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2023年高考押题预测卷03【新高考Ⅰ卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若集合 ，则 的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由题意得， ，
故 ，即 共有4个元素，
故选：C．
2．复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，
故选：B.
3．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以，向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C．
4．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是
中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10
次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世
界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一
个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ）
（参考数据： ， ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为 （m），而圆台一个底面的半径为
（m），
则 （m3），
（m3），
（m3），
所以 （m3）．
故选：A．
5．已知等差数列 的前 项和为 ， 若 且 ， 则 （ ）
A．25 B．45 C．55 D．65
【答案】D
【详解】由等差数列 的前 项和为 ， 所以 为等差数列，设其公差为 ，由 ，知 ，
所以 ，所以 ， 所以 ，
故选：D．
6．函数 的图像如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形 的面积，可得 ，
设函数 的最小正周期为 ，则 ，
由题意可得： ，解得 ，
故 ，可得 ，
即 ，
可知 的图象过点 ，即 ，
∵ ，则 ，
∴ ，解得 .
故选：A.7．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，焦距为4，若过点 且倾斜角为
的直线与双曲线的左、右支分别交于 ， 两点， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，解得
设 ， ， ，
根据题意可知 ，
设双曲线方程为 ，设 ，
若P点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为： ， ，
由题意可得 ， ，所以 ，
根据 变形得 ，
所以
故 ，同理可得 ，
同理可得，若P点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为： ， ，
根据双曲线焦半径公式可得： ， ；， ，
，解得 .
故选：C
8．对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值集合是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意，知 ，令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，易知 ，
所以当 时， ；当 时， .
令 ，
则对任意的 ，不等式 恒成立，
等价于当 时， ，当 时， .
当 时， ，则函数 在 上单调递增，
所以 是 的零点，即 ，
即 ，即 .
构造函数 ，则 ，函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，所以 ，即 .
令 ，则 ，函数 在 上单调递增，
易知 ，故 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知圆M： ，直线l： ，直线l与圆M交于A，C两点，则下列
说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B． 的最小值为4
C． 的取值范围为
D．当 最小时，其余弦值为
【答案】ABC
【详解】A.直线 ，即 ，直线恒过点 ，故A正确；
B.当定点 是弦 的中点时，此时 最短，圆心 和定点 的距离时 ，此时
，故B正确；
C.当 最小时， 最小，此时 ，此时
，当 是直径时，此时 最大， ，此时
，所以 的取值范围为 ，故C正确；
D.根据C可知当 最小时，其余弦值为 ，故D错误.
故选：ABC
10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工
出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， ．随机取一个零
件，记 “零件为次品”， “零件为第 台车床加工” ， ， ，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A：因为 ，故A错误；
对于B：因为 ，故B正确；
对于C：因为 ，
，
所以 ，故C正确；
对于D：由上可得 ，又因为 ，故D错误，
故选：BC．
11．已知 ，若关于 的方程 恰好有6个不同的实数解，则
的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】记 ，则
所以 在 单调增，在 单调减
所以 的大致图像如下所示：
令 ，所以关于 的方程 有6个不同实根等价于关于 方程
在 内有2个不等实根.
即 与 在 内有2个不同交点
又 的大致图像如下所示：
又 ，所以 .
对照四个选项，AB符合题意.
故选：AB
12．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点E为边 的中点，点F为棱 上一动点（异于P、C两点），则下列判断中正确的是
（ ）．
A．直线 与直线 互为异面直线
B．存在点F，使 平面
C．存在点F，使得 与平面 所成角的大小为
D．直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为
【答案】ABD
【详解】
对于A，假设直线 与直线 共面，于是E、F、A、P四点共面，
则直线 与直线 共面，与直线 、直线 互为异面直线矛盾，
所以直线 与直线 互为异面直线，A正确；
对于B，当 时，过点F作 交 于点G，连 ，则 ，
平面 ， 平面 ， 面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，因为 平面 ， 平面 ，
于是存在点F，使 平面 ，B正确；
对于C，以点D为原点，以 ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，设 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
令 ，则 ，
于是 ，
所以 ，因此不存在点F，使得 与平面 所成角的大小为 ，C错误；
对于D， ，设直线 与直线 所成角为 ，
，当 时，等号成立，
所以直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 ，D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分,其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．已知向量 ， ，写出一个与 垂直的非零向量 ______．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由题意可知 ．设 ，则 ．
取 ，则 ，
所以与 垂直的非零向量可以为 ．（答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）
14．2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些
电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.
某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一
户3张，则共有______种不同的分法.
【答案】360
【详解】从6张电影票中任选1张，有 种选法；从余下的5张中任选2张，有 种选法；最后余下3张
全选，有 种选法.由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有 种不同的
分法.
故答案为:360
15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 ， ，则
的最小值为_____________.
【答案】8
【详解】解：因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为8.
