形ANPB是矩形，进而得出AB的长，再根据BC与AB的比值即可解决
问题．
【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，
∴∠BAN+∠N＝180°，
∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB＝NP＝2cm．
又∵ ，
∴BC＝（ ）cm．
故答案为：（ ）．
【点评】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，熟知黄金分割的定义及平行线的性质是解题的关
键．
13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 v（m/s）是载重后
总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝
6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ 4 m/s．【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝90代入计算即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为v＝ ，
∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；
∴k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为v＝ ，
当m＝90kg时，v＝ ＝4（m/s），
答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s．
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是关键．
14．（3分）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图 2是其几何示意图（阴影部分为花
窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的
面积为 m2．
【分析】用扇形的面积减去△COD的面积即可解决问题．
【解答】解：由题知，
（m2），
∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴OC＝OD＝ （m），
∴ （m2），∴花窗的面积为（ ）m2
故答案为：（ ）．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
15．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝
∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB＝ ，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为
．
【分析】方法一：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，由tan∠ABC＝ ＝2得
AE＝2BE，进而得BE＝1，AE＝2，则CE＝3，AC＝ ，再由∠ACF＝∠CAF得FA＝FC，则AH＝
CH＝ ，由S△FAC ＝ AC•FH＝ AF•CE，得FH＝ ，在Rt△AFH中由勾股定理得
AF＝ ，则EF＝AF﹣AE＝ ，证明△FCE∽△FKA得AK＝ ，则DK＝AK﹣AD＝ ，再证明
△KDC∽△KAG得AG＝ ，由此可得BG的长．
方法二：过点G作GH⊥BC，交CB的延长线于H，先求出BE＝1，AE＝2，CE＝3，设EF＝a，则AF
＝CF＝2+a，由勾股定理求出a＝ ，根据∠GBH＝∠ABC得GH＝2HB，设HB＝b，则GH＝2b，CH
＝BC+HB＝4+b，GB＝ ，证明△CEF∽△CHG得b＝ ，由此可得GH的长．
【解答】解法一：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，如下图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝ ，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝ ＝2，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝（ ）2，
∴BE＝1，
∴AE＝2BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
∵∠ACF＝∠CAF，
∴FA＝FC，
∵FH⊥AC，
∴AH＝CH＝ AC＝ ，
∵S△FAC ＝ AC•FH＝ AF•CE，
∴FH＝ ，
在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2﹣FH2＝AH2，
即 ，
∴AF＝ ，
∴EF＝AF﹣AE＝ ，∵BC∥AD，
∴△FCE∽△FKA，
∴EF：AF＝CE：AK，
即 ，
∴AK＝ ，
∴DK＝AK﹣AD＝ ，
∵AB∥CD，
∴△KDC∽△KAG，
∴DK：AK＝CD：AG，
即 ，
∴AG＝ ，
∴BG＝AG﹣AB＝ ．
故答案为： ．
解法二：过点G作GH⊥BC，交CB的延长线于H，如下图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝ ，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝ ＝ ，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝（ ）2，∴BE＝1，
∴AE＝2BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
设EF＝a，则AF＝AE+EF＝2+a，
∵∠ACF＝∠CAF，
∴AF＝CF＝2+a，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2＝CE2+EF2，
即（2+a）2＝32+a2，
解得：a＝ ，
∵∠GBH＝∠ABC，
∴在Rt△GBH中，tan∠GBH＝ ，
∴GH＝2HB，
设HB＝b，则GH＝2b，CH＝BC+HB＝4+b，
在Rt△GBH中，由勾股定理得：GB＝ ，
∵GH⊥BC，AF⊥BC，
∴EF∥GH，
∴△CEF∽△CHG，
∴CE：CH＝EF：GH，
即3：（4+b）＝ ：2b，
解得：b＝ ，
∴GH＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练
掌握平行四边形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造相似三角形，
并利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的难点．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣6）× ﹣（ ）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
（2）化简（ + ）÷ ．
【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；
（2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）（﹣6）× ﹣（ ）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]
＝（﹣6）× ﹣（ ）﹣2+（﹣3﹣1）
＝（﹣6）× ﹣（ ）﹣2﹣4
＝﹣2﹣4﹣4
＝﹣10；
（2）（ + ）÷
＝
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的
关键．
17．（7分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共 50个．其中水
基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过
21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？【分析】设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，根据学校购买这两种
灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等，解不等式即可．
【解答】解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，
根据题意得：540x+380（50﹣x）≤21000，
解得：x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
18．（10分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小
组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组 8 人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 7. 5 ，b＝ 7 ，c＝ 25% ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，
请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【分析】（1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可；
（2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可．【解答】解：（1）a＝ ＝7.5（分），
b＝7（分），
c＝ ×100%＝25%，
故答案为：7.5；7；25%．
（2）小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为37.5%，高于乙组成绩的优秀率25%，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【点评】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
19．（7分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既
