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1.(多选)如图所示，在粗糙的桌面上有一个质量为M的物块，通过轻绳跨过定滑轮与质量为
m的小球相连，不计轻绳与滑轮间的摩擦，在小球下落的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的机械能守恒
B．物块与小球组成的系统机械能守恒
C．若小球匀速下降，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩擦产生的热量
D．若小球加速下降，小球减少的机械能大于物块与桌面间摩擦产生的热量
2.如图，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地
竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距，重力加速度大小为g。在此过程中，外力做
的功为( )
A. B. C. D.
3.(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°，光
滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑
块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，
沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜
面运动的过程中( )
A．轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下
B．拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量
C．拉力对A做的功等于A机械能的增加量
D．两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功
4.(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个
质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点 B时恰
好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中()
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
5.如图所示，平直木板AB倾斜放置，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B均匀增大，小
物块从A点由静止释放，恰好可以到达B点，小物块的加速度a、动能E 、重力势能E 和
k p
机械能E(取地面为零势能面)随下滑位移x变化的图像可能正确的是( )
6.(多选)(2024·福建漳州市第一次质检)为预防电梯缆绳断裂的安全事故，电梯井底和电梯上
分别安装有缓冲弹簧和安全钳，装置简化如图所示。现质量为2 000 kg的电梯，因缆绳断裂
而坠落，刚接触弹簧时的速度为4 m/s，弹簧被压缩了2 m时电梯停止运动，下落过程中安
全钳提供给电梯17 000 N的滑动摩擦力。已知弹簧的弹性势能为 E ＝kx2(k为弹簧的劲度系
p
数，x为弹簧的形变量)，不计空气阻力及弹簧自重，g取10 m/s2。则( )
A．整个运动过程中电梯一直处于失重状态B．整个运动过程电梯刚接触弹簧时速度最大
C．该缓冲弹簧的劲度系数为11 000 N/m
D．停止运动时安全钳提供给电梯的摩擦力为2 000 N
7．(2024·浙江省第一次联考)某地区常年有风，风速基本保持在4 m/s，该地区有一风力发电
机，其叶片转动可形成半径为 10 m 的圆面，若保持风垂直吹向叶片，空气密度为 1.3
kg/m3，风的动能转化为电能的效率为20%。现用这台风力发电机给一水泵供电，使水泵从
地下10 m深处抽水，水泵能将水抽到地面并以2 m/s的速度射出，出水口的横截面积为0.1
m2，水的密度为1×103 kg/m3，水泵及电机组成的抽水系统效率为80%，π取3.14，则下列
说法正确的是( )
A．该风力发电机的发电功率约为12.8 kW
B．每秒水流机械能增加400 J
C．风力发电机一天的发电量可供该水泵正常工作约2.4 h
D．若风速变为8 m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的4倍