故答案为：8
16．Cassini卵形线是由法国天文家Jean—Dominique Cassini（1625—1712）引入的．卵形线的定义：线上的
任何点到两个固定点 ， 的距离的乘积等于常数 ．b是正常数，设 ， 的距离为2a，如果 ，
就得到一个没有自交点的卵形线；如果 ，就得到一个双纽线；如果 ，就得到两个卵形线．若
， ．动点P满足 ．则动点P的轨迹C的方程为______：若A和 是轨迹C与
y轴交点中距离最远的两点，则 面积的最大值为______．【答案】
【详解】由题意可得， ，故动点P的轨迹为双纽线，
设 ，因为 ，所以 ，
即 ，
所以动点P的轨迹C的方程为 ；
令 ，可得 ，解得 或 ,
所以不妨设 ，
由对称性，故可考虑P在第一象限的情况，
因为 为定值，所以 面积最大时，即点P的横坐标最大，
又 即 ，
所以 ，令 ，则
因为 ，所以 ，故 ，
当 时， 取得最大值1，
即 的最大值为1，则x的最大值为1，所以 的最大值为 ，
故 面积的最大值为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知各项都是正数的数列 ，前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)记 是数列 的前 项和， 是数列 的前 项和.当 时，试比较 与 的大小.
【答案】．(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，所以 或 （舍去），
当 时，有
两式相减得 ，
整理得 ，
因为 的各项都是正数，所以 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
所以 ，
由（1）得
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以当 时， .
18．在 中， 是边BC上的点，AD平分 ， 的面积是 的面积的两倍.
(1)如图1，若 ，且 ，求 的面积；
(2)如图2，若点 在边AB上，且 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）因为 的面积是 的面积的两倍， ，且 ， 平分 .
所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 ；
（2）由（1）知 .设 ，则 ，
又因为 ，
，
所以 是以 为直角的直角三角形，
在 中，由正弦定理可得
在 中，由正弦定理可得
，
因为 ，所以 ，又因为 ， 均为锐角，
所以 ，所以 的值为1.
19．在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ， ，点 在棱 上，直线 与平面 所成角
为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）∵ ， 为 的中点，∴
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴
（2）由 ， ，
可知 四边形为等腰梯形，易知 ，
∵ ，∴
建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
平面 的法向量为 ，设 ，则 ，
， ，
∵直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
∴ ①
∵点 在棱 上，∴ ，
即 ，
∴ ， ， 代入①解得 或 （舍去）.
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，得 ， ，
所以点 到平面 的距离
20．根据教育部的相关数据，预计2022年中国大学毕业生将达到1076万人，比2021年增长167万人，规
模和数量将创历史新高．国家对毕业生就业出台了许多政策，某公司积极响应国家政策决定招工400名(正
式工280名，临时工120名)，有2500人参加考试，考试满分为450分，考生成绩符合正态分布．考生甲
的成绩为270分，考生丙的成绩为430分，考试后不久甲仅了解到如下情况：此次测试平均成绩为171分，
351分以上共有57人．
(1)请用你所学的统计知识估计甲能否被录用，如录用能否被录为正式工?
(2)考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人．”请结合统计学知识帮助丙
同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．附：
【答案】(1)
甲能被录用为临时工.
(2)答案见解析【详解】（1）设此次测试的成绩记为 ，则 .
由题意知 .
因为 ，且 ，
所以 .
因为 ，且 ，
所以前400名的成绩的最低分低于 分.
又 ，所以甲能被录用.
当 时， .
又 ，所以甲能被录用为临时工.
（2）假设乙所说的为真，则 .
因为 ，且 ，
所以 ，则 ，
而 .
答案示例1：可以认为乙同学信息为假.理由如下：
事件“ ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，
但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；
答案示例2：无法辨别乙同学信息真假.理由如下：
事件“ ”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可
能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假.
21．已知椭圆 的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于 两点，
连接 ， 分别交直线 于 两点，过点F且垂直于 的直线交直线 于点R．(1)求证：点R为线段 的中点；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，试探究：是否存在实数 使得 ？
若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析.
(2)存在， .
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
设 ， ， ，
联立 ，得 ， ，
则 ， ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
同理， ．
所以
,
直线 ，令 得 ，所以 ，则 ，故点R为线段 的中点．
（2）由（1）知， ，
又 ，
所以 ．
由（1）知点R为线段 的中点，
故
，
所以 ．
故存在 ，使得 ．
22．已知函数 ，函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)已知 ， ，求证： ；
(3)已知n为正整数，求证： .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1） ，①当 时，此时 ，则 恒成立，
则 的减区间为 ，
②当 时，令 ，解得 ，
则 的增区间为
令 ，解得 ，
则 的减区间为 ，
综上当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
（2）欲证
需证 ，
即需证 ，令 ，
即需证 ，设 ，
由（1）知当 时， 的减区间为
所以 故
（3）由（2）知，当 时， ，
令 ，则
即所以
......
以上各式相加得：
