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2023 年高考押题预测卷 03【全国卷甲卷】
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目）
1．已知集合 ， 是偶数集，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．C． D．
4．已知点 ， ，向量 ， ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是双曲线 上的一个动点，且点 到 的两个焦点距离的差的绝对值为6， 的焦点到渐近线
的距离为4，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某市 年 月至 年 月的平均气温折线图如图，则（ ）
A．平均高温不低于 的月份有 个
B．平均高温的中位数是
C．平均高温的极差大于平均低温的极差
D．月平均高温与低温之差不超过 的月份有 个
7．若实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A．4 B． C．2 D．
8．已知 表示不超过实数 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
9．记数列 的前n项和为 ．若等比数列 满足 ， ，则数列 的前n项和
（ ）
A． B． C． D．
10．已知正三棱柱 的所有棱长都相等， ， ， 分别是 ， ， 的中点， 是线
段 上的动点，则下列结论中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ 平面 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上有极小值
C．设 在区间 上的最大值为M，最小值为m，则
D． 在区间 内有且只有一个零点
12．已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面 是边长为3的等边三角形．
若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则 （ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个
点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
14．若 是定义在 上的奇函数，且 是偶函数，当 时， ，则
__________.
15．将函数 向右平移 个周期后所得的图象在 内有 个最高点和 个最低点，则 的取值范围是__________．
16．已知双曲线 的右焦点为 ，虚轴的上端点为 是 上的两点， 是
的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，若 ，则 的两条浙近线的斜率之积为
__________.
三、解答题（共5题，每小题12分，共60分，请写出必要的文字说明或解答过程）
17（12分）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积.
18（12分）．2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑
引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培
优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴
趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞
赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．
成绩不低于135分 成绩低于135分 总计
参加过培训 40 10 50
未参加过培训 20 30 50
总计 60 40 100
(1)能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？
(2)从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样﹐随机抽取
了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过
培训的概率．
参考公式： ，其中 ．0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19（12分）．如图，在多面体 中，四边形 为正方形，平面 平面 ，
， 是棱 上的一点.
(1)是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，则求出 的值；若不存 在，请说明理由；
(2)求多面体ABCDEF的体积.
20（12分）椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，点
到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 右支于点 ， ，点 在 上，求 面积的取值范
围.
21（12分）．已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： .
四 选做题（请从21.22两题中选做一题，写出必要的文字说明与证明过程，若两题全做，则以21题为准，
每道题目10分）
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程；
(2)若 与 有公共点，求 的取值范围.
23．已知函数 ．
(1)解不等式 ;
(2)若不等式 对 恒成立,求实数m的取值范围．