8.(多选)(2023·贵州贵阳市三模)如图所示，倾斜成45°角的固定直杆上套有一质量为m的小
球(可视为质点)，小球可沿杆滑动，轻质弹性绳一端固定于O点，另一端连在小球上。将小
球从弹性绳水平的位置M(此时弹性绳的长度为L)由静止释放，当小球运动到弹性绳与杆垂
直的位置P时，弹性绳长度刚好为原长，小球沿杆下滑到弹性绳竖直的位置N时速度减为
零。若弹性绳始终在弹性限度内且弹性绳弹力与其形变量成正比，重力加速度大小为 g。下
列说法正确的是( )
A．小球在P点时的加速度大小为g
B．从M到P，小球克服摩擦力做的功为mgL
C．小球在P点的动能等于从M到P弹性绳减小的弹性势能
D．小球和弹性绳组成的系统从M到P的过程中损失的机械能小于从P到N的过程中损失
的机械能
9.如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与粗糙水平面BC平滑连接于B点，BC右端连
接内壁光滑、半径r＝0.2 m的细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k＝100 N/m
的轻弹簧，弹簧一端固定于地面上，另一端恰好与管口 D端平齐。一个质量为1.0 kg的物
块放在曲面AB上，现从距BC的高度为h＝0.6 m处由静止释放物块，它与BC间的动摩擦
因数μ＝0.5，物块进入管口C端时，它对上管壁有F ＝2.5mg的作用力，通过CD后，在压
N
缩弹簧过程中物块速度最大时弹簧的弹性势能E＝0.5 J。重力加速度g取10 m/s2。求：
p(1)在压缩弹簧过程中物块的最大动能E ；
km
(2)物块最终停止的位置。
10.(2023·四川宜宾市模拟)如图所示，水平地面上固定一倾角θ＝37°的斜面，一劲度系数k＝
100 N/m的轻质弹簧下端固定于斜面底端，上端与质量m＝1 kg的物体A相连，A的右边系
一轻细线，细线绕过轻质光滑的滑轮后与轻挂钩相连，A与滑轮间的细线与斜面平行，A与
斜面间的动摩擦因数μ＝0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，将A放置P点时A刚好不上
滑。现将一质量M＝2.0 kg的物体B轻挂在钩上，然后松手，在以后的整个运动过程中A未
接触到滑轮、B始终未接触地面与滑轮。已知弹簧的弹性势能的表达式为 E ＝kx2(式中k为
p
弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8。求：
(1)A在P点时弹簧的压缩量x；
(2)刚松手时细线中的张力大小F；
(3)在松手后的整个运动过程中，A克服摩擦力所做的功W。11.(多选)(2023·全国乙卷·21)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一
质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v 开始运动。已知物块与木板间的滑
0
动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时( )
A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于mv2－fl
0
D．物块的动能一定小于mv2－fl
0
12．(多选)(2023·山东济南市检测)如图所示为某缓冲装置的模型图，一轻杆S被两个固定薄
板夹在中间，轻杆S与两薄板之间的滑动摩擦力大小均为F，轻杆S露在薄板外面的长度为
f
l。轻杆S前端固定一个劲度系数为的轻弹簧。一质量为m的物体从左侧以大小为v 的速度
0
撞向弹簧，能使轻杆S向右侧移动。已知弹簧的弹性势能E ＝kx2，其中k为劲度系数，x为
p
形变量。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是( )
A．欲使轻杆S发生移动，质量为m的物体运动的最小速度为v
0
B．欲使轻杆S发生移动，质量为m的物体运动的最小速度为v
0
C．欲使轻杆S左端恰好完全进入薄板，质量为m的物体运动的速度大小为v
0
D．欲使轻杆S左端恰好完全进入薄板，质量为m的物体运动的速度大小为v
0第 5 练 功能关系 能量守恒定律
1．CD [在小球下落的过程中，绳子的拉力对小球做负功，小球的机械能减少，故 A错误；
由于物块要克服摩擦力做功，物块与小球组成的系统机械能不守恒，故B错误；若小球匀
速下降，系统的动能不变，则根据能量守恒可知，小球减少的重力势能等于物块与桌面间摩
擦产生的热量，故C正确；若小球加速下降，则根据能量守恒可知，小球减少的机械能等
