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潞河中学初三数学单元检测试题
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监
测半径为 的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在 点，每一个小格的边长为 那
么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
3. 已知二次函数 的部分图象如图所示，则使得函数值 大于 的自变量 的取值可以是（
）
A. B. C. D.
4. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）A. B. C. D.
5. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 ，设交点为 ，点
之间有一座假山．为了测量 之间的距离，小明已经测量了线段 和 的长度，只需再测量
一条线段的长度，就可以计算 之间的距离．小明应该测量的是（ ）
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
6. 如图，在⊙O中， ， ，则 的度数是（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
7. 在 中， ， ， ， ，则CD的长为（ ）A. 2 B. 3 C. D.
8. 如图， 是⊙O的直径，点 是 上一个动点（点 不与点 ， 重合），在点 运动的过程中，
有如下四个结论：①至少存在一点 ，使得 ；②若 ，则 ；③ 不是
直角；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则 的长为________．
10. 如图， 为等腰三角形， 是底边 的中点，若腰 与 相切，则 与 的位置关系
为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”）11. 如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1， ．则阴影部
分的面积是_________． 的长是_________．
的
12. 如图，在△ABC中，P是AB边上 点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：
___(写出一个即可)，
13. 在同一个平面直角坐标系中，二次函数 ， ， 的图象如图所示，则 ， ，
的大小关系为_________．
14. 如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则
_______________．的
15. 如图， 是 直径，点 是 延长线上一点， 切 于点 ，若 ，
则 等于____________．
16. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中
正确的是_________．
① ② ③ ④
三、解答题（共68分）
17. 计算：
18. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙ 及⊙ 上一点 ．
求作：直线PN，使得PN与⊙ 相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
为
②在⊙ 外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q 圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
的
证明：∵ 是⊙ 直径，
∴ ＝ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线（ ）（填推理的依据）．
19. 已知：如图， 中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若 ．求
证： ．
20. 已知抛物线 经过两点A（4，0），B（2， ）．（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；
（3）当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ．
（4）A（x，n），B（x，n）是抛物线上的两个点，则有
1 2
（5）将抛物线经过怎样的平移可以使得平移后的抛物线的顶点经过原点？
21. 如图，A，B，C是⊙O上的点， ，半径为5，求BC的长．
22. 一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B
处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距
离．（结果精确到0.1海里）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）23. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为
常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若
AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
24. 已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M（m，y），N（2，y）在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
1 2
25. 如图， 中， ，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，
且E是AB中点，连接OA．（1）求证： ；
（2）连接AD，若 ，求⊙O的半径．
在
26. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点A（1，2），B（5，2），若抛物线与线段AB有一个公共点，求a的取值范围；
（3）过 （其中 ）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t
值，线段MN的长都不小于2，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
27. 在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动
点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP ＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”
的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C
及其“完美点”P的示意图．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点M ，N（0，1），T 中，⊙O的“完美点”是 ；
②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取
值范围．
