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九月数学学科学业水平调研
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种
字体，给人以美的享受．下面是“首师附中”四个字的篆书，其中能看作中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程 的一次项系数是（ ）
.
A B. 2 C. 3 D. 0
3. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 将抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
5. 小华将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个如图所示的雪花图案，
则 可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 用配方法将一元二次方程 变形为 的形式是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△MN P，则其旋转中心可以是( )
1 1 1A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①将一根长为 的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积 与矩形一条边长 ；
②赵老师爬香山所花的时间 和平均速度 ；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元 ，成本价为10元/ ，单价每降价1
元，可以多卖出 ，月饼利润 与降价 ；其中，变量 与变量 之间的函数关系可以用如图所示的图
象表示的是（ ）
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 点 关于原点对称 的点的坐标是_________．
10. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出
一个符合题意的答案即可)
11. 若二次函数 的图象上有两点 , 则 _____ .（填“>”，“=”或“<”）
12. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则
的值为______________．13. 如图， 为正方形 内的一点， 绕点 按顺时针旋转 后得到 ，连接 ，若
三点在同一直线上，则 的度数为___________．
14. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝
1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 _____．
15. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地
待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：
的
有一块圆形 田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池
边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________．
16. 小明用 记录某地区去年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第 天下过雨时，记 ，
当第 天没下过雨时，记 ；他用 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 天有雨时，记 ，当预报第 天没有雨时，记 ；记录完毕后，小明计
算出 ，那么该月气象台预报准确的总天数为________；若
，则气象台预报准确的天数为________．(用 表示)
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24
题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）
17. 解方程： ．
18. 解不等式组： ．
19. 已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．
20. 如图，将 绕点 旋转得到 ，且 ， ， 三点在同一条直线上．
求证： 平分 ．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象过点 ，且与 轴交于点 ．
（1）求 的值和点 的坐标；
（2）若二次函数 图象过 ， 两点，直接写出关于 的不等式 的解集．
22. 关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．
23. 掷实心球是北京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是小杰投掷实心球训练，他尝试利
用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平
面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴
上的点C处．小杰某次试投时的数据如图2所示．
（1）在图中画出实心球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；
（3）根据北京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（男生），若实心球投犾距离（实心球落地点C与
出手点 的水平距离OC的长度)不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小杰此次试投的成绩
是否能达到满分．
24. 1992年巴塞罗那奥运会上，由1984、1988年两届残疾人奥运会射箭奖牌获得者，37岁的巴塞罗那选
手雷波洛射箭点火．只见他从轮椅上站起来，用火种点燃箭头，然后准确地射向70米远、20米高的火炬
塔，圣火随之而起．火炬塔上面的圣火台的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以
看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为 （单位： ），距地面的竖直高度为 （单位：
），获得数据如表：
（单位：
0 10 20 30 40 50 60 70
）
（单位：
2 10．5 17．0 21．7 24．5 25．5 24．5
）小欣根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了研究．下面是小欣的探究过程，
请补充完整：
（1） 的值为________；
（2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
的
（3）据说，为了成功点燃主火炬，雷波洛练了不下2000次．练习中，他 命中率超过了令人欣喜的
90%．但是，由于开幕式是在晚间进行，而点火之前，体育场内的所有灯光熄灭，射手只能凭借月光和体
育场外围微弱的灯光来判断火炬塔的位置．请结合函数图像分析，雷波洛射出的箭是否掉进了圣火台里？
答：（“是”或者“否”）
（4）据组织者透露说，圣火台的上空充满可燃气体，只要雷波洛射出的箭能够进入圣火台上方高4米的范
围内，都可以顺利点燃主火炬．小欣在研究这个问题的过程中还发现，如果射箭的初始角度和力量不变的
情况下，射手还可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，如果保证圣火被点燃，请结合函
数图像分析，射手向前移动的最大距离与向后移动的最大距离之和是________米．（精确到1米）
25. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
（2）点 在抛物线上，其中 ．
①当 时，求的 取值范围和 的值；
②若存在 ，使得 ，直接写出 的取值范围．
26. 在 中， ，将线段 绕点 顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段
，连接 平分 交 于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ．（1）依题意补全图形；
（2）①求 的度数；②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
27. 将平面直角坐标系 中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点
，称 与 中的最大值为点 和点 的“联络量”，记作 ．将
每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，
点 的横、纵坐标都是整数．
（1）①点 中，与点 的“联络量”是2的有 ；
②点 在平面上运动，已知将点 分在同一类时“代表量”是5，则动点 所在区域的面积为
；
（2）对于平面上的任意一点 ，将点 分为两类，试说明：无论如何分类，“类筹”总不小于
2；
（3）已知二次函数 上的任一点 均满足将点 分为两类的最小“类筹”
大于4，直接写出 的取值范围．