于物块与桌面间摩擦产生的热量及小球和物块增加的动能之和，所以小球减少的机械能大于
物块与桌面间摩擦产生的热量，故D正确。]
2．A [由题知PM段绳的机械能不变，MQ段绳的重心升高了Δh＝，则重力势能的增加量
为ΔE ＝mg·＝，根据功能关系，在此过程中，外力做的功等于 MQ段系统重力势能的增加
p
量，则W＝，故A正确，B、C、D错误。]
3．BD [根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定
则可知，合力方向与轻绳方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，
故A错误；对A受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及滑动摩擦力作用，
根据动能定理可知，A动能的增加量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，
则拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量，故B正确；由除重力和弹力之外的力对
物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对A做的功之和等于A机械能的
增加量，故C错误；对两滑块组成系统分析可知，除了重力之外只有摩擦力对 A做功，所
以两滑块组成的系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功，故D正确。]
4．CD [小球从P点运动到B点的过程中，重力做的功W ＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；
G
小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，解得v ＝，则此过程中机
B
械能的减少量为ΔE＝mgR－mv 2＝mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功W ＝
B 合
mv 2－0＝mgR，故C正确；根据功能关系可知，小球克服摩擦力做的功等于机械能的减少
B
量，则W ＝ΔE＝mgR，故D正确。]
克f
5．B [根据题意，小物块从A向B是先加速后减速运动，加速度先向下后向上，方向发生
了变化，所以A错误；设斜面的长度为L，则小物块的重力势能可以表示为 E ＝mg(L－
p
x)sin θ，B选项正确；下滑过程中，小物块的动能先增大后减小，但是其图线的斜率表示其
所受的合力，根据题意可以判断合力是变力，与图像不符，所以C错误；根据功能关系，
机械能的减少量等于小物块克服摩擦力所做的功，图像的斜率大小表示摩擦力大小，根据题
意摩擦力逐渐增大，与图像不符，所以D错误。]
6．CD [电梯的重力和安全钳提供给电梯的滑动摩擦力的合力F ＝20 000 N－17 000 N＝
合
3 000 N，方向向下，则接触弹簧后开始阶段F >F ，电梯加速向下运动；随弹力的增加，
合 弹
当F <F 时，电梯减速向下运动，则整个过程中电梯先加速后减速，先失重后超重，当 F
合 弹＝F 时电梯速度最大，选项A、B错误；由能量关系可知mgh＋mv2＝kh2＋Fh，解得k＝
合 弹 f
11 000 N/m，选项C正确；停止运动时安全钳提供给电梯的摩擦力为 F′＝kh－mg＝2 000
f
N，方向向下，选项D正确。]
7．C [单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积为 V ＝vS＝v×πR2＝4×π×102
0
m3＝1 256 m3，单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能为 E ＝Mv2＝ρV v2＝
k 0
13 062.4 W，依题意，此风力发电机发电的功率为P＝20%E ＝20%×13 062.4 W≈2.6 kW，
k
若风速变为8 m/s，则该风力发电机的发电功率变为原来的 8倍；故A、D错误；每秒水流
机械能增加约为ΔE＝mgh＋mv′2，其中m＝ρ S′v′，解得ΔE＝2.04×104 J，故B错误；
水
水泵正常工作每秒耗电为 ΔE′＝＝2.55×104 J，风力发电机一天的发电量为 E′＝Pt＝
2.6×103×24×60×60 J≈2.2×108 J，解得t＝≈2.4 h，故C正确。]
8．BC [根据题意可知，小球运动到P点时，沿杆方向除重力的下滑分力以外，还受到摩
