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北师大附属实验中学 2022-2023 学年度第二学期期中试卷
初一年级数学
A卷
一、选择题
1. 在下面右侧的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质，直接判断即可．
【详解】 经过平移得到
故选：C
【点睛】此题考查平移的性质，解题关键是平移前后的图形状大小方向都不会改变．
2. 已知 ，下列不等式中，变形正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A、不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a-3＜b-3，故本选项错误；B、不等式a＜b的两边同时除以3，不等式仍成立，即 ，故本选项错误；
C、不等式a＜b的两边同时乘以－3，不等式的符号方向改变，即－3a＞－3b，故本选项正确；
D、不等式a＜b的两边同时乘以3再减去1，不等式仍成立，即3a-1＜3b-1，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式 的性质．注意：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的运算法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案．
【详解】解：A． ，故A选项不符合题意；
B． ，正确，故B选项符合题意；
C． ，故C选项不符合题意；
D． 无意义，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
4. 如图，已知 ，若要 ，那么 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“对顶角相等”可得 的对顶角等于 ，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得解．【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质．
5. 实数 、 、 、 、 、 、 、 中无理数的个数为（
）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义判断即可，无理数就是无限不循环小数．
【详解】解：实数 、 、 、 、 、 、 、 中，无理数有：
， ， ， ，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有： 、开方开不尽的数，以及像
等这样有规律的数．
6. 下列命题中错误的是（ ）A. 同位角相等
B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C. 邻补角互补
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】
【分析】根据同位角、平行线、邻补角、垂直等基础知识点进行逐一判断即可．
【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故A选项符合题意；
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故B选项不符合题意；
C．邻补角互补，正确，故C选项不符合题意；
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查简单几何的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键.
7. 右图是利用平面直角坐标系画出的北师大实验中学部分建筑手绘地图．若这个坐标系分别以正东、正北
方向为x轴、y轴的正方向，表示操场的点的坐标为 ，表示勤学楼的点的坐标为 ，则下列表
示建筑的点的坐标正确的是（ ）
A. 体育馆 B. 信毅楼 C. 知味堂 D. 勤政楼
【答案】B
【解析】
【分析】根据操场的点的坐标和勤学楼的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出信毅楼的点的坐标．
【详解】根据题意可建立如下坐标系：由坐标系可知，表示信毅楼的坐标是 ；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
8. 如图，下列四个条件中能判定 的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】运用平行线的判定定理逐项分析即可解答．
【详解】解：① 是 被直线 所截的内错角，故 可说明 ，即①满足题
意；
② 是 被直线 所截的内错角，故 可说明 ，即②不满足题意；
③ 是 被直线 所截的同位角，故 可说明 ，即③不满足题意；
④ 是 被直线 所截的同旁内角，故 可说明 ，即①
满足题意
．故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理以及三线八角是解答本题的关键．
9. 若 是关于x，y的方程 的一个解，则常数a为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程解的定义把 代入方程得到 ，解方程即可求出
．
【详解】解：∵ 是关于x，y的方程 的一个解，
∴ ，
即 ，
解得 ．
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义，理解定义，把二元一次方程的解代入方程得到关于a的方程
是解题关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A从 依次跳动到 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，…，按此规律，
则点 的坐标为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图可知， 个坐标为一循环，因此判断 对应的坐标是 ，那么纵坐标为 ，横坐
标每多一个循环则大 ，可算出横坐标为 ，然后直接求解即可．
【详解】∵
∴ 对应的坐标为
∴ 横坐标为
∴
故选：D
【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解．
二、填空题
11. 如果用有序数对 表示七年级3班，那么八年级6班可写为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据有序数对的定义，直接求解即可．
【详解】∵ 表示七年级3班，
∴八年级6班可写为 ．故答案为：
【点睛】此题考查有序数对，解题关键看题干如何定义有序数对，照例写出即可．
12. 小豆同学周末去香山踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔．为了测量古塔底部的底角
的度数，小豆设计了如下测量方案：作 ， 的延长线 ， ，量出 的度数，从