可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄
金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克
数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【分析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼
出的白银比黄金多760克．从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出
的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意得： ，
解得： ，
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（7分）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东
渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平
地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿
CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝
9米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算
纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【分析】延长CD交AB于点H，根据矩形 到现在得到CM＝HB＝20，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，
∴ ，
∴ ，
设AH＝x．∵AE＝9，
∴EH＝x+9，
∴ ，
解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
21．（9分）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研
究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻
的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形
除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF
＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： 24 0 ．
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，
并说明理由；
（3）如图 4，已知△ACE是正三角形， O是它的外接圆．请在图 4中作一个等边半正六边形
ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹⊙，不写作法）．
【分析】（1）六边形内角和为720°，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为240°；
（2）连接BD，FD，通过全等很容易证出∠BAD＝∠FAD；
（3）作AC、CE、AE的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否
则就是正六边形了．
【解答】解：（2）∠BAD＝∠FAD．
理由如下：连接BD，FD．
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形．
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E．
∴△BCD≌△FED．
∴BD＝FD．
在△ABD与△AFD 中，∴△BAD≌△FAD．
∴∠BAD＝∠FAD．
（3）答案不唯一，
作法一： 作法二：
如图，六边形ABCDEF即为所求．
【点评】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性
质是解题关键．
22．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一
部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以
种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的
顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串
串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱
笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若
要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x
轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借
助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段 AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，则 ，得到CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣
3＝﹣m2+6，即可求解；
（3）由矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣（m+1.5）2+ ≤ ，即可求解．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴ ．
∴点B的坐标为（3，0），
∵OP＝9，
∴点P的坐标为（0，9），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，
∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴ ．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根据题息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m ＝2，m＝0（不符合题意，舍去），
1
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的长为4米，CF的长为2米；
（3）如图矩形灯带为GHML，
由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3，
设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，﹣m+3），
则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣（m+1.5）2+ ≤ ，
故矩形周长的最大值为 米．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题
意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
23．（13分）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交
于点Q．若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积．
【分析】（1）根据矩形的判定方法（有三个角是直角的四边形是矩形）很容易证出；
（2）①方法一可先证△HAM≌△DAC，得出 AM＝AC，减去公共边得出 CH＝MD．方法二证
△CDH≌△MHD，可直接得出CH＝MD；②对于旋转的存在性问题，首先分类讨论，根据情况画出
草图，再利用旋转的性质以及锐角三角函数或相似进行计算即可，需要主要的是四边形 AMNQ的面积
是不规则，需要用去用三角形面积的和差解决．
【解答】解：（1）四边形AECF为矩形．理由如下：
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90°
∴四边形AECF为矩形．
（2）①CH＝MD．理由如下：
证法一：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
∵△ABE 旋转得到△AHG，
∴AB＝AH，∠B＝∠H．
∴AH＝AD，∠H＝∠D．
∵∠HAM＝∠DAC，
∴△HAM≌△DAC，
∴AM＝AC，∴AH﹣AC＝AD﹣AM，
∴CH＝MD．
证法二：
如图，连接HD．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC，
∵△ABE 旋转得到△AHG，
∴AB＝AH，∠B＝∠AHM，
∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC，
∴∠AHD＝∠ADH，
∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC，
∴∠MHD＝∠CDH，
∵DH＝HD，
∴△CDH≌△MHD，
∴CH＝MD．
②情况一：如图，当点G旋转至BA的延长线上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ ＝ ．
∵AB＝5，BE＝4，
∴由勾股定理可得AE＝3，
∵△ABE旋转到△AHG，
∴AG＝AE＝3，GH＝BE＝4，∠H＝∠B，∵GN⊥CD，
∴GN＝AE＝3，
∴NH＝1，
∵AD∥BC，
∴∠GAM＝∠B，
∴tan∠GAM＝tan∠B，即 ，
解得GM＝ ，则MH＝ ，
∵tan∠H＝tan∠B，
∴在Rt△QNH中，QN＝ ，
∴S四边形AMNQ ＝S△AMH ﹣S△QNH ＝ MH•AG﹣ NH•QN＝ ．
情况二：如图，当点G旋转至BA上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ ＝ ．
同第一种情况的计算思路可得：NH＝7，QN＝ ，AG＝3，MH＝ ，
∴S四边形AMNQ ＝S△QNH ﹣S△AMH ＝ NH•QN﹣ MH•AG＝ ．
综上，四边形AMNQ的面积为 或 ．
【点评】本题主要考查了四边形综合以及菱形的性质、矩形的判定和性质、旋转的性质，熟练掌握这
些基础知识是解题关键．