擦力的作用，由牛顿第二定律可知，其加速度 a＝gsin 45°－<g，故A错误；
根据题意，小球从M到N的过程中，由动能定理有 mgL－W＝0，根据小球受力及对称性
f
可知，当小球位于关于P点对称的两个位置时，杆对小球的支持力大小相等，故其所受摩
擦力大小也相等，因此小球从M到P的过程中摩擦力对小球做的功等于从 P到N的过程中
摩擦力对小球做的功，则有 W＝W＝mgL，故B正确；
1 f
结合B分析可知，从M到P，重力对小球做的功大小等于小球克服摩擦力做的功，故弹性
绳减小的弹性势能转化为小球的动能，故C正确；
根据上述分析可知，小球和弹性绳组成的系统从M到P的过程中摩擦力做的功等于从P到
N的过程中摩擦力做的功，因此小球和弹性绳组成的系统从 M到P的过程损失的机械能应
等于从P到N的过程中损失的机械能，故D错误。]
9．(1)6 J (2)停在BC上距离C端0.3 m处(或距离B端0.2 m处)
解析 (1)在压缩弹簧过程中，物块速度最大时所受合力为零。设此时物块离D端的距离为
x，则有kx＝mg，解得x＝＝0.1 m
0 0 0
在C点，物块受到上管壁向下的作用力 F ′＝2.5mg和重力，有F ′＋mg＝，解得v ＝
N N C
m/s。
物块从C点到压缩弹簧速度最大时，
由能量守恒定律有mg(r＋x)＝
0
E＋E －mv 2，解得E ＝6 J
p km C km
(2)物块从A点运动到C点的过程中，由动能定理得
mgh－μmgs＝mv 2－0
C
解得B、C间距离s＝0.5 m
物块与弹簧作用后返回C处时动能不变，物块的动能最终消耗在与BC水平面相互作用的过程中。
设物块第一次与弹簧作用返回C处后，物块在BC上运动的总路程为s′，由能量守恒定律
有：μmgs′＝mv 2，解得s′＝0.7 m，故最终物块在BC上距离C端为x ＝0.5 m－(0.7 m－
C 1
0.5 m)＝0.3 m(或距离B端为x＝0.7 m－0.5 m＝0.2 m)处停下。
2
10．(1)0.12 m (2) N (3)3.36 J
解析 (1)不挂钩码将A放置P点时A刚好不上滑，A物体受力如图所示，根据平衡条件有
kx＝mgsin θ＋μmgcos θ，解得x＝0.12 m
(2)刚松手时，以A和B为系统，根据牛顿第二定律有Mg＝(M＋m)a
以B为研究对象有Mg－F＝Ma，解得F＝ N
(3)设A物体向上运动的最大距离为s ，由能量守恒定律得Mgs ＝mgs sin θ＋μmgscos θ＋
1 1 1 1
k(x－s)2－kx2，
1
代入数据解得s＝0.4 m，
1
最高点弹簧的伸长量为x＝s－x＝0.4 m－0.12 m＝0.28 m，
1 1
因为kx＋mgsin θ－Mg>μmgcos θ，所以A将向下加速运动，设A由最高点向下运动的最大
1
距离为s，由能量守恒定律有：
2
mgs sin θ＋kx2－k(x－s)2＝Mgs ＋μmgscos θ
2 1 1 2 2 2
代入数据解得s＝0.16 m，
2
此时弹簧的伸长量为 x ＝x －s ＝0.28 m－0.16 m＝0.12 m，因为有 Mg－kx －mgsin
2 1 2 2
θ<μmgcos θ，所以系统将处于静止状态，整个过程中A克服摩擦力做功W＝μmgcos θ(s ＋
1
s)，代入数据解得W＝3.36 J。
2
11．BD [设物块离开木板时的速度为v，此时木板的速度为v，由题意可知v>v，设物块
1 2 1 2
的对地位移为x ，木板的对地位移为x ，根据能量守恒定律可得mv2＝mv2＋Mv2＋fl，整
m M 0 1 2
理可得mv2＝mv2－fl－Mv2<mv2－fl，D正确，C错误；因摩擦产生的热 Q＝fl＝f(x －
1 0 2 0 m
x )，根据运动学公式x ＝·t，x ＝·t，因为v>v>v ，可得x >2x ，则x －x ＝l>x ，所以
M m M 0 1 2 m M m M M
E ＝W＝fx <fl，B正确，A错误。]
kM M
12．BD [当轻杆刚要移动时，对轻杆受力分析，设此时弹簧弹力大小为 F，压缩量为x，
由平衡条件知F＝kx＝2F，代入k的值可得x＝l，设欲使轻杆S发生移动，质量为m的物体
f
运动的最小速度为v ，则由能量守恒定律有mv2＝k(l)2，由题意知，质量为m的物体以大小
1 1
为v 的速度撞向弹簧，能使轻杆S向右侧移动，由能量守恒定律有mv2＝2F×＋mv2，联
0 0 f 1
立可得v＝v，故A错误，B正确；设质量为m的物体的运动速度大小为v 时，轻杆S左端
1 0 2恰好完全进入薄板，则由能量守恒定律有mv2＝2F×l＋mv2，可解得v＝v，故C错误，D
2 f 1 2 0
正确。]