而得到 的度数．这个测量方案的依据是_____________________．
【答案】对顶角相等
【解析】
【分析】根据对顶角性质进行解答即可．
【详解】解：∵ 与 是对顶角，且对顶角相等，
∴这个测量方案的依据是对顶角相等．
故答案为：对顶角相等．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等．
13. 在平面直角坐标系中，点 到x轴的距离为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据点 到x轴的距离为 即可解答．
【详解】解：点 到x轴的距离为 ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的性质，掌握点 到x轴的距离为 是解答本题的关键．
14. 比较大小： _______2， ________1（填“ ”或“ ”）．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据立方根定义和算术平方根定义，估算大小，然后再比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ；
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握立方根和算术平方根的定义．
15. 已知点 在过点 ，且与x轴平行的直线上，则P点坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】解：因为点 在过点 ，且与x轴平行的直线上，
∴ ，
∴ ．
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的坐标特征．
16. 如图，O为直线 上一点， 平分 ， 于点O，若 ，则
__________ ．
【答案】50
【解析】
【分析】根据垂线的性质可知 互余，再由角平分线的定义及已知条件计算 的度数
即可．
【详解】解：∵ 于点O，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为50．
【点睛】本题主要垂线的性质、互余、角平分线的定义等知识点，灵活运用是解题关键．
17. 若关于x的一元一次不等式 有且只有3个正整数解，则n的取值范围是______．
【答案】
【解析】【分析】先解不等式得 得 ，根据题意得到 ，即可确定n的取值范围．
【详解】解：解不等式 得 ，
∵关于x的一元一次不等式 有且只有3个正整数解，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据不等式的整数解确定字母的取值范围，正确解不等式，根据题意得到关于n的不
等式组是解题关键．
18. 在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有如下四个结论：
①第二象限内有无数个“2和点”；
②第一、三象限的角平分线上的“3和点”有两个；
③y轴上没有“5和点”；
④若第三象限内没有“k和点”，则 ．
其中正确的结论序号是_________．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据“k和点”的定义，设点的坐标为 ，逐项判断即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，设点的坐标为
．
① 由题意得 ，且满足 ，这样的点有无数个，故①正确；
②由题意得“3和点”在第一、三象限的角平分线上，则 ， ，∴ ，∴第一、
三象限的角平分线上的“3和点”有一个，故②错误；
③由题意得“5和点”在y轴上，则 ， ，∴ ，故③错误；
④第三象限内点 ， ，故 ，若第三象限内没有“k和点”，则 ，故④正确．故答案为：①④
【点睛】本题为新定义问题，考查了平面直角坐标系相关知识，熟知平面直角坐标系知识，理解“k和
点”的定义是解题关键．
三、解答题
19. 作图并回答下列问题：如图：点P是 内一点，
（1）过点P作边 的垂线段 ；
（2）过点P作边 的平行线，交 于点D，比较线段 、 的大小： ________ （填“
”、“ ”或“ ”），得此结论的依据为：______________．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析， ，垂线段最短．
【解析】
【分析】（1）非尺规作图，直接作图即可；
（2）非尺规作图直接作图即可，由垂线段最短得到大小关系和依据．
【小问1详解】
如图所示 为所求：
【小问2详解】
如图所示 为所求，点P到线段 的距离为垂线段 ，点到直线垂线段最短，故 最短，
．
故答案为：<，垂线段最短．
【点睛】本题考查垂直和平行的画法，点到直线垂线段最短，正确的区分垂线段是解题的关键．20. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根、算术平方根的定义，绝对值的意义计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根、算术平方根的定义，绝对值的意义是解题的关键．
21. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】将方程整理为 ，再利用直接开平方法求出方程的解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是本题的关键．
22. 解二元一次方程组：
【答案】
【解析】
【分析】用代入法求解，由①，得 ③，把③代入②得 ，解出得得 ，把
代入③，得 ，即可求解．【详解】解：二元一次方程组：
解：由①，得 ③
把③代入②得 ．
解这个方程得 ．
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法，加减法解二元一次方程组是解此题的关键．
23. 解不等式： ，并把解集表示在数轴上．
【答案】 ，画图见解析
【解析】
【分析】不等式左右两边同时乘以6去分母后，去括号合并整理，将 系数化为1，求出不等式的解集，
将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
在数轴上表示如下：【点睛】本题主要考查求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，能准确求出不等式的解集
是关键．
24. 完成下面的证明．已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（______）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴_____________．（______）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（_______）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
【答案】垂直定义；AC∥EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】利用平行线的判定和性质，垂线的性质，角平分线的定义即可解决问题．
【详解】∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（垂直定义）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴AC∥EF．（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
故答案为：垂直定义；AC∥EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，
同位角相等．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是 ， ， ，
三角形ABC中任意一点 ，经平移后对应点 ，将三角形ABC作同样的平移得到三角形
，点A，B，C对应点分别为 ， ， ．
（1）点 的坐标为________；
（2）①画出三角形 ；
②三角形 的面积为__________；
（3）若y轴上有一点Q，使得三角形 的面积为4，则点Q的纵坐标为_________．
【答案】（1）
（2）①见解析，②7 （3）点Q纵坐标为-1或3
【解析】
【分析】（1）由点 的对应点 坐标知，需将三角形向左平移5单位、向上平移4单位，然后运用此平
移方式即可解答；
（2）①根据平移规律求出 点的坐标，根据 ， ， 点的坐标即可画出三角形 ；②利用割补
法求解可得答案；（3）设点Q的坐标为 ，则 ，然后用三角形的面积公式列关于a的方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵三角形ABC中任意一点 ，经平移后对应点
∴三角形向左平移5单位、向上平移4单位
∴点 的坐标为 ，即
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①如图所示： 即为所求
② 的面积 ；
△
【
小问3详解】
解：设点Q的坐标为 ，则
∴三角形 的面积为 ，解得： 或3
∴点Q纵坐标为 或3
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
26. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．（1）求证： ；
（2）OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数．
【答案】（1）见解析 （2）补全图形见解析，∠1=25°
【解析】
【分析】（1）根据 与 互余， ，得 ，根据同旁内角互
补，两直线平行，即可证明 ；
（2）根据 平分 交 于点 ，得 ，又根据 ，求出 的角度，
再根据 与 互余，即可求出 ．
【小问1详解】
证明：
∵ 与 互余
∴
又∵
∴
∵
又∵
∴ ．
【小问2详解】
∵ 平分 交 于点
∴
∵
∴在 中，
∴∴
又∵ 与 互余
∴
∴
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的定义．
27. 中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营
养的重要性，大力普及营养知识．在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为 ，
包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为56克，其中蛋白质含量为11.2
克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如下表所示）．
谷物面包
项目 每100克
蛋白质 10克
脂肪 33.6克
碳水化合物 52.8克
钠 290毫克
牛奶
项目 每100克
蛋白质 3.2克
脂肪 3.6克
碳水化合物 4.5克
钠 100毫克设该份早餐中谷物面包为 克，牛奶为 克．
（1）请补全表格（用含有 ， 的代数式表示）；
谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋
质量/克 56
蛋白质含量/克 11.2
（2）求出 ， 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据每100克谷物面包和牛奶所含的蛋白质的比例列式即可；
（2）根据题意，列出二元一次方程组求解即可．
【小问1详解】
解：补全表格如下：
谷物面包 牛奶 去壳鸡蛋
质量/克 56
蛋白质含量/克 11.2
【小问2详解】解：由题意得， ，
解得： ，
答：该份早餐中谷物面包为144克，牛奶为200克．
【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
28. 如图，过点P作直线分别与直线 ， 相交于E、F两点， 的角平分线交直线 于点
M，射线 交直线 于点N．设 ， ， ，其中x、y、z满足
．（1） ___________， ___________， ___________；
（2）求证： ；
（3）过点P作直线 分别交直线 于点Q，交直线 于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作
的角平分线交线段 于点S，直接写出 与 的数量关系___________．
【答案】（1）80；140；140
（2）见解析 （3） 或 或
【解析】
【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可；
（2）过P作 ，根据平行线的判定和性质证明 ，利用平行公理求出最后结果即可；
（3）分三种情况：当点Q在线段 上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出
图形，作出辅助线求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
故答案为：80；140；140．
【小问2详解】
证明：如图，过P作 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
解：当点Q在线段 上时，过点S作 ， ，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的角平分线， 是 的平分线，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
当点Q在点M的左侧时，过点S作 ， ，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的角平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ，
即 ；
当点Q在点E的右侧时，过点S作 ， ，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的角平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，非负数的应用，角平分线的定义，解题
的关键是熟练掌握平行线的性质，画出图形，作出辅助线，数形结合．B卷
四、探究题
29. 经研究发现： ，由于30没有大于1的平方约数，因此 为有理数的条件是正整数
（其中t为正整数）．
（1）若正整数a使得 ，则a的值为_________．
（2）已知a、b、c是正整数，满足 ．当 时，称 为“三元数组”．
①若 为“三元数组”，且 ，则 ________；
②若 为“三元数组”，且 ，则 ________， ________；
③“三元数组”共有_________个．
【答案】（1）120 （2）①270；② ， ；③3
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）①由 可得 ，即可解答；
②设 ， （ ， 为正整数而且 ），由 可得 ，进行求解即可；
③设 ， ， （ ， ， 为正整数而且 ），可得 ，根据分
子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解．
【小问1详解】
解：∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
①∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：270，
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， （ ， 为正整数而且 ），
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为：120，1080；
③设 ， ， （ ， ， 为正整数而且 ），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ， ，
当 时， ，此时 ， ，
当 ，∴ ，∴ ，
当 时，同②， ， ， ；
当 时， ， ， ， ；
综上所述：“三元数组”共有3个．
故答案为：3.【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将 转化为几个
分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．
30. 我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入《九章算术》中．《九章算术》
“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的：
上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮
食34斗；
上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．
求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗．
（1）设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食分别为 斗， 斗， 斗，根据题意可列方程组为：
__________．
（2）下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法．用算筹列出方程组，它省略了各未知数，只用算筹
表示出未知数的系数与相应的常数项．请你参考前两行，补全第三行的算筹图．
的
（3）利用现代高等代数 符号可以将（1）中方程组的系数排成一个表，
这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字替代了算
筹．
已知矩阵有如下的初等变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换
矩阵中两行的位置．初等变换可以帮助我们解多元一次方程组．
例如，用矩阵的初等变换解二元一次方程组 的步骤如下：第一步：将此方程组的系数写成矩阵： ；
第二步：
，
故此方程组的解为 ．
请你仿照上述方法，补全用矩阵的初等变换解三元一次方程组 的步骤．
第一步：将此方程组的系数写成矩阵：______________．
第二步：
故此方程组的解为_____________．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程即可；
（2）根据“只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项”，即可得到答案；（3）根据矩阵的变换：①用一个非零的数乘矩阵的某一行；②将一行的k倍加到另一行上；③交换矩阵中
两行的位置．即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：补全算筹图如下：
【小问3详解】
解：第一步：将此方程组的系数写成矩阵： ．
第二步：
，故此方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．
31. 在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，点A的p值 的定义如下：
；比如点 ， ；点 ， ．
（1）已知 ， ，则 _____， _____．
（2）已知 ， ，点Q在线段 上运动，若 ，求Q的纵坐标q满足的条
件；
（3）如图，已知 ， ，将线段 向上平移 个单位得到线段 ．若线段
上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；（2）设Q点坐标为 ，分两种情况 时， 时，分别列式求解即可；
（3）根据题意得出要使 p值为20，则 或 ，求出 或 ，根据 ，
，线段 向上平移时，得出 ，得出平移后平移后 的p值一定是20，得出
，求出 ，结合图象得出 ，线段 上有一个点的纵坐标为 ，得出平移
距离 ，综合 ，得出 ．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：设Q点坐标为 ，
情况一，当 时， ， ，
此时 ，也即 ；
情况二，当 时， ， ，
综上， 或 ．
【
小问3详解】解：要使p值为20则， 或 ，
∴ 或 ，
∵ ， ，
∴线段 向上平移时， ，
∵线段 上恰有2个点的p值为20，
∴平移后 的p值一定是20，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
当平移的距离在 的范围内，线段 的平移的范围如图所示：
的
∴根据图象可知，另外一个p值为20 点的纵坐标 ，不可能为 ，
∴根据图象可知，要使线段 上有一个点的纵坐标为 ，必须使平移的距离 ，综上分析可知， ．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，平移的性质，解题的关键是数形结合，理解题意．
